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2011年新疆建设兵团中考数学试卷
一、精心选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母填入答题卷相应的表格内.）
1．（5分）我国第六次人口普查公布全国人口约为137054万，用科学记数法表示是（　　）
A．1.37054×108 B．1.37054×109
C．1.37054×1010 D．0.137054×1010
2．（5分）已知：a＝﹣a，则数a等于（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．不确定
3．（5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（　　）

A．40° B．65° C．75° D．115°
4．（5分）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（5分）下列各式中正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．（2b﹣5）2＝4b2﹣25
C．（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）2 D．a2+2ab+（﹣b）2＝（a﹣b）2
6．（5分）将（﹣）0，（﹣）3，（﹣cos30°）﹣2，这三个实数从小到大的顺序排列，正确的顺序是（　　）
A．（﹣）3＜（﹣）0＜（﹣cos30°）﹣2
B．（﹣cos30°）﹣2＜（﹣）0＜（﹣）3
C．（﹣）0＜（﹣）3＜（﹣cos30°）﹣2
D．（﹣cos30°）﹣2＜（﹣）3＜（﹣）0
7．（5分）如图，l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）．l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（　　）

A．y＝（x＜0） B．y＝（x＞0） C．y＝﹣（x＜0） D．y＝﹣（x＞0）
8．（5分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，该几何体的全面积s等于（　　）

A．πa（a+c） B．πa（a+b） C．πa（a+c） D．πa（a+b）
二、合理填空（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（5分）方程＝4的解为　 　．
11．（5分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，则BC边上的高AD等于　 　cm．

12．（5分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是　 　．
13．（5分）如图，∠BAC所对的弧（图中）的度数为120°，⊙O的半径为5，则弦BC的长为　 　．

14．（5分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种．

三、解答题（一）（本大题共有3题，共20分）
15．（6分）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝﹣2．
16．（6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
17．（8分）甲、乙两县参加由地区教育局举办的“双语口语”大赛，两县参赛人数相等．比赛结束后，学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分10分）．甲、乙两县不完整成绩统计表如右表所示．经计算，乙县的平均分是8.25，中位数是8分．
（1）请写出扇形图中“8分”所在扇形的圆心角度数；求出甲县的平均分、中位数；根据以上信息分析哪个县的成绩较好；
（2）若地区教育局要组织一个由8人的代表队参加自治区组织的团体赛，为了便于管理，决定从这两个县的一个县中挑选参赛选手．请你分析该从哪个县选取．
甲、乙两县成绩统计表
乙县成绩扇形统计图
分数
7分
8分
9分
10分

甲县人数
11
1
0
8
乙县人数
8

3
5
四、解答题（二）（本大题共有7题，共60分）
18．（8分）有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，试改动红盒子中的一个小球的编号，使游戏规则公平．
19．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），顶点为P．
（1）求A、B、P三点的坐标；
（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x取何值时，函数值大于零；
（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平移后图象的函数表达式．
x

y

20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．

21．（8分）请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例．
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，圆心O在AC上，⊙O与BC相切于点D，求⊙O的半径．

23．（10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？
24．（10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．

2011年新疆建设兵团中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母填入答题卷相应的表格内.）
1．（5分）我国第六次人口普查公布全国人口约为137054万，用科学记数法表示是（　　）
A．1.37054×108 B．1.37054×109
C．1.37054×1010 D．0.137054×1010
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：137 054万＝1 370 540 000人．
将1 370 540 000用科学记数法表示为：1.370 54×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（5分）已知：a＝﹣a，则数a等于（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．不确定
【考点】86：解一元一次方程．菁优网版权所有
【分析】先将等式两边的代数式移到同一边，然后合并，最后解出a的值．
【解答】解：因为a＝﹣a，
所以a+a＝0，即2a＝0，
则a＝0，
故选：A．
【点评】此题考查的知识点是解一元一次方程，关键是通过移项求解．
3．（5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（　　）

A．40° B．65° C．75° D．115°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝65°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．
4．（5分）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】W7：方差．菁优网版权所有
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．可找到最稳定的．
【解答】解：因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．
故选：D．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（5分）下列各式中正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．（2b﹣5）2＝4b2﹣25
C．（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）2 D．a2+2ab+（﹣b）2＝（a﹣b）2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算法则和完全平方公式进行判断即可
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故选项错误；
B、（2b﹣5）2＝4b2﹣20b+25，故选项错误；
C、（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）2，故选项正确；
D、a2+2ab+（﹣b）2＝（a+b）2，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方和完全平方公式，熟记完全平方公式对解题大有帮助．
6．（5分）将（﹣）0，（﹣）3，（﹣cos30°）﹣2，这三个实数从小到大的顺序排列，正确的顺序是（　　）
A．（﹣）3＜（﹣）0＜（﹣cos30°）﹣2
B．（﹣cos30°）﹣2＜（﹣）0＜（﹣）3
C．（﹣）0＜（﹣）3＜（﹣cos30°）﹣2
D．（﹣cos30°）﹣2＜（﹣）3＜（﹣）0
【考点】2A：实数大小比较；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】分别根据0指数幂、数的乘方、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算计算出各数，再根据实数比较大小的法则比较出各数的大小即可．
【解答】解：∵（﹣）0＝1，（﹣）3＝﹣3，（﹣cos30°）﹣2＝（﹣）﹣2＝，
∵﹣3＜0，＞1，
∴﹣3＜1＜，即（﹣）3＜（﹣）0＜（﹣cos30°）﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知0指数幂、数的乘方、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算是解答此题的关键．
7．（5分）如图，l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）．l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（　　）

A．y＝（x＜0） B．y＝（x＞0） C．y＝﹣（x＜0） D．y＝﹣（x＞0）
【考点】G4：反比例函数的性质．菁优网版权所有
【分析】因为l1关于x轴对称的图象为l2，因此可知道A关于x轴的对称点A′在l2的函数图象上，从而可求出解析式．
【解答】解：A（1，2）关于x轴的对称点为（1，﹣2）．
所以l2的解析式为：y＝﹣，
因为l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，
所以x＞0．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，知道一点可以确定函数式，因此根据对称找到反比例函数上的点，从而求出解．
8．（5分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，该几何体的全面积s等于（　　）

A．πa（a+c） B．πa（a+b） C．πa（a+c） D．πa（a+b）
【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】由几何体的主视图和左视图，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥．
【解答】解：依题意知母线长l＝c，底面半径r＝a，
底面圆周长为2πa，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π•c•a＝πac．
底面圆的面积为：πa2，
∴该几何体的全面积s等于：πa（a+c）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
二、合理填空（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥　．
【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，得：3x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10．（5分）方程＝4的解为　x＝　．
【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1），得
﹣2x﹣1＝4（x﹣1），
解得x＝．
检验：把x＝代入（x﹣1）＝﹣≠0．
∴原方程的解为：x＝．
故答案为：x＝．
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
11．（5分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，则BC边上的高AD等于　2　cm．

【考点】KK：等边三角形的性质；KQ：勾股定理．菁优网版权所有
【分析】根据等边三角形的性质可求得∠BAD＝30°，已知AB＝4，则在RT△ABD中，可得到BD的长，再利用勾股定理求得AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝30°，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及运用，难度适中．
12．（5分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是　a≤1　．
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△＝b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为a≤1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13．（5分）如图，∠BAC所对的弧（图中）的度数为120°，⊙O的半径为5，则弦BC的长为　5　．

【考点】M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】连接OB、OC，过O点作OD⊥BC于点D，由可求出∠BOC＝120°，再由垂径定理可知BD＝BC，根据锐角三角函数的定义可求出BD的长，进而可得出BC的长．
【解答】解：连接OB、OC，过O点作OD⊥BC于点D，
∵＝120°，
∴∠BOC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝BC，∠BOD＝∠BOC＝×120°＝60°，
在Rt△OBD中，BD＝OB•sin∠BOD＝5×＝，
∴BC＝2BD＝2×＝5．
故答案为：5．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
14．（5分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　5　种．

【考点】P8：利用轴对称设计图案．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，

选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处．
故答案为：5．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
三、解答题（一）（本大题共有3题，共20分）
15．（6分）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先对括号里的分式通分，计算出来后，再把除法转化为乘法，最后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•＝x+1．
当x＝﹣2时，原式＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是对分式的分子、分母要进行因式分解．
16．（6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】C2：不等式的性质；C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式；CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集是1≤x＜3，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
17．（8分）甲、乙两县参加由地区教育局举办的“双语口语”大赛，两县参赛人数相等．比赛结束后，学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分10分）．甲、乙两县不完整成绩统计表如右表所示．经计算，乙县的平均分是8.25，中位数是8分．
（1）请写出扇形图中“8分”所在扇形的圆心角度数；求出甲县的平均分、中位数；根据以上信息分析哪个县的成绩较好；
（2）若地区教育局要组织一个由8人的代表队参加自治区组织的团体赛，为了便于管理，决定从这两个县的一个县中挑选参赛选手．请你分析该从哪个县选取．
甲、乙两县成绩统计表
乙县成绩扇形统计图
分数
7分
8分
9分
10分

甲县人数
11
1
0
8
乙县人数
8

3
5
【考点】VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】（1）先求出乙县中得8分的占几人，然后求出它占总人数的百分比，然后再乘以360度即可求出圆心角的度数；根据平均数公式求出甲县的平均数，再由中位数的定义求出中位数，从平均分和中位数角度上判断，乙县的成绩较好．
（2）根据题意从图上可知，甲县得（10分）的有8人，而乙县得（10分）的只有5人，所以应选甲县．
【解答】解：（1）∵两县参赛人数相等，
∴乙县人数为20人，则8分的有20﹣8﹣3﹣5＝4人，占总人数的百分比为4÷20×100%＝20%，
∴扇形图中“8分”所在扇形的圆心角度数＝360°×20%＝72°；
甲县的平均分＝（11×7+8×1+10×8）÷20＝8.25分，
中位数是（7+7）÷2＝7；
由于两校平均分相等，中位数甲县较低，所以从平均分和中位数角度上判断，乙县的成绩较好．

（2）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲县得（10分）的有8人，而乙县得（10分）的只有5人，所以应选甲县．
【点评】本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．另外还要理解中位数的概念．
四、解答题（二）（本大题共有7题，共60分）
18．（8分）有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，试改动红盒子中的一个小球的编号，使游戏规则公平．
【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．菁优网版权所有
【分析】（1）首先画树状图，然后根据树状图即可求得甲获胜的概率；
（2）根据树状图，求得甲、乙获胜的概率，然后比较概率，即可求得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：

∴一共有12种等可能的结果，两球编号之和为奇数有5种情况，
∴P（甲胜）＝；

（2）不公平．
∵P（乙胜）＝，
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平；
将红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球，改为1、2、3、4的四个红球即可．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），顶点为P．
（1）求A、B、P三点的坐标；
（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x取何值时，函数值大于零；
（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平移后图象的函数表达式．
x

y

【考点】H2：二次函数的图象；H6：二次函数图象与几何变换；HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】（1）令y＝0求得点A、B的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P的坐标；
（2）首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与x轴的交点，写出x取何值时，函数值大于零；
（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，即对应点的纵坐标少1，从而写出函数解析式．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3．
则A（1，0），B（3，0）．
根据顶点坐标公式，则﹣＝2，＝1，即P（2，1）；

（2）

根据图象，得1＜x＜3时，函数值大于零；

（3）抛物线的顶点式是y＝﹣（x﹣2）2+1，则将此抛物线的图象向下平移一个单位后，得到
y＝﹣（x﹣2）2+1﹣1＝﹣x2+4x﹣4．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点以及顶点坐标、抛物线的画法以及与不等式之间的关系、抛物线的平移和解析式的变化．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．

【考点】R8：作图﹣旋转变换；T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】（1）作出∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂线，即可得出答案．
（2）利用旋转的性质得出AB1＝3，AC1＝4，再利用锐角三角函数的定义即可求出．
【解答】解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，
延长AB1到D，使得AD＝AB1，
作B1D的垂直平分线AC1，
在AC1上截取AC1＝AC，
如图所示即是所求．

（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝＝．

【点评】此题主要考查了作旋转图形和锐角三角函数的定义，根据已知熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
21．（8分）请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例．
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；O3：反证法．菁优网版权所有
【分析】（1）作出草图，连接一条对角线，然后证明三角形全等，根据全等三角形的对应角相等在证明另一组对边也平行，然后根据平行四边形的定义即可证明；
（2）不正确，可以作出一个“筝形”图形说明．
【解答】（1）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形，
证明：连接BD，∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴∠ADB＝∠DBC（全等三角形对应角相等），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形不正确．
如右图，∠BAD＝∠BCD，对角线AC被BD平分，但四边形ABCD不是平行四边形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定定理的证明，连接对角线构造出全等三角形是解题的关键．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，圆心O在AC上，⊙O与BC相切于点D，求⊙O的半径．

【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据勾股定理得AC＝5．连接OD，则OD⊥BC．设OD＝r，则OC＝5﹣r．根据sinC＝AB：AC＝OD：OC建立关系式求解．
【解答】解：连接OD．
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC．
∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5．
设⊙O的半径为r，则OC＝5﹣r．
∵sinC＝AB：AC＝OD：OC，即3：5＝r：（5﹣r），
∴r＝．
即⊙O的半径为．

【点评】此题考查切线的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，难度中等．
23．（10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？
【考点】AD：一元二次方程的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
【分析】根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是x元．
【解答】解：设P＝kx+b，
根据题意得：
，
解得：，
∴P＝﹣2x+100，
设此时书包的单价是x元．
∴P（x﹣30）＝200，
∴（﹣2x+100）（x﹣30）＝200，
x＝40．
故此时书包的单价是40元．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求解．
24．（10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．

【考点】H7：二次函数的最值；L8：菱形的性质；LJ：等腰梯形的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，再根据∠B的正弦值，即可推出AB的长度；
（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP＝CQ，推出CP关于x的表达式，然后根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；
（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，若存在，则PC＝QC，9﹣x＝x，x＝，得出矛盾，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．
【解答】解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，
∴BE＝（BC﹣AD）÷2＝2.5，
∵∠B＝45°，
∴AB＝；

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B＝∠C＝45°，则△CQF是等腰直角三角形．
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP＝x，
∴BP＝CQ＝x，
∵BC＝9，
∴CP＝9﹣x，QF＝，
设△PQC的面积为y，
∴y＝（9﹣x）•，
即y＝＝﹣+，
∵CD＝AB＝，
∴根据题意可知，x≤，
∴当x＝时，△PQC的面积最大，最大值为：
y＝PC•QF＝（9﹣）×
＝﹣；

（3）不存在，
若存在，则PC＝QC，
∴9﹣x＝x，
∴x＝，
而＞，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．

【点评】本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．

考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
7．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用