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勾股定理的综合应用
慈溪实验中学 许桑桑
一、 教学目标：
①掌握勾股定理；
②会利用勾股定理进行有关计算和判断，培养学生的知识迁移和解决问题的能力；
③使学生认识数学与生活的密切联系，体验在数学学习生活中探索与创造的乐趣，并在教学中渗透分类讨论、方程、数形结合等思想。
二、 教学重、难点：
重点：勾股定理的应用；难点：勾股定理的灵活应用
三、 教学过程
（一） 分类讨论：三边关系
例1 若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是多少？
变式：①求斜边长②求斜边上的高
练习：三边的长分别是x，x+1和5，试求x的值.
例2 在中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）
（1）当的三边长分别为6，8，9时，为 三角形；当的三边长分别为6，8，11时，为 三角形.
（2）猜想：当 时，为锐角三角形；当 时，为钝角三角形.
（3）已知中，c为最长边，a=2，b=4，请回答以下问题：
①求出c的取值范围：
②当 时，是直角三角形；当 时，是锐角三角形；当 时，是钝角三角形.
（二） 列方程：折叠问题
例3 如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，求AF的长.

变式：①长方形纸片ABCD沿折痕AE折叠边AB，使点B落在CD边上的点F处，已知AD=8，，求EC的长.
②如图，在中，AB=9，BC=6，，将折叠，使点A与BC的中点D重合.折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A. B. C.4 D.5
（三） 网格中的构图
问题背景：在中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求此三角形的面积。小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积.
（1） 请你将的面积直接填写在横线上：
（2） 我们把上述求面积的方法叫做“构图法”。如果三边的长分别为，，（a>0），请利用下图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积.
（3） 若三边的长分别为，，（m>0,n>0,且m≠n），试运用构图法求出三角形的面积.

（4） 已知a,b都是正数，a+b=3，试求的最小值.

（5） 走进生活：牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知AC=500米，BD=700米，CD=500米。试求出最短路线的长度。