勾股定理的综合应用.pdf

为服定理的应用 1、请叙述出勾股定理的具体内容。“直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2 aLS.b入 2、使用勾股定理的条件有哪些？口）直角三角形 已知两边或两边的关系练习:1.在力6。中，N6=90。AB=c,BC=a,AC=bo 若 3=9,b=15,贝Ijc=_|2_;若a=6,c=8,则力=10；已知=3:4,b=25,求c=4作图:三、勾叫定理的应用（一）直接运用勾股定理M2,已知直角三角形ABC中，(1)若AC=8,AB=10,则 24,(2)若=30,且BC=5厕AB=13ZAADC若儿产24,且BC=6,则AB边上的高ZAZLDC近若直角三角形的三边长分别为2、4、x,V1MV20某楼房三楼失火，消防队员赶来救 思考 m火,了解到每层楼高3米，消防.队员取来6.5米长的云梯，为了安全起见梯子 的底部与墙基的距离是2.5米。请问消防队员 能否进入三楼灭火？女 墙与地面的位置关系是什么？地面到三层楼面的高为多少？r夕 BC、AC、AB之间存在什么关系?解：依题意，如图，AC为建筑物，则AC=2X3=6m,BC=2.5m,AB是云梯 的长，因为2.52+62=42.25=6.52。根据勾股定理，在RtZkABC中，BC2+AC2=AB2,因此消防队员能进入三楼W火。O B古代个笑话，说有个人拿根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决 了问题，相信同学们不会这样做。一个门框的尺寸如右图所示，块 长3m,宽2.2m的诲木板能否从门柩 内通过?为什么？解：连结AC在Rt/XABC 中 AC=JAB2+BC2=Vl2+22 二小 x 2.24mVAO2m将薄木板的宽斜着放就可以通过此门框 练习：如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆,求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离.（结果保留1位小数）解:在RtABC中AB=YAC2-BC?=#72-52心4.9 米）答:所求的距离AB约为4.9米二【小结】掌握和灵活运用勾股定理2、如图有两颗树，一棵高8nb另一棵高2m,两树相距8nb 一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量 每格楼梯的高为H.25cm,宽20cm,你能求出通道的 长度吗？解：VAC=11.25X4=45cm9BC=20X3=60cm自 Rt ABC 中，Z ACB=90AB2=AC2+BC2（勾股定理）AB=AC?+BC2=A/452+602=75625=75/.通造的长度为75cm.0尺-今有池，方一丈，葭生其 中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几 何？（葭（jiG），是芦苇的 意思。）中适何意今有池，方一丈，葭生其 央，出水一尺。引葭赴岸，与岸齐，问水深、葭长各几?（葭（jiG），是芦苇的 思。）解：由题意有：BC=5尺，AB=AC+lo 设AC=x尺，则AB=（x+1）尺，在RtZXABC 中，ZACB=90,由勾股定理有:=/2 即 X2+52解得：x=12,得x+l=13。答：水深12尺，芦苇长13尺。探究一个3 m长的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗？探究2一个3 m长的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗？探究2一个3 m长的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗？从题目和图形中,得到哪些信息？分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OBQD.MRQAOB 中，)B2=OB 二在 RtAAOB 中,AB2-AO2=32-2.52=2J5在RQCOD中,0D?=CD2-OC2=32-22=50D=Mx 2.2365BVl75 1.658XDBD=OD-OB=2.236-1.658 0.58梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移0.58想一想:图1中的源等用多有怎样的关系?图1中的y、/科?在-4BC中，/6=90。在4BC申，於6y27/6=90。12第2 由0(B厂4十-想.利用图2你能画出长分别是内跖新的线段吗?BA图2下图由4个等腰直角三角组成，其中第1个 直角三角形腰长为1cm,求第4个直角三角 形斜边长度。例2,如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行 的最短路程.(精确到0.01cm)解：如右图，在RtZkAB C中,B。=底面周长的一半=10 cm,AC=(AB2+於=+1()2二 J116 10.77(cm)答：最短路程约为10.77cm.最短路程问题一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的 中点0,试求出爬行的最短路程。（精确到0.1）0BCAD练习：小良家有一底面周长为24m,高为6nl 的圆柱形罐，一天他发现一只聪明的嶂螂 从距底面1m的A处爬行到对角B处，你知道 小良为什么说那是只聪明的嶂螂吗？（从爬行路线考虑）分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需 把圆柱展开成平面图形.即AB长为最短路线.（如图）解：如图为圆柱的侧面展开图，CZ1AC=6-1=5,BC=24X T=12,A 一岭股定理得 AB2=AC2+BC2=169,/AAB=13 m,/即最短路线AB为13m如图，边长为1的正方体中，一只蚂 蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到 顶点B的最短距离是B如图所示，现在已测得长方体木块的 长2,宽1,高3.一只蜘蛛潜伏在木块的一 个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和 蜘蛛相对的顶点B处。A蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向 上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到 最短路径吗?例4如图，已知CD=6cm,AD=8cm,/ADC=90。,BC=24cm,AB=26cmo求阴影部分面积。cA(D已知直角三角形的周长 为12,斜边长为5,求 这个三角形的面积。如图,四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且NB=90。,求NDAB的度数。(D如图，等边三角形/6C的边长是6.求/4BC的面积.解：画AABC的高AD,/ZkABC是等边三角形，/.BD=BC=X6=3 1在 RtABC 中，B 口AD=/笈-BU=V62-32=后 x 5.196=-5C-D-x6x5.196=15.5815.6 例2：在等腰AABC中，AB=AC=13cm,BC=1 Ocm,AABCfitl 面积及AC边上的高。做一做:如图，在4BC中,46=13,AD=12,AC=15,CD=9.求4BC的面积.DBC已知直角三角形一条直角边长为8,另两边长为连续奇数，求这个三角形的周长。五、勾股定理的综合运用勾股定理与其逆定理综合的问题L如图，在四边形ABCD中，ZB=90AB=BC=4,CD=6,AD=2,求四边形ABCD的面积。例3:一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车住于厂门正中间时其高度是否小于CH、如图所示皮D在离厂门中线0.8米处，且CD14 8,与地面交于H、解:如图所示点D在离厂门中线08米处，且CD，A B，则OC=1米QD=08米在RtAOCD中，由勾股定理得CD-10c2-m二 0 82=0.6（米）UCH=0.6+2.3=2.9（米）2.5（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了 一段,旗杆有多高呢琳能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案？小明发现旗杆上的绳子垂到 地面还多1米，当他们把绳子的下 端拉开5米后，发现下端刚好接触 地面，你能帮他们把旗杆的高度 和绳子的长度计算出来吗？5 B3.在一棵树的20米的B处有两只猴子，其中一 只猴子爬下树走到离树40米的A处，另一只爬 到树顶D后直接跳向A处,且测得AD为50米，求BD的长.口B A折叠问题1、矩形纸片 A BCD 中，AD=4cm,AB=10cm,按 如图方式折叠，折痕是EF,求DE的长度？(O折叠图问题2、如图，在矩形A BCD中，沿直线AE把4ADE折 叠，使点D恰好落在边B C上一点F处，A B=8cm,CE=3cm,求BF的长度校园里有一块三角形空地，现准备在这 块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出 它的三边长分别是13、14、15米，若这种草 皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至 少需要支出多少？A如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米,盒内可放的棍子最长是多少米？如图，在4BC中，AB=AC,D点在CB延长线上，求证:AD2-AB2=BDCD AB E证明：过作4EL5C于E：AB=AC,：.BE=CED在Rt ADE 中，AD2=AE2+DE2在Rt ZEE 中，AB2=AE2+BE2 AD2-AB2=(AE2+DE2y(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)DE-BE)=(DE+CE)(DE-BE)=BDCD