资源描述
一、选择题
1．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改成横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图所对应的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，周长为34的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．60 B．52 C．70 D．66
3．小亮去文化用品商店购买笔和本，已知本每个3元，笔每支5元，购买笔和本共花费48元，并且本的数量不少于笔的数量，则小亮的购买方案共有 ( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．假设每辆8路公交车行驶速度相同，而且8路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（ ）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
5．某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（ ）
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，通过计算，鸡和兔的数量分别为（ ）
A．23和12 B．12和23 C．24和12 D．12和24
7．若关于、的方程组的解是方程的一个解，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
8．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A． B． C． D．
9．已知x，y互为相反数且满足二元一次方程组，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，，，则图中阴影部分面积是____．
12．对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a 、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算. 已知：2※1=7 ,（-3）※3=3 ,则※b=__________.
13．若与互为补角，并且的一半比小，则的度数为_________．
14．若方程组 的解是 ，则方程组 的解为__________________
15．在“实践与探究”的数学活动中，让一组和二组分别用8个一样大小的长方形纸片进行拼图．一组拼成一个如图1所示的大长方形：二组拼成一个如图2所示的正方形，但中间留下一个边长为的小正方形，据此计算出每个小长方形的面积是______
16．已知是二元一次方程组的解，则的值为________．
17．如图，将6个大小、形状完全相同的小长方形放置在大长方形中，所标尺寸如图所示（单位：cm），则图中含有阴影部分的总面积为 _____cm2．
18．某商场地下停车场有5个出口，5个入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个入口和2个出口，8小时车库恰好停满；如果开放4个入口和2个出口，1.6小时车库恰好停满．2021年五一节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放3个入口和2个出口，则从早晨7点开始经过______小时车库恰好停满．
19．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为560米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是__________米．
20．已知是二元一次方程组的解，则的立方根________．
三、解答题
21．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
（3）由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值．
23．在平面直角坐标系中，点、在坐标轴上，其中、满足．
（1）求、两点的坐标；
（2）将线段平移到，点的对应点为，如图1所示，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）平移线段到，若点、也在坐标轴上，如图2所示．为线段上的一动点（不与、重合），连接、平分，．求证：．
24．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为 千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
25．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，求得的一次方程组的解 ，用数表可表示为．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为x= ，y= ．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组的过程．
26．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示．例如f(x)＝x2＋3x－5，把x＝某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如x＝－1时多项式x2＋3x－5的值记为f(－1)＝(－1)2＋3×(－1)－5＝－7.
(1)已知g(x)＝－2x2－3x＋1，分别求出g(－1)和g(－2)；
(2)已知h(x)＝ax3＋2x2－ax－6，当h()＝a，求a的值；
(3)已知f(x)＝－－2(a，b为常数)，当k无论为何值，总有f(1)＝0，求a，b的值．
27．判断下面方程组的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．
解：①×2-②×3，得，解得，
把代入方程①，得，解得．
∴原方程组的解为
28．如图，学校印刷厂与A，D两地有公路、铁路相连，从A地购进一批每吨8000元的白纸，制成每吨10000元的作业本运到D地批发，已知公路运价1.5元/（t•km），铁路运价1.2元/（t•km）．这两次运输支出公路运费4200元，铁路运费26280元．
（1）白纸和作业本各多少吨？
（2）这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多多少元？
29．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
30．阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10或5，每一横行是一个方程，第一个数是的系数，第二个数是的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式，然后化简计算即可．
【详解】
解：根据题意可得：第一个方程的系数为3，的系数为2，相加的结果为8；第二个方程的系数为6，的系数为1，相加的结果为13，
所以可列方程组为，
解之得：，
故选：D．
【点睛】
考查列二元一次方程组；关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果．
2．C
解析：C
【分析】
设小长方形的长、宽分别为x、y，根据周长为34的矩形ABCD，可以列出方程3x＋y＝17；根据图示可以列出方程2x＝5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD的面积．
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为x、y，
依题意得： ，
解得：，
则矩形ABCD的面积为7×2×5＝70．
故选：C．
【点睛】
考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．
3．B
解析：B
【分析】
设买了x个本子，y支笔，依题意得：3x＋5y＝48，根据本的数量不少于笔的数量，计算出可实行的方案．
【详解】
解：设买了x个本子，y支笔，依题意得：3x＋5y＝48
则，
∵x，y为正整数，且≥0且48－5y是3的倍数，
∵本的数量不少于笔的数量，即x ≥ y
即y≤6，
当x=6时，y=6；当x=11时，y=3；
故选：B．
【点睛】
本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握正确理解题意，设出未知数，列出等量关系，根据时间情况得出方案．
4．D
解析：D
【分析】
首先设同向行驶的相邻两车的距离及车、小王的速度为未知数，根据等量关系把相关数值代入可得到同向行驶的相邻两车的距离及车的速度关系式，相除即可得所求时间．
【详解】
解：设8路公交车的速度为米/分，小王行走的速度为米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．
每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，则
①
每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车，则
②
由①+②可得，
所以，
即8路公交车总站发车间隔时间是6分钟．
故选：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据追及问题和相遇问题得到两个等量关系是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，当第1天、第2天的记录无误时，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再代入第3天及第4天的数据中验证即可得出结论（若3，4天的结果均不对，则1，2天中的数据有误，以3，4天的数据列出方程组求出牙刷和牙膏的单价，再代入1，2天的数据中验证即可）．
【详解】
解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，
当第1天、第2天的记录无误时，依题意得：
，解得：，
∴23x+20y=23×3+20×15=369（元），17x+11y=17×3+11×15=216（元）．
又∵369≠368，
∴第3天的记录有误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
设鸡有x只、兔有y只，由等量关系：鸡兔35只，共有足94足，列方程组，解之即可．
【详解】
解：设鸡有x只、兔有y只，
故居题意得：，
解得：，
答鸡和兔的数量分别为23和12．
故选择：A．
【点睛】
本题考查列方程组解应用题，掌握列方程组解应用题的方法，抓住等量关系：鸡兔35只，共有足94足列方程组是解题关键．
7．A
解析：A
【详解】
(1)−(2)得：6y=−3a，
∴y=−，
代入(1)得：x=2a，
把y=−，x=2a代入方程3x+2y=10，
得：6a−a=10，
即a=2.
故选A.
8．C
解析：C
【分析】
根据，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，列出方程组求解即可.
【详解】
由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，则有：
将代入可解得：
根据图形所表示的数字规律，可推出代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
9．A
解析：A
【分析】
根据，互为相反数得到，然后与原方程组中的方程联立新方程组，解二元一次方程组，求得和的值，最后代入求值．
【详解】
解：由题意可得，
②﹣①，得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
把x＝1，y＝﹣1代入2x+3y＝k中，
k＝2×1+3×（﹣1）＝2﹣3＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，掌握消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的步骤是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据方程组将x、y分别用k表示，然后代入2x+3y＝12求出k即可．
【详解】
解：，
①+②，得2x＝14k,即x＝7k．
①﹣②，得2y＝﹣4k，即y＝﹣2k．
将x=7k，y=-2k代入2x+3y＝12得：
2×7k+3×（﹣2k）＝12，解得k＝．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的含参问题，将方程组的解用参数表示出来，然后代入等式求解成为解答本题的关键．
二、填空题
11．51
【分析】
先设小长方形的长、宽分别为、，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由可求得，再根据，可解阴影面积.
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为、，
依题意得：
，即，
解得：，
，
，
解析：51
【分析】
先设小长方形的长、宽分别为、，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由可求得，再根据，可解阴影面积.
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为、，
依题意得：
，即，
解得：，
，
，
，
，
，
本题的答案为51.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，利用了求面积中一种常用的方法割补法，面积总量不变，扣掉较容易求出的图形面积，可得解.
12．【解析】
由题意得：，
解得：a=,b=，
则※b=a+b²+=，
故答案为 .
点睛：此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题，解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律，并根据运算顺序结合
解析：
【解析】
由题意得：，
解得：a=,b=，
则※b=a+b²+=，
故答案为 .
点睛：此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题，解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律，并根据运算顺序结合已知条件得到方程组，求出a、b的值.
13．【分析】
根据与互为补角，并且的一半比小，然后根据题意列出关于、的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
解：根据题意得，
①-②得，，
解得，
把代入①得，，
解得．
∴，
故答案为：100°．
解析：
【分析】
根据与互为补角，并且的一半比小，然后根据题意列出关于、的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
解：根据题意得，
①-②得，，
解得，
把代入①得，，
解得．
∴，
故答案为：100°．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组在几何中运用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
14．x=5.3，y=0.3
【分析】
通过观察两个方程组之间的关系，可得到，即可求解．
【详解】
方程组 的解是 ，
中，，
解得，
方程组的解为，
故答案为：x=5.3，y=0.3．
【点睛】
本题考
解析：x=5.3，y=0.3
【分析】
通过观察两个方程组之间的关系，可得到，即可求解．
【详解】
方程组 的解是 ，
中，，
解得，
方程组的解为，
故答案为：x=5.3，y=0.3．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出是解题的关键．
15．135
【分析】
要求每个长方形的面积，就要先求出它们的长和宽，再利用面积公式计算．所以首先要设每个长方形的宽为，长为，根据题中的等量关系：①5个长方形的宽个长方形的长，②大矩形面积大正方形的面积，
解析：135
【分析】
要求每个长方形的面积，就要先求出它们的长和宽，再利用面积公式计算．所以首先要设每个长方形的宽为，长为，根据题中的等量关系：①5个长方形的宽个长方形的长，②大矩形面积大正方形的面积，列方程求解．
【详解】
解：设每个长方形的宽为，长为，那么可列出方程组为：
，
解得：．
所以每个长方形的面积为．
故答案是：135．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是注意图片给出的等量关系即，①5个长方形的宽个长方形的长，②大矩形面积大正方形的面积，以此可得出答案．
16．2
【分析】
根据题意，将代入二元一次方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，求出后代入即可．
【详解】
将代入二元一次方程组，
得，
解得，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查
解析：2
【分析】
根据题意，将代入二元一次方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，求出后代入即可．
【详解】
将代入二元一次方程组，
得，
解得，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，算术平方根，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
17．44
【分析】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，列出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可得出答案．
【详解】
解析：44
【分析】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，列出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可得出答案．
【详解】
解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴图中阴影部分的总面积＝14×（6+2y）﹣6xy
＝14×（6+2×2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
故答案为：44．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．2
【分析】
设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆，根据题意列出方程组求得、，进一步代入求得答案即可.
【详解】
设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆，车位总数为，由题意得，
解
解析：2
【分析】
设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆，根据题意列出方程组求得、，进一步代入求得答案即可.
【详解】
设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆，车位总数为，由题意得，
解得：，
则小时，
答：从早晨7点开始经过小时车库恰好停满.
故答案为：.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.
19．240
【分析】
根据题意列出二元一次方程组求解即可；
【详解】
设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，
依题意可得：，
解得：，
∴（米）；
故答案是：240．
【点睛】
本题主要考查了二元一次
解析：240
【分析】
根据题意列出二元一次方程组求解即可；
【详解】
设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，
依题意可得：，
解得：，
∴（米）；
故答案是：240．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
20．【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出所求．
【详解】
解：把代入方程组得：
，
解得：，
∵1的立方根为1，
∴的立方根是1
故答案为：1
【点睛】
此题考查了二元一次方
解析：
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出所求．
【详解】
解：把代入方程组得：
，
解得：，
∵1的立方根为1，
∴的立方根是1
故答案为：1
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值．
三、解答题
21．（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少
【分析】
（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，，，根据一次函数的性质，即可求解；
【详解】
解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
，
A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，，
，
，
当时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
22．（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2．
【分析】
（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；
（3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值．
【详解】
解：（1）两个方程相加得，
∴，
把代入得，
∴方程组的解为：；
故答案是：；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，
由（1）可得：，
∴m+5＝1，n+3＝2，
∴m＝-4，n＝-1，
∴，
故答案是：；
(3)由方程组与有相同的解可得方程组，
解得，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，
解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，
解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
23．（1），两点的坐标分别为，；（2）点的坐标是；（3）证明见解析
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B作y轴的平行线分别与过点A，C作x轴的平行线交于点N，点M，过点C作y轴的平行线与过点A作x轴的平行线交于点T，根据三角形的面积长方形的面积（三角形的面积三角形的面积三角形的面积）列出方程，求解得出点C的坐标，由平移的规律可得点D的坐标；
（3）过点作，交轴于点，过点作，交于点，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出，同样可证，由平移的性质与平行公理的推论可得，最后根据，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1），
又∵，，
，，即，
解方程组得，
，两点的坐标分别为，；
（2）如图，过点B作y轴的平行线分别与过点A，C作x轴的平行线交于点N，点M，过点C作y轴的平行线与过点A作x轴的平行线交于点T，
∴三角形的面积长方形的面积（三角形的面积三角形的面积三角形的面积），
根据题意得，，
化简，得，
解得，，
依题意得，，
，即点的坐标为，
依题意可知，点的坐标是由点的坐标先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，从而可知，点的坐标是由点的坐标先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，
∴点的坐标是；
（3）证明：过点作，交轴于点，如图所示，
则，
，
，
过点作，交于点，如图所示，
则，
平分，
，
，
由平移得，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
24．（1）2（a+b）；（2）（2+）；（2+）；（3）36.
【分析】
（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；
（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】
（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．
故答案为：2（a+b）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了千米，乙已经走了千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需小时到达B地，乙还需小时到达A地，
所以甲从A到B所用的时间为（2+ ）小时，乙从B到A所用的时间为（2+）小时．
故答案为：（2+）；（2+）．
（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝小时．
依题意，得： ，
令x＝a+b，则原方程变形为，
解得：．
答：AB两地的距离为36千米．
【点睛】
本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25．(1) 6，10；(2)。
【解析】
【分析】
（1）下行-上行后将下行除以3将的系数化为1即可得方程组的解；
（2）类比（1）中方法通过加减法将、的系数化为1可得.
【详解】
解：（1）下行﹣上行，，
故答案为：6，10；
（2）
所以方程组的解为．
【点睛】
本题主要考查矩阵法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.
26．(1)g(－1)＝2 g(－2)＝－1 (2)a＝－4 (3)a＝，b＝－4.
【解析】
【分析】（1）将x=-1和x=-2分别代入可得出答案；
（2）将x=代入可得关于a的一元一次方程，解出即可；
（3）由f(1)＝0，把x=1代入可得关于a、b、k的方程，根据无论k为何值时，都成立就可求出a、b的值．
【详解】（1）由题意得：g（-1）=-2×（-1）2-3×（-1）+1=2；
g（-2）=-2×（-2）2-3×（-2）+1=-1；
（2）由题意得：，
解得：a=-4；
（3）∵k无论为何值，总有f(1)＝0，
∴=0，
则当k=1、k=0时，可得方程组，
解得：.
【点睛】本题考查了代数式求值、解一元一次方程、一元一次方程的解、解二元一次方程组等，读懂新定义是解题的关键.
27．
【分析】
用加减消元法解二元一次方程组，在两个方程作差时符号出错了，正确为①②，得，再求解即可．
【详解】
解：上述解法不正确．
正确解题过程如下：
①②，得，解得，
把代入方程①，得，解得．
原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组．
28．（1）白纸有100吨，作业本有90吨；（2）69520元
【分析】
（1）设白纸有吨，作业本有吨，根据共支出公路运费4200元，铁路运费26280元．列出二元一次方程组，解之即可；
（2）由销售款（白纸的购进款与运输费的和），进行计算即可．
【详解】
解：（1）设白纸有吨，作业本有吨，由题意，得
，
整理得：，
解得．
答：白纸有100吨，作业本有90吨；
（2）（元）．
答：这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多69520元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
29．（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元
【分析】
（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；
②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．
（2）①依题意，得：3m+2n＝21，
∴m＝7﹣n．
又∵m，n均为非负整数，
∴或或或．
答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．
②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），
方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），
方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），
方案4所需租车费为120×7＝840（元）．
∵1020＞960＞900＞840，
故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．
【点睛】
本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．
30．（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲，，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得：，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得：，
解得：，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
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