2011年甘肃省兰州市中考数学试题(含答案).doc

2011年甘肃省兰州市初中毕业生学业考试数学试卷
注意事项：
1．全卷共150分，考试时间120分钟．
2．考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置．
3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置．
一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1． （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是
A． B．
C． D．
2． （2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为
A． B． C． D．
x

y

-2

1

O

3． （2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于
A．20° B．30° C．40° D．50°
A

B

D

O

C

4． （2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为
A． B． C． D．
A

B

C

C’

B’

5． （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线的顶点坐标是
A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1）
6． （2011甘肃兰州，6，4分）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是
2

1

1

1

A． B． C． D．
7． （2011甘肃兰州，7，4分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是
A．m=3，n=5 B．m=n=4 C．m+n=4 D．m+n=8
8． （2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
9． （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0．你认为其中错误的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
x

y

-1

1

O

1

10．（2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程时，原方程应变形为
A． B． C． D．
11．（2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为
A． B．
C． D．
12．（2011甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为
A．6 B．13 C． D．
A

B

C

O

13．（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是
A

B

C

D

E

F

G

H

x

y

-1

O

1

x

y

1

O

1

x

y

O

1

x

y

1

O

1

1

A． B． C． D．
15．（2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为
A．1 B．－3 C．4 D．1或－3

x

y

O

A

B

C

D

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分．）
16．（2011甘肃兰州，16，4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=
度．
O

D

B

C

17．（2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 ．
18．（2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m．（结果用π表示）
O

O

O

O

l

19．（2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是 ．
20．（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．
……

21．（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=．
计算的值．
22．（2011甘肃兰州，22，7分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．记S=x+y．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？
A

B

1

2

3

4

4

2

6

23．（2011甘肃兰州，23，7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图．根据图示，解答下列问题：
（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？
（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；
（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？
（4）请根据以上结论谈谈你的看法．
超过1小时

未超过1小时

270°

O

不喜欢

没时间

其它

50

100

150

250

350

450

200

300

400

原因

人数

锻炼未超过1小时人数频数分布直方图

120

20

24．（2011甘肃兰州，24，7分）如图，一次函数的图象与反比例函数（x>0）的图象交于点P， PA⊥x轴于点A， PB⊥y轴于点B， 一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的表达式；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
x

y

A

O

P

B

C

D

25．（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径= （结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．
A

B

C

O

26．（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= ．
（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
A

A

B

C

C

B

图①

图②

27．（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
A

B

C

D

E

F

O

28．（2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
x

y

A

O

B

P

Q

C

D

2011兰州市中考数学答案
一、选择题
1．【答案】C
【思路分析】A项分母中含有未和知数，错；B项中未强调a≠0，错；D项中含有两个未知数，错．
2．【答案】B
【思路分析】将点（－2，1）代入得得；也可直接利用双曲线上的点的横坐标与纵坐标的积就是比例系数，即．
3．【答案】C
【思路分析】由OA=OC得∠OCA=∠A=25°，再利用三角形外角性质∠DOC=∠A+∠OCA=50°；由切线性质得∠DCO=90°，∠D=90°－50°=40°
4．【答案】B
【思路分析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B’=∠B；然后将∠B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tanB’= tanB=，故选B
5．【答案】A
【思路分析】配方得，得顶点为（1，0）
6．【答案】D
【思路分析】从正面看，从左到右有三排小立方块，排除A；最左边后方的小立方块有两层，应选D．
7．【答案】D
【思路分析】取得白球的概率是，由取得白球的概率与不是白球的概率相同可得，化简得m+n=8
8．【答案】B
【思路分析】sin60°=，cos60°=，再把纵坐标变成相反数．
9．【答案】D
【思路分析】图象与x轴有两个交点，得（1）正确；图象与y轴交点在点（0，1）下方得c<1，（2）错误；对称轴在点（－1，0）右侧，得并考虑a<0，去分母得－b<－2a，2a－b<0，所以（3）正确；a+b+c是x=1时的函数值，从图象上看，横坐标为1时图象上的点在x轴下方，故a+b+c<0，所以（4）正确．综上只有一条信息错误．
10．【答案】C
【思路分析】－5移到右边得，再两边加1得即．
11．【答案】A
【思路分析】每个学生要送给其余（x－1）名学生每人一张照片，这样共需送x(x－1)张．
12．【答案】C
【思路分析】延长AO交BC于点D，则AD垂直平分BC，BD=AD=3，OD=3－1=2，OB=
A

B

C

O

D

13．【答案】A
【思路分析】无公共点的两圆还可能内含；菱形的面积等于两条对角线的积的一半；对角线相等的平行四边形才是矩形；所以①③④都是假命题．
14．【答案】B
【思路分析】先求解析式，再注意x的取值范围是0<x<1．
15．【答案】D
【思路分析】设C（m，n），则B（－2，n），D（m，－2），因BD经过原点，得，得mn=4，所以，解得k=1或－3．
二、填空题
16．【答案】63°
【思路分析】∠DOB=2∠DCB=54°，△OBD是等腰三角形，得∠OBD=（180°－54°）÷2=63°．
17．【答案】75°
【思路分析】设两个坡角分别为α,β，则tanα=1∶，tanβ=1，得α=30°,β=45°，和为75°．
18．【答案】2π+50
【思路分析】圆心O所经过的路线分三段：一段是平行于l长为四分之一周长的线段（图中左边两个O点之间的线段），第二段是长为四分之一周长的弧，第三段是长为50m的线段，前两段并起来正好是半圆，长为2π，总长为2π+50．
19．【答案】x1=－4，x2=－1【由对称轴性质可知，对称轴由-m变为-m-2，所以图像整体右移2单位，即方程的解亦右移2单位！】
【思路分析】由题设得x+2=－2或x+2=1，得x1=－4，x2=－1
20．【答案】
【思路分析】第二个矩形面积是第一个矩形面积的四分之一，第三个矩形面积是第二个矩形面积的四分之一等于第一个矩形面积乘以两个四分之一，第四个矩形面积是第三个矩形面积的四分之一等于第一个矩形面积乘以三个四分之一，依次类推，第n个矩形的面积等于第一个矩形面积乘以（n－1）个四分之一．
三、解答题
21．【答案】由sin(α+15°)=得α=45°
原式=
22． 【答案】 1 （1，2） （1，4） （1，6）
2 （2，2） （2，4） （2，6）
3 （3，2） （3，4） （3，6）
4 （4，2） （4，4） （4，6）
2 4 6
（2）甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，所以这个游戏不公平，对乙有利．
【思路分析】（1）以纵轴表转盘A的数字，横轴表示转盘B的数字，由它们的交叉点得出P的坐标；（2）分别求出甲、乙获胜的概率再进行比较．
23．【答案】（1）
（2）720×－120－20=400
“没时间”锻炼的人数是400名．
O

不喜欢

没时间

其它

50

100

150

250

350

450

200

300

400

原因

人数

锻炼未超过1小时人数频数分布直方图

120

20

400

（3）2.4×=1.8（万人）
所以估计2011年兰州区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有1.8万人
（4）要重视体育锻炼；要抽时间参加体育锻炼；等等．（符合题意即可）
【思路分析】（1）从扇形图上看出每天锻炼超过1小时部分的圆心角为90°，占360°的，故概率是；（2）算出未超过1小时的人数是720×，再减去不喜欢及其它的人数；（3）未超过1小时的概率是；（4）可从要喜欢体育锻炼、要增加体育锻炼时间等方面回答．
24．【答案】（1）D（0，3）
（2）设P（a，b），则OA=a，OC=，得C（，0）
因点C在直线y=kx+3上，得，ka=－9
DB=3－b=3－(ka+3)=－ka=9，BP=a
由得a=6，所以，b=－6，m=－36
一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
（3）x>6
【思路分析】（1）解析式中的3就是D点的纵坐标；（2）由P点坐标可得A、B点的坐标，可得OA、OB的长，OC是CA的一半，可得OC长，得C点坐标，代入得方程，再由面积得方程，进而可求出有关量．（3）从图象上看出P点右侧符合．
25．【答案】（1）
A

B

C

O

x

y

D

E

（2）① C（6，2），D（2，0）
②
③
④相切．
理由：∵CD=，CE=，DE=5
∴CD2+CE2=25=DE2
∴∠DCE=90°即CE⊥CD
∴CE与⊙D相切．
【思路分析】（1）作出AB和BC的垂直平分线，交点就是圆心D；（2）②在Rt△AOD中应用勾股定理，③弧ABC的长就是圆锥的底面圆周长，观察图形易得∠ADC=90°，弧长为，底面半径为，底面面积为，④从图上易看出是相切，证明时需证∠DCE=90°，注意到线段CD、CE、DE的长均可求出，故想到用勾股定理的逆定理．
26．【答案】（1）1
（2）0<sadA<2
（3）
A

C

B

D

设AB=5a，BC=3a，则AC=4a
如图，在AC延长线上取点D使AD=AB=5a，连接BD．则CD= a
BD
∴sadA
【思路分析】（1）将60°角放在等边三角形中，底和腰相等，故sadA=1；（2）在图①中设想AB=AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA>0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA<2；（3）将∠A放到等腰三角形中，如上解答是一个方法，另一方法是在AB上截取AE=AC，连接CE，设法求出CE，可作EF⊥AC于F，在△AEF中求EF、AF，得CF，进而可求CE．
27．【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO
∵AD∥BC
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形AFCE是菱形．
（2）由（1）得AF=AE=10
设AB=a，BF=b，得
a2+b2=100 ①，ab=48 ②
①+2×②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）
∴△ABF的周长为24cm
（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意．
A

B

C

D

E

F

O

P

证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE
∴△AOE∽△AEP
∴，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP
又AC=2AO
∴2AE2=AC·AP
【思路分析】（1）对角线已经互相垂直，再证互相平分，即证OE=OF，通过证△AOE≌△COF即可；（2）将条件集中到Rt△ABF中，就是已知斜边和面积求周长，可将直角边设为未知数列出方程，本题只求周长，所以不必解方程，只要求出两直角边的和就行了；（3）分析时，首先要处理2AE2=AC·AP中的2倍，注意到AC=2AO，代入就化为AE2=AO·AP，即，又∠EAP=∠OAE，得△AOE∽△AEP，反过来只要△AOE∽△AEP，就能得2AE2=AC·AP，它们已有一对角相等，只要找的P点能得另一对角相等就能得相似，∠AOE=90°，这就需∠AEP=90°，就得到找P点的方法，过点E作AD的垂线与AC的交点就是所要找的P点．
28．【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线过A、B、D三点得
解得
抛物线的表达式为
（2）①S=PQ2=（0≤t≤1）
②由解得t=或t=（不合题意，舍去）
此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，）
若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，）或（1，－）或（1，）
经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，）在抛物线上
所以抛物线上存在点R（3，）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求．因为如在对称轴上另取一点N，则
ND－NA=ND－NB<BD，而MD－MA=MD－MB=BD，故点M到D、A的距离之差最大．
由B（2，－2）、D（4，）求得直线BD的解析式为
时，，故点M的坐标为（1，）
x

y

A

O

B

P

Q

C

D

M

N

【思路分析】（1）求出A、B两点的坐标后，将A、B、D三点坐标代入得三元一次方程组，求出a，b，c的值；（2）用含t的代数式表示BP、BQ后再用勾股定理求出S的解析式，再根据S=求出t的值，得出P、B、Q的坐标，根据P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，分类求出R的坐标，再验证是否在抛物线上；（3）利用对称将点A转化到与点D在对称轴的同一边，再利用三角形两边的差小于第三边判断出点M与点B、D在同一直线上时，差才最大，再利用一次函数求出点M的坐标．

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