2014年广西省河池市中考数学试卷（含解析版）.docx

2014年广西省河池市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1.（2015•荆州）﹣2的相反数是（   ）
A. ﹣                                         B. ﹣2                                        C.                                         D. 2
2.（2014•河池）如图所示的几何体，其主视图是（   ）

A.       B.      C.              D.
3.（2014•河池）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（   ）
A. x≤1                                     B. x≥1                                     C. x＜1                                     D. x＞1
4.（2014•河池）如图，直线l1∥l2 ， ∠1=55°，∠2=65°，则∠3为（   ）
A. 50°                                       B. 55°                                       C. 60°                                       D. 65°
5.（2014•河池）世界杯足球赛正在巴西如火如荼地进行，赛前有人预测，巴西国家队夺冠的概率是90%．对他的说法理解正确的是（   ）
A. 巴西队一定会夺冠                                              B. 巴西队一定不会夺冠
C. 巴西队夺冠的可能性很大                                    D. 巴西队夺冠的可能性很小
6.（2014•河池）下列运算正确的是（   ）
A. （a3）2=a6                          B. a2•a=a2                          C. a+a=a2                          D. a6÷a3=a2
7.（2014•河池）若反比例函数y= （k≠0）的图象过点（2，1），则这个函数的图象一定过点（   ）
A. （2，﹣1）                     B. （1，﹣2）                     C. （﹣2，1）                     D. （﹣2，﹣1）
8.（2014•河池）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（   ）
A. AB=BC                             B. AC=BD                             C. AC⊥BD                             D. AB⊥BD
9.（2014•河池）已知点（x1 ， y1），（x2 ， y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（   ）
A. 若y1=y2 ， 则x1=x2                                          B. 若x1=﹣x2 ， 则y1=﹣y2
C. 若0＜x1＜x2 ， 则y1＞y2                                   D. 若x1＜x2＜0，则y1＞y2
10.（2014•河池）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（   ）
A. 72°                                       B. 54°                                       C. 45°                                       D. 36°
11.（2014•河池）如图，点A，点B的坐标分别是（0，1），（a，b），将线段AB绕A旋转180°后得到线段AC，则点C的坐标为（   ）

A. （﹣a，﹣b+1）   B. （﹣a，﹣b﹣1）   C. （﹣a，﹣b+2）     D. （﹣a，﹣b﹣2）
12.（2014•河池）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（   ）

A.             B.             
C.              D. 

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.（2014•河池）计算： =________．
14.（2016•福州）分解因式：x2﹣4=________．
15.（2014•河池）一个不透明的袋子中有4个红球，6个白球，2个黑球，这些球除颜色不同外没有任何区别．随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为红球的概率是________．
16.（2014•河池）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为________．

17.（2014•河池）如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地________千米（结果可保留根号）．

18.（2014•河池）在▱ABCD中，S▱ABCD=24，AE平分∠BAC，交BC于E，沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，连接EF并延长交AD于G，EG将▱ABCD分为面积相等的两部分．则S△ABE=________．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答用写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）（2014•河池）计算：|﹣4|﹣22+ ﹣tan60°（说明：本题不允许使用计算器计算）

20.（6分）（2014•河池）解不等式组： ．

21.（8分）（2014•河池）如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
（1）作图： ①过B作AC的平行线BH；
②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．
（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

22.（8分）（2014•河池）乔丹体育用品商店开展“超级星期六”促销活动：运动服8折出售，运动鞋每双减20元．活动期间，标价为480元的某款运动服装（含一套运动服和一双运动鞋）价格为400元．问该款运动服和运动鞋的标价各是多少元？

23.（8分）（2014•河池）某县为了了解初中生对安全知识掌握情况，抽取了50名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制成了频数分布表和频数分布直方图（未完成）． 安全知识测试成绩频数分布表
组别
成绩x（分数）
组中值
频数（人数）
1
90≤x＜100
95
10
2
80≤x＜90
85
25
3
70≤x＜80
75
12
4
60≤x＜70
65
3

（1）完成频数分布直方图；
（2）这个样本数据的中位数在第________组；
（3）若将各组的组中值视为该组的平均成绩，则此次测试的平均成绩为________；
（4）若将90分以上（含90分）定为“优秀”等级，则该县10000名初中生中，获“优秀”等级的学生约为________人．

24.（8分）（2014•河池）小明购买了一部新手机，到某通讯公司咨询移动电话资费情况，准备办理入网手续，该通讯公司工作人员向他介绍两种不同的资费方案：
方案代号
月租费（元）
免费时间（分）
超过免费时间的通话费（元/分）
一
10
0
0.20
二
30
80
0.15
（1）分别写出方案一、二中，月话费（月租费与通话费的总和）y（单位：元）与通话时间x（单位：分）的函数关系式；
（2）画出（1）中两个函数的图象；
（3）若小明月通话时间为200分钟左右，他应该选择哪种资费方案最省钱．

25.（10分）（2014•河池）⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．

（1）如图（1），已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图（2），CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是另外两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？

26.（12分）（2014•河池）如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．

（1）抛物线的解析式是________；
（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S四边形EPP′F=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．

2014年广西省河池市中考数学试卷
　参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1.（2015•荆州）﹣2的相反数是（   ）
A. ﹣ 12                                        B. ﹣2                                        C. 12                                        D. 2
【答案】D
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】解：﹣2的相反数是2，
故选：D．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．

2.（2014•河池）如图所示的几何体，其主视图是（   ）

A.       B.      C.              D.
【答案】A
【考点】简单组合体的三视图
【解析】解：从正面看下面是一个长方形，上面靠右是一个长方形，故A符合题意， 故选：A．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
3.（2014•河池）在函数y= x−1 中，自变量x的取值范围是（   ）
A. x≤1                                     B. x≥1                                     C. x＜1                                     D. x＞1
【答案】B
【考点】函数自变量的取值范围
【解析】解：由题意得，x﹣1≥0， 解得x≥1．
故选B．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

4.（2014•河池）如图，直线l1∥l2 ， ∠1=55°，∠2=65°，则∠3为（   ）
A. 50°                                       B. 55°                                       C. 60°                                       D. 65°
【答案】C
【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质，三角形内角和定理
【解析】解：如图所示：

∵l1∥l2 ， ∠2=65°，
∴∠6=65°，
∵∠1=55°，
∴∠1=∠4=55°，
在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°，
∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°．
故选C．
【分析】先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠3所在三角形其余两角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠3的度数．

5.（2014•河池）世界杯足球赛正在巴西如火如荼地进行，赛前有人预测，巴西国家队夺冠的概率是90%．对他的说法理解正确的是（   ）
A. 巴西队一定会夺冠                                              B. 巴西队一定不会夺冠
C. 巴西队夺冠的可能性很大                                    D. 巴西队夺冠的可能性很小
【答案】C
【考点】概率的意义
【解析】解：巴西国家队夺冠的概率是90%，意思是巴西队夺冠的可能性大， A、夺冠的可能性大并不是一定会夺冠，故A说法错误；
B、巴西队夺冠的可能性大，故B说法错误；
C、巴西队夺冠的可能性大，故C说法正确；
D、巴西队夺冠的可能性大，故D说法错误；
故选：C．
【分析】根据概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生，可得答案．

6.（2014•河池）下列运算正确的是（   ）
A. （a3）2=a6                          B. a2•a=a2                          C. a+a=a2                          D. a6÷a3=a2
【答案】A
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法
【解析】解：A、（a3）2=a6 ， 正确； B、错误，应为a2•a=a2+1=a3；
C、错误，应为a+a=2a；
D、错误，应为a6÷a3=a6﹣3=a3 ．
故选A．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．

7.（2014•河池）若反比例函数y= kx （k≠0）的图象过点（2，1），则这个函数的图象一定过点（   ）
A. （2，﹣1）                     B. （1，﹣2）                     C. （﹣2，1）                     D. （﹣2，﹣1）
【答案】D
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】解：把（2，1）代入y= kx 得k=2×1=2， 所以反比例函数解析式为y= 2x ，
因为2×（﹣1）=﹣2，1×（﹣2）=﹣2，﹣2×1=﹣2，﹣2×（﹣1）=2，
所以点（﹣2，﹣1）在反比例函数y= 2x 的图象上．
故选D．
【分析】先把（2，1）代入y= kx 求出k得到反比例函数解析式为y= 2x ，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标的积进行判断．

8.（2014•河池）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（   ）
A. AB=BC                             B. AC=BD                             C. AC⊥BD                             D. AB⊥BD
【答案】B
【考点】平行四边形的性质，矩形的判定
【解析】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确； B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
D、无法判断．
故选B．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．

9.（2014•河池）已知点（x1 ， y1），（x2 ， y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（   ）
A. 若y1=y2 ， 则x1=x2                                          B. 若x1=﹣x2 ， 则y1=﹣y2
C. 若0＜x1＜x2 ， 则y1＞y2                                   D. 若x1＜x2＜0，则y1＞y2
【答案】D
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】解：A、若y1=y2 ， 则x1=﹣x2； B、若x1=﹣x2 ， 则y1=y2；
C、若0＜x1＜x2 ， 则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；
D、正确．
故选D．

【分析】由于抛物线y=x2﹣1的图象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：若y1=y2 ， 则x1=﹣x2；若x1=﹣x2 ， 则y1=y2；若0＜x1＜x2 ， 则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；若x1＜x2＜0，则y1＞y2 ．

10.（2014•河池）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（   ）
A. 72°                                       B. 54°                                       C. 45°                                       D. 36°
【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】解：∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，∠D=36°， ∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°﹣36°=54°．
故选B．

【分析】先根据圆周角定理求出∠B的度数，再根据AD⊥BC求出∠AEB的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．

11.（2014•河池）如图，点A，点B的坐标分别是（0，1），（a，b），将线段AB绕A旋转180°后得到线段AC，则点C的坐标为（   ）

A. （﹣a，﹣b+1）   B. （﹣a，﹣b﹣1）   C. （﹣a，﹣b+2）     D. （﹣a，﹣b﹣2）
【答案】C
【考点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】解：由题意知：A点是BC的中点设C的坐标是（x，y），则 a+x2 =0，且 b+y2 =1，
解得：x=﹣a，y=2﹣b，
则C的坐标是（﹣a，2﹣b）．
故选C．
【分析】将线段AB绕A旋转180°后得到线段AC，则点A是线段BC的中点，据此即可求得C的坐标．

12.（2014•河池）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（   ）

A.             B.             
C.              D. 
【答案】D
【考点】函数的图象
【解析】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：
     点P运动到周长的一半（ 12 ）时，OP最大；
②点P的运动图象是抛物线．
设点M为周长的一半，如下图所示：

由图可知，
图1中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项A；
图3中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项C．
另外，在图2中，当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B．
故选D．
【分析】认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.（2014•河池）计算： mm−1−1m−1 =________．
【答案】1
【考点】分式的加减法
【解析】解：原式= m−1m−1 =1． 故答案为：1．
【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可．

14.（2016•福州）分解因式：x2﹣4=________．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．

15.（2014•河池）一个不透明的袋子中有4个红球，6个白球，2个黑球，这些球除颜色不同外没有任何区别．随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为红球的概率是________．
【答案】13
【考点】概率公式
【解析】解：∵一个不透明的袋子中有4个红球，6个白球，2个黑球，这些球除颜色不同外其他完全相同， ∴从袋子中随机摸出一个球是球红的概率为： 44+6+2 = 13 ．
故答案为： 13 ；
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．

16.（2014•河池）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为________．

【答案】1
【考点】三角形中位线定理
【解析】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°， ∴DE= 12 BC，DF= 12 AB，
∵AB=6，BC=8，
∴DE= 12 ×8=4，DF= 12 ×6=3，
∴EF=DE﹣DF=4﹣3=1．
故答案为：1．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．

17.（2014•河池）如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地________千米（结果可保留根号）．

【答案】7
【考点】勾股定理的应用
【解析】解：如图所示，由题意可得：AB=2，∠B=60°， 则BD=ABcos60°=1（km），
AD=ABsin60°= 3 （km），
故DC=2km，
则AC= AD2+DC2 = 22+3 = 7 （km）．
故答案为： 7 ．

【分析】根据题意利用锐角三角函数得出BD，AD的长，再利用勾股定理得出AC的长．

18.（2014•河池）在▱ABCD中，S▱ABCD=24，AE平分∠BAC，交BC于E，沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，连接EF并延长交AD于G，EG将▱ABCD分为面积相等的两部分．则S△ABE=________．
【答案】4
【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】解：根据题意，AE平分∠BAC，交BC于E，沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F， ∴点F在对角线AC上，且S△ABE=S△AFE ．
∵EG将▱ABCD分为面积相等的两部分，
∴点F为对角线AC的中点．
∴S△AFE=S△CFE（等底同高）．
∵S平行四边形ABCD=24，
∴S△ABE=S△AFE=S△CFE= 12 S△ABC= 16 S平行四边形ABCD=4．
故答案是：4．

【分析】根据题意作出图形，根据折叠的性质和平行四边形的性质推知S△ABE=S△AFE、点F为对角线AC的中点，则由等底同高的两个三角形的面积相等和等量代换推知S△ABE=S△AFE=S△CFE= 12 S△ABC= 16 S平行四边形ABCD=4．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答用写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）（2014•河池）计算：|﹣4|﹣22+ 12 ﹣tan60°（说明：本题不允许使用计算器计算）
【答案】解：原式=4﹣4+2 ﹣ =
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

20.（6分）（2014•河池）解不等式组： {2x−1>x+1①4x−1<x+8② ．
【答案】解： ， 由①得x＞2，
由②得x＜3，
所以原不等式组的解集是2＜x＜3
【考点】解一元一次不等式组
【解析】先分别解两个不等式得到x＞2和x＜3，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．

21.（8分）（2014•河池）如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
（1）作图： ①过B作AC的平行线BH；
②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．
（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．
【答案】（1）解：作图如下：①如图1； ②如图2：

（2）解：△DEC≌△DFB 证明：∵BH∥AC，
∴∠DCE=∠DBF，
又∵D是BC中点，
∴DC=DB．
在△DEC与△DFB中，
∵ ，
∴△DEC≌△DFB（ASA）
【考点】三角形全等的判定，等边三角形的性质，作图—基本作图
【解析】（1）根据平行线及垂线的作法画图即可；（2）根据ASA定理得出△DEC≌△DFB即可．

22.（8分）（2014•河池）乔丹体育用品商店开展“超级星期六”促销活动：运动服8折出售，运动鞋每双减20元．活动期间，标价为480元的某款运动服装（含一套运动服和一双运动鞋）价格为400元．问该款运动服和运动鞋的标价各是多少元？
【答案】解：设运动服、运动鞋的标价分别为x元/套、y元/双，由题意得，
{80%x+y−20=400x+y=480 ，
解得： {x=300y=180 ．
答：运动服、运动鞋的标价分别为300元/套、180元/双
【考点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】设运动服、运动鞋的标价分别为x元/套、y元/双，根据标价为480元的某款运动服装价格为400元，列方程组求解．

23.（8分）（2014•河池）某县为了了解初中生对安全知识掌握情况，抽取了50名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制成了频数分布表和频数分布直方图（未完成）． 安全知识测试成绩频数分布表
组别
成绩x（分数）
组中值
频数（人数）
1
90≤x＜100
95
10
2
80≤x＜90
85
25
3
70≤x＜80
75
12
4
60≤x＜70
65
3

（1）完成频数分布直方图；
（2）这个样本数据的中位数在第________组；
（3）若将各组的组中值视为该组的平均成绩，则此次测试的平均成绩为________；
（4）若将90分以上（含90分）定为“优秀”等级，则该县10000名初中生中，获“优秀”等级的学生约为________人．
【答案】（1）解：完成图形如下：

（2）2
（3）83.4
（4）2000
【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，加权平均数及其计算
【解析】解：（2.）∵共50个人， ∴中位数应该是第25和第26个数据的平均数，
∵第25和第26个数据均落在第2小组，
∴中位数落在第2小组；
（3.）平均数= 65×3+75×12+85×25+95×1050 =83.4；
（4.）该县10000名初中生中，获“优秀”等级的学生约为10000× 1050 =2000人，
故答案为：2，83.4，2000．
【分析】（1）确定第四小组的频数后即可补全频数分布直方图；（2）根据总人数确定中位数是那两个数据的平均数，然后结合各小组的频数求解即可；（3）用加权平均数计算平均成绩即可；（4）首先确定优秀率，然后确定优秀的人数．

24.（8分）（2014•河池）小明购买了一部新手机，到某通讯公司咨询移动电话资费情况，准备办理入网手续，该通讯公司工作人员向他介绍两种不同的资费方案：
方案代号
月租费（元）
免费时间（分）
超过免费时间的通话费（元/分）
一
10
0
0.20
二
30
80
0.15
（1）分别写出方案一、二中，月话费（月租费与通话费的总和）y（单位：元）与通话时间x（单位：分）的函数关系式；
（2）画出（1）中两个函数的图象；
（3）若小明月通话时间为200分钟左右，他应该选择哪种资费方案最省钱．
【答案】（1）解：方案一：y一=0.2x+10； 方案二：当0≤x≤80时，
y二=30．
当x＞80时，
y二=0.15x+18，
∴y二=
（2）解：列表为：
x
0
80
100
y一=0.2x+10
10
26

y二=30（0≤x≤80）
30
30

y二=0.15x+18（x＞80）

30
33
描点并连线为：

（3）解：当x=200时， y一=10+0.2×200=50，
y二=0.15×200+18=48．
∵50＞48，
∴方案二最省钱
【考点】一次函数的实际应用
【解析】（1）根据月话费=月租费+通话费就可以求出结论；（2）通过列表法就可以画出函数图象；（3）当x=200分别代入（1）的两个解析式就可以求出结论．

25.（10分）（2014•河池）⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．

（1）如图（1），已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图（2），CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是另外两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？
【答案】（1）证明：如图（1），连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD， ∴△BCD∽△EAD，
∴ ，
∴ ，
又∵BD：DE：EC=2：3：5，⊙O的半径为5，
∴BD=2，DE=3，EC=5，
如图（2），连接OC、OE，则△OEC是等边三角形，
作OF⊥CE于F，则EF= CE= ，∴OF= ，
∴圆心O到直线CD的距离是 ．

（3）解：这样的情形共有出现三次： 当点D在⊙O外时，点E是CD中点，有以下两种情形，如图1、图2；
当点D在⊙O内时，点D是CE中点，有以下一种情形，如图3．

【考点】圆的综合题
【解析】（1）连接OC，根据弦切角定理和圆的性质可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA，结合圆周角定理可求得∠OCD=90°，可证明CD是切线；（2）先证明△BCD∽△EAD，结合条件可求得BD=2，DE=3，EC=5，在△OBC中可求得O到CD的距离；（3）分点D在⊙O外和点D在⊙O内两种情况，当D在⊙O外时又分D在A点左边和D在B点右边两种情况，当D在⊙O内时只有一种，结合图形可给出答案．

26.（12分）（2014•河池）如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．

（1）抛物线的解析式是________；
（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S四边形EPP′F=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3
（2）解：令PP′交DE于G，

∵PP′∥AF，PE∥FP′，
∴四边形FEP′P是平行四边形，
∴PP′=EF，
∴△DPP′∽△DAB，
∴ PP′AB=DE−GEDE ，
又∵A（﹣1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=x，
∴AB=4，DE=4，PP′=x，
∴ x4=4−GE4
∴GE=4﹣x，
又∵S四边形EPP'F=EF•GE，
∴y=x（4﹣x）
∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，x=2时，y的最大值是4
（3）解：假设存在满足条件的点Q（x，y），
作OH⊥BC于H，
∵Rt△BCQ中BC是直角边，
∴Rt△BCQ的另一直角边与OH平行．
又∵OC=OB，CO⊥OB，OB=3，OC=3，
∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OH向上或向右平移3个单位得到（如图）．

由已知得直线OH的解析式是y=x，
∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线解析式是：y=x+3或 y=x﹣3
     点Q为直线y=x+3和抛物线交点，
则 {y=x+3y=−x2+2x+3 ，
解得：x=1，
∴y=4；
②点Q为直线y=x﹣3和抛物线交点，
则 {y=x+3y=−x2+2x+3 ，
解得：x=﹣2，
∴y=﹣5，
∴存在满足条件的点Q的坐标是：（1，4）和（﹣2，﹣5）
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点C，
则c=3，
∵抛物线经过A，B两点，∴ {9a+3b+3=0a−b+3=0
解得：a=﹣1，b=2，
故答案为 y=﹣x2+2x+3；
【分析】（1）根据抛物线经过点C可求得c=3，再根据抛物线经过A，B点，即可求得a、b的值，即可解题；（2）令PP′交DE于G，易证四边形FEPP′是平行四边形，可得PP′=EF，易证△DPP′∽△DAB，可得 PP′AB=DE−GEDE ，设EF=x，可得GE=4﹣x，即可求得y关于x的二