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贝努利不等式在高考中的应用
贝努利不等式：对任意正整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 成立； 如果n≥0且为偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n = 0,1，或x= 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1且x≠0，有严格不等式： ＞1+nx
下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：
若m ≤0或m≥ 1，有≥ 1 + mx ；若0 ≤ m≤ 1，有≤ 1 + mx
证明方法如下：
如果m=0，1，则结论是显然的 　　
如果m≠0，1，作辅助函数, 那么, 则 x=0; 　　下面分情况讨论： 　　1. 0 < m< 1，则对于x > 0，< 0；对于 − 1 < x < 0，> 0。因此在x = 0处取最大值0，故得 ≤ 1 + mx。 　
2. m < 0或m > 1，则对于x > 0，> 0；对于 − 1 < x < 0，< 0。因此在x = 0处取最小值0，故得≥ 1 + mx
《标准》所指的贝努利不等式是： (x>-1，n为正整数)． ①
注不等式①中的条件“n为正整数”可推广为“n为大于l的实数”，
推论1设n∈N+，，n>l，t>0，则有 ≥1+n(t一1)， ②当且仅当t=l时，②取等号．
②的证明可由恒等式 ③ 直接推出．
易见，当且仅当t=1时，②取等号，因此当且仅当x=0时，①取等号．
在①中令x+l=t，则①可变为②或③,因此不等式①与②是等价的．因此不等式①与②都可以称为贝努利不等式．
推论2设>0，n∈N+，n>1，则, ④当且仅当时，④取等号．
证明由②得，
例题精讲
1.（2007，湖北理5）已知和是两个不相等的正整数，且，则 （ C ）
A．0 B．1 C． D．
解答：由于
所以 令，分别取和，则原式化为

所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）
法二：根据贝努利不等式可知当时， = 1 + mx ，故对于此题有当有
，所以

2.（2007，湖北理21）已知为正整数，
（1）用数学归纳法证明：当时，；
（2）对于，已知，求证，求证，；
（3）求出满足等式的所有正整数．
解法1：（1）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，
因为，所以左边右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，
，，于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．
（2）证：当时，由（Ⅰ）得，
于是，．
（3）解：由（Ⅱ）知，当时，
，
．
即．即当时，不存在满足该等式的正整数．
故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；当时，，等式成立；
当时，，等式成立；
当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；
当时，同的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的只有．
解法2：（1）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当，且时，，．　　①
①当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；
②假设当时，不等式①成立，即，则当时，
因为，所以．又因为，所以．
于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（2）证：当，时，，，
而由（1），，．
（3）解：假设存在正整数使等式成立，
即有．　　　　　②
又由（2）可得
，与②式矛盾．
故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1．

3.（2001，全国理20) 已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n
(1 )证明 nipim＜mipin； ( 2 )证明 (1+m)n>(1+n)m
证明:(1)略
(2)因为1＜m＜n , >1 ,由贝努利不等式有,所以(1+m)n>(1+n)m
4.(2007,四川理22）设函数 .
(1)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(2)对任意的实数x,证明＞
(3)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
（1）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（2）证法一：因为

证法二：因
而故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，从而有，亦即
故有恒成立。所以，原不等式成立。
（3）对，且有

又因，故
∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。
5.(2003，江苏理)已知 为正整数。
（1）设 ，证明
（2） 设 ，对任意，证明 。
证明：（1）因为，所以
（2）对函数求导数:

即对任意
法二： 等价于 > ①
对于x>1,因 > 0 >-1， - >-1 由①得 > ， >

两边同乘以 有， 所以 ②
若 ，在②中分别取 及 则
即得①式，所以
若0<<I，在②中分别取 及
则
所以
同乘以即得①，所以 成立．
王志全著 2011年1月18号

参考文献
I赵思林.贝努利不等式的螺旋式证明．中学数学研究(广州)，2008，6
2常国良.贝努利不等式的推广及证明．中学数学月刊，2008，2