2011年湖南省邵阳市中考数学试卷.doc

2011年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣（﹣2）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
2．（3分）如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式是（　　）
A．ab B．3ab C．a D．3a
3．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图是某农户2010年收入情况的扇形统计图，已知他2010年的总收入为5万元，则他的打工收入是（　　）

A．0.75万元 B．1.25万元 C．1.75万元 D．2万元
5．（3分）已知点（1，1）在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，则这个反比例函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）地球上水的总储量为1.39×1018m3，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为0.0107×1018m3，因此我们要节约用水．请将0.0107×1018m3用科学记数法表示是（　　）
A．1.07×1016m3 B．0.107×1017m3
C．10.7×1015m3 D．1.07×1017m3
7．（3分）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD
8．（3分）如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．70°
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）在平面直角坐标系中，点（1，3）位于第　 　象限．
10．（3分）因式分解：a2﹣b2＝　 　．
11．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠A＝　 　．

12．（3分）函数y＝﹣1中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）请写出一个方程的解是2的一元一次方程：　 　．
14．（3分）已知粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔和1支红色粉笔，每支粉笔除颜色外，其余均相同，先从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是　 　．
15．（3分）如图所示，AB∥CD，MN分别交AB、CD于点F、E．已知∠1＝35°，∠2＝　 　°．

16．（3分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2cm，则上底DC的长是　 　cm．

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
17．（8分）计算：20110﹣+|﹣3|．
18．（8分）已知＝1，求+x﹣1的值．
19．（8分）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）

四、应用题（本大题有3小题，第20、21题每小题8分，第22题10分，共26分）
20．（8分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨架设旅游索道．设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处，终点为山顶A处）的长度，采取了如图所示的测量方法．在B处测得山顶A的仰角为16°，查阅相关资料得山高AC＝325米，求索道AB的长度．（结果精确到1米）（参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）

21．（8分）某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计表及如图所示的统计图．
零花钱数额（元）
5
10
15
20
学生人数（个）
a
15
20
5
请根据图表中的信息回答以下问题．
（1）求a的值；
（2）求这50名学生每人一周内的零花钱数额的众数和平均数．

22．（10分）为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛．
规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人．
规则二：合唱队的队员中，九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，余下的为七年级学生．
请求出该合唱团中七年级学生的人数．
五、探究题（本大题10分）
23．（10分）数学课堂上，徐老师出示一道试题：
如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN＝60°，求证：AM＝MN．
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．
证明：在AB上截取EA＝MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1＝180°﹣∠AMB﹣∠AMN，∠2＝180°﹣∠AMB﹣∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．
又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3+∠4＝120°…①
又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA﹣EA＝BC﹣MC，即BE＝BM．
∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°．
∴∠5＝180°﹣∠6＝120°．…②
∴由①②得∠MCN＝∠5．
在△AEM和△MCN中，
∵　 　．
∴△AEM≌△MCN （ASA）．∴AM＝MN．

（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（如图2），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1＝90°时，结论A1M1＝M1N1．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBn∁nDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn＝　 　°时，结论AnMn＝MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

六、综合题（本大题12分）
24．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2011年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】﹣（﹣2）表示﹣2的相反数，根据相反数的意义得出结果．
【解答】解：由相反数的意义，得﹣（﹣2）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的概念．关键是理解算式的意义．
2．【分析】已知积和其中一个因式，求另外一个因式，可用积除以已知因式，得所求因式．
【解答】解：∵a×3ab＝3a2b，
∴□＝a．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．【分析】根据轴对称图形的概念，把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．
【解答】解：根据轴对称的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．
A．是轴对称图形；故此选项正确；
B．是轴对称图形；故此选项正确；
C．是中心对称图形；故此选项错误；
D．是轴对称图形；故此选项正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，注意轴对称和轴对称图形的区别：轴对称指的是两个图形；轴对称图形指的是一个图形．
4．【分析】因为2010年的总收入为5万元，则打工收入占25%，所以打工收入的钱数为：总收入×打工所占的百分比，求出数即为结果．
【解答】解：∵2010年的总收入为5万元，则打工收入占25%，
∴5×25%＝1.25（万元）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，根据总收入和打工所占的百分比可求出解．
5．【分析】先根据反比例函数图象的特点排除A、B，再k＝xy的特点求出k的值，再由反比例函数图象的特点即可进行解答．
【解答】解：∵此函数是反比例函数，
∴此函数图象为双曲线，
∴A、B错误；
∵点（1，1）在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝1×1＝1，
∴此反比例函数的图象在一、三象限，
∴C正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象的特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的图象是双曲线．
6．【分析】先根据科学记数法的方法求出n的值，再用科学记数法表示即可．
【解答】解：∵0.0107×1018写成原数为：107 000 000 000 000 00，
∴n＝17﹣1＝16，
∴0.0107×1018m3用科学记数法表示是1.07×1016m3．
故选：A．
【点评】本题考查的是科学记数法，能根据题意把0.0107×1018写成原数是解答此题的关键．
7．【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，对角线互相平分，两组对角分别相等，由此判断出选项B、C、D正确．再由平行四边形对角线互相平分可知OB＝OD，利用反证法假设AC垂直BD，再加上一条公共边，得到两个三角形的全等，由全等三角形的对应边相等得出AB＝AD，与已知AB≠AD矛盾，故AC不能与BD垂直，所以判断出选项A错误．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，则选项B正确；
又根据平行四边形的对角线互相平分，
∴BO＝OD，则选项C正确；
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD，则选项D正确；
由BO＝OD，假设AC⊥BD，
又∵OA＝OA，
∴△ABO≌△ADO，
∴AB＝AD与已知AB≠AD矛盾，
∴AC不垂直BD，则选项A错误．
故选：A．
【点评】本题要求学生对平行四边形性质的熟练掌握及应用，会用反证法进行证明，是一道中档题．
8．【分析】先根据平角的定义求出∠COB的度数，再由OD平分∠BOC即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠COB＝180°﹣40°＝140°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠2＝∠BOC＝×140°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平角的定义及角平分线的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【解答】解：∵点（1，3）的横纵坐标都为：+，
∴位于第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，
10．【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．
【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．
11．【分析】根据等腰三角形的性质，∠B＝∠C＝50°，然后根据三角形内角和定理就可推出∠A的度数
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝40°，
∴∠A＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故答案为80°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是找到等腰三角形的相等的两个底角．
12．【分析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．
【解答】解：根据题意，得x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．【分析】可设未知数为x，由于x＝2，那么x﹣2＝0．
【解答】解：答案不唯一，例如x﹣2＝0．
故答案为：x﹣2＝0．
【点评】解决本题的关键是把未知数看成2得到相应等式．
14．【分析】根据概率即可直接计算从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率．
【解答】解：∵粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔和1支红色粉笔，
∴从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．解题的关键是注意概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
15．【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1，
∵∠1＝35°，
∴∠2＝35°．
故答案为：35°．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等．
16．【分析】由在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，即可求得∠DAC＝∠CAB＝30°，又由AB∥CD，可证得∠DCA＝∠CAB，则可得∠DAC＝∠DCA，即可证得CD＝AD＝BC，问题得解．
【解答】解：∵AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴CD＝AD＝BC＝2cm．
故答案为：2．
【点评】此题考查了等腰梯形的性质，以及等腰三角形的判定与性质等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
17．【分析】根据零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：20110﹣+|﹣3|，
＝1﹣2+3，
＝2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．【分析】根据式子的特点，x﹣1≠0，可得出x﹣1＝1，即可求出式子的值．
【解答】解：∵＝1，
∴x﹣1＝1，
∴+x﹣1＝2+1＝3．
【点评】本题考查了分式的计算，分母不等于0的性质，比较简单．
19．【分析】（1）连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，推出EF＝HG，EF∥HG即可；
（2）根据三角形的中位线定理得到EF＝AC，GF＝BD，AC＝BD，推出EF＝GF，由（1）即可推出答案．
【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．
证明：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，GF＝BD，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）添加的条件是AC＝BD．

【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是证此题的关键．
四、应用题（本大题有3小题，第20、21题每小题8分，第22题10分，共26分）
20．【分析】首先把此问题转化为解直角三角形问题，运用直角三角函数求解．
【解答】解：如图：Rt△ABC中，AC＝325米，∠B＝16°
∴sin16°＝，
sin16°≈0.28，
∴0.28＝．
∴AB＝325÷0.28≈1161米，
答：索道AB的长度约为1161米．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形为题．
21．【分析】（1）用学生总数减去其他学生数即可得到本题答案；
（2）从统计表中找到学生人数最多的小组的零花钱数即为该组数据的众数，用加权平均数计算平均数即可．
【解答】解：（1）总人数50，所以a＝50﹣15﹣5﹣20＝10；
（2）本周内有20人的零花钱是15元，出现次数最多，
所以众数是15；＝12．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，余下的为七年级学生占，根据合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人，即可列出不等式组，再根据人数必须是整数即可求解．
【解答】解：∵九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，则七年级的人数占．
设七年级合唱团有x人，则合唱团总人数是4x人．
根据题意得：50≤4x≤55，
则≤x≤，
又∵人数只能是正整数，
∴x＝13．
答：该合唱团中七年级学生的人数为13人．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题目中的不等关系是解题的关键．
五、探究题（本大题10分）
23．【分析】（1）由△AEM≌△MCN 所需角边角条件而得；（2）判断，成立，再截去；（3）当n＝3，4时的度数，来猜想．
【解答】（1）证明：由下一步△AEM≌△MCN （ASA）所需条件证得：
∠1＝∠2．AE＝MC，∠MCN＝∠5；

（2）解：成立．在A1B1上截取A1H＝M1C1；

（3）由∠AMN＝60°＝×180，∠A1M1N1＝90°＝×180°，
猜想：∠AnMnNn＝×180°．
【点评】本题考查了正方形的性质，（1）由△AEM≌△MCN 所需角边角条件来求；（2）判断成立后，再截去；（3）当n等于3，4时，得到的度数，从而猜得当n＝n时的度数．
六、综合题（本大题12分）
24．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB的度数．
（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式．
（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．
【解答】解：（1）∵以AB为直径的圆恰好经过 点C，
∴∠ACB＝90°．

（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC2＝AO•OB，
∵A（﹣，0），点C（0，3），
∴，OC＝3，
又∵CO2＝AO•OB，
∴，
∴OB＝4，
∴B（4，0）把 A、B、C三点坐标代入得．

（3）①OD＝DB，如图：
D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．
Ⅴ
DH＝，，
∴D，

②BD＝BO，如图：
过D作DG⊥OB，垂足是G，
∴＝＝，
∵OB＝4，CB＝5，
∴BD＝OB＝4，
∴＝，
∴＝＝，
∴BG＝，DG＝，
∴OG＝BO﹣BG＝，
∴D（，）．

【点评】本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/17 10:24:11；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第16页（共16页）