2015年甘肃省兰州市中考数学试题(含答案).doc

2015年兰州市初中毕业生学业考试
数 学（A）
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟．
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是
A． B．
C． D．
2．由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是
A．左视图与俯视图相同 B．左视图与主视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为的是
正面
第2题图
B
A
C
第4题图
第5题图
B
x
y
O
A
C
D
A． B． C． D．

4．如图，△ABC中，∠B = 90º，BC = 2AB，则cosA =
A． B． C． D．
5．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将
线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
6．一元二次方程配方后可变形为
A． B． C． D．
7．下列命题错误的是
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形

O
x
y
O
x
y
O
x
y
y
O
x
A
B
C
D
8．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是

9．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB =
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
10．如图，菱形ABCD中，AB = 4，∠B = 60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是
A． B． C． D．
11．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是
A． B． C． D．
12．若点，在反比例函数的图象上，且，则
A． B． C． D．
B
x
y
O
A
P
C
第9题图
O
x
y
A
C
第13题图
A
B
D
E
F
C
第10题图

13．二次函数的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA = OC，则
A．ac + 1= b B．ab + 1= c C． bc + 1= a D．以上都不是
14． 二次函数的图象与x轴有两个交点A，B，且，点P
是图象上一点，那么下列判断正确的是
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时， 
B
O
A
P
C
D
M
N
Q
第15题图
15．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
16．若一元二次方程有一根为，则 ．
17．如果 ，且，那么k = ．
18．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
46
487
2506
5008
24996
50007
y
x
O
A
B
P
Q
M
N
第19题图
根据列表，可以估计出n的值是 ．
19．如图，点P、Q是反比例函数图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1 S2．（填“>”或“<”或“=”）
20．已知△ABC的边BC = 4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是 ．

三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分，每题5分）
（1）计算：tan；
（2）解方程：．
第22题图
A
B
N
M
O
22．（本小题满分5分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

23．（本小题满分6分）为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?

24．（本小题满分8分）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米．依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的．
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
墙面
G
H
F
E
D
C
地面
A
B
旗杆
电线杆
第24题图

25．（本小题满分9分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB ≠ CD，BD = AC．
（1）求证：AD = BC；
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．
A
E
F
C
H
G
B
D
第25题图

26．（本小题满分10分）如图，A，，B，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，AC⊥ x轴于点C，BD⊥ y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，?
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
P
y
A
B
x
C
D
O
第26题图

27．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC = 3，∠B = 30°．
①求⊙O的半径；
D
C
B
A
E
O
第27题图
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和）

28．（本小题满分12分）已知二次函数y = ax2的图象经过点（2，1）．
（1）求二次函数y = ax2的解析式；
（2）一次函数y = mx+4的图象与二次函数y = ax2的图象交于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．
①当时（图①），求证：△AOB为直角三角形；
②试判断当时（图②），△AOB的形状，并证明；
（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）
A
x
y
B
O
第28题图
x
y
O
A
B
图①
图②

2015年兰州市初中毕业生学业考试
数学（A）参考答案及评分参考

本答案仅供参考，阅卷时会制定具体的评分细则和评分标准．
一、选择题：本题15小题，每小题4分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
C
B
A
D
B
C
D
A
B
B
B
D
A
C
A
二、填空题：本题5小题，每小题4分，共20分．
16．2015 17．3 18．10 19．= 20．30°或150°
三、解答题：本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分，每题5分）
解：（1）原式= ……………………………………………………… 4分
=－1． ……………………………………………………………………… 5分
（2）∵，
∴， ……………………………………………………… 6分
∴， ………………………………………………………8分
∴．…………………………………………………………………10分
A
B
N
M
O
P
22．（本小题满分5分）
解：作出角平分线； ………………… 1分
作出垂直平分线； ………………… 2分
作出⊙P； ……………… 4分
∴⊙P就是所求作的圆．…………… 5分
23．（本小题满分6分）
解：（1）根据题意画出树状图如下：
甲
甲
甲
甲
甲
乙
乙
乙
乙
乙
丙
丙
丙
丙
丙
第一次
第二次
第三次

……………………… 4分
（2）由（l）可知：三次传球有8种等可能结果，其中传回甲脚下的有2种．所以
P（传球三次回到甲脚下）=． …………………………………………… 5分
（3）由（l）可知：甲传球三次后球传回自己脚下的概率为，传到乙脚下的概率为，所以球传到乙脚下的概率大． ………………………………………………… 6分
24.（本小题满分8分）
解：（l）平行 ………………………………………………………………………2分
（2）连接AE，延长AE交BF的延长线于点M，连结CG，延长CG交DH的延长线于
点N
∵AB∥EF ∴，即 ………………………3分
∴ ……………………………………………………………4分
墙面
G
H
F
E
D
C
地面
A
B
M
N
旗杆
电线杆
∴ …………………………………………………5分
由平行投影的知识可以知道∠AMB＝∠CND
∴在Rt△NHG中，
∴ ………6分
∵在Rt△CDN中，
∴（米）………………8分
所以，电线杆长为7米
25.（本小题满分9分）
证明：（1）做BM∥AC，BM交DC的延长线于点M，则∠ACD =∠BMD …………1分
∵AB∥CD BM∥AC
∴四边形ABMC为平行四边形 …………………………………………………2分
∴AC = BM
∵BD = AC
M
A
E
F
C
H
G
B
D
∴BM = BD
∴∠BDM = ∠BMD
∴∠BDC = ∠ACD
在△BDC和△ACD中

∴△BDC ≌ △ACD ………………………………………………………4分
∴BC = AD ……………………………………………………………………………5分
（2）连接EG、GF、FH、HE …………………………………………………6分
∵E、H为AB、BD的中点 ∴
同理，，
∵BC = AD ∴EG = FG = FH = EH …………………………………………………8分
∴四边形EGFH为菱形
∴EF与GH互相垂直平分 ………………………………………………………………9分
26.（本小题满分10分）
P
y
A
B
x
C
D
O
解：（1）当时，； ………………………………2分
（2）把A（－4，），B（－1，2）代入y=kx+b得，
，解得，
所以一次函数解析式为； ………………………………5分
把B（－1，2）代入，得m=－1×2=－2； …………………………………6分
（3）如图，设P点坐标为． …………………………………………………7分∵△PCA和△PDB面积相等，
∴，
解得， ………………………………………………………………………………9分∴P点坐标为． …………………………………………………………………10分
27.（本小题满分10分）
D
C
B
A
E
O
解：（1）直线BC与⊙O相切；……………………1分
连结OD，………………………………………2分
∵OA = OD ∴∠OAD = ∠ODA
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D
∴∠CAD = ∠OAD
∴∠CAD = ∠ODA
∴OD∥AC ……………………………………3分
∴∠ODB = ∠C = 90°
即OD⊥BC． ………………………………………………………………………………4分
∴直线BC与⊙O相切．
（2）①设OA = OD = r，在Rt△BDO中，∠B = 30°，
∴OB = 2r ………………………………………………………………………………5分
在Rt△ACB中，∠B = 30°
∴AB = 2AC = 6
∴3r = 6 …………………………………………………………………………………6分
解得r = 2． ……………………………………………………………………7分
②在Rt△ACB中，∠B = 30°，
∴∠BOD = 60°． …………………………………………………………………………8分∴S扇形ODE=． ……………………………………………………………9分
∴所求图形面积为：S△BOD- S扇形ODE ．……………………………………10分
28.（本小题满分12分）
解：（1）由条件得1 = 4a，，所以二次函数的解析式是…………………1分
A
x
y
B
O
C
D
图①
（2）①由得，，
即A（－2，1），B（8，16）…………………………3分
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
则AC = 1，OC = 2，OD = 8，BD = 16，
∴ 又∵∠ACO =∠ODB = 90º
∴△ACO ∽ △ODB ………………………………4分
∴∠AOC = ∠OBD
∴∠AOC ＋∠BOD = 90º
∴∠AOB = 90º
∴△AOB为直角三角形　　　 …………………………………………………………分
②△AOB为直角三角形， ………………………………………………………………分
x
y
O
A
B
C
D
图②
证明如下：
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D
由得x2－4mx－16 = 0
解得，…………分
∴
∴……………………………分
∴OC•OD = AC•BD = 16
∴ ………………………………………………………………………分
又∵∠ACO =∠ODB = 90º，∴△ACO ∽△ODB ………………………………分
∴∠AOC =∠OBD
∴∠AOC ＋∠BOD =90º ∴∠AOB =90º
∴△AOB为直角三角形．
（3）可能的结论为　 …………………………………………………………………分
如果过定点（0，4）的直线与抛物线交于A、B两点，O为抛物线的顶点，那么△AOB必为直角三角形．
如果过定点（0，）的直线与抛物线交于A、B两点，O为抛物线的顶点，那么△AOB必为直角三角形．