资源描述
一、选择题
1．求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小
4．若的整数部分为a，小数部分为b，则a-b的值为（）
A． B． C． D．
5．观察下列各等式：
……
根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）
A．-130 B．-131 C．-132 D．-133
6．下列说法中，正确的个数是（ ）．
（）的立方根是；（）的算术平方根是；（）的立方根为；（）是的平方根．
A． B． C． D．
7．如图，数轴上两点表示的数分别为，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q都是正整数，且p≤q），如果p×q在n的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的黄金分解，并规定：F(n)=，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =；② F(24)=；③F(27)=3；④若n是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．有一个数阵排列如下：
则第行从左至右第个数为（ ）
A． B． C． D．
10．数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D，D点所表示的数为d，且|d﹣5|＝|d﹣c|，则关于D点的位置，下列叙述正确的是？（ ）
A．在A的左边 B．介于O、B之间
C．介于C、O之间 D．介于A、C之间
二、填空题
11．用表示一种运算，它的含义是：，如果，那么
__________．
12．在研究“数字黑洞”这节课中，乐乐任意写下了一个四位数（四数字完全相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差:重复这个过程，……，乐乐发现最后将变成一个固定的数，则这个固定的数是__________．
13．若我们规定表示不小于x的最小整数，例如，，则以下结论：①；②；③的最小值是0；④存在实数x使成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
14．我们可以用符号f(a)表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f(a)＝0.5a；如果a为奇数，f(a)＝5a+1．例如：f(20)＝10，f(5)＝26．设a1＝6，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…(n为正整数)，则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2013﹣a2014+a2015＝_____．
15．定义一种新运算，其规则是：当时，，当时，，当时，，若，则____________．
16．计算并观察下列算式的结果：，，，，…，则＝_______．
17．将1，，，按如图方式排列．若规定，表示第排从左向右第个数，则所表示的数是___________．
18．若+（y+1）2＝0，则（x+y）3＝_____．
19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则2@6 =____．
20．规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[+1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣]＝﹣2．按这个规定，[﹣﹣1]＝_____．
三、解答题
21．给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为.如.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:与相加得;与相加得与相加得，并向左边一位进.如的“模二数”相加的运算过程如下图所示.
根据以上材料，解决下列问题:
(1)的值为______ ，的值为_
(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如，因为，所以，即与满足“模二相加不变”.
①判断这三个数中哪些与“模二相加不变”，并说明理由；
②与“模二相加不变”的两位数有______个
22．阅读理解：
一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表的这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c数位相同，若b﹣a＝c﹣b，我们称这个多位数为等差数．
例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5；
413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32；
所以：357和413223都是等差数．
（1）判断：148 等差数，514335 等差数；（用“是”或“不是”填空）
（2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；
（3）若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T．
23．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）⑤＝ ；
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣）⑩＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 ；
24．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
，，，，……
（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．
（2）①计算：．
②若a为最小的正整数，，求：
．
25．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设 ①
则 ②
②-①得，
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）________；
（2）_________；
（3）求的和（，是正整数，请写出计算过程）.
26．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
27．阅读型综合题
对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则 ， ；
（2）已知，．若正格线性数，（其中为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由．
28．阅读下面的文字，解答问题
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：＜＜，即2＜＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）
请解答：
（1）整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值．
（3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
29．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为
例如：，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以
根据以上定义，完成下列问题：
（1）填空：①下列两位数：，，中，“奇异数”有 .
②计算： . .
（2）如果一个“奇异数”的十位数字是，个位数字是，且请求出这个“奇异数”
（3）如果一个“奇异数”的十位数字是，个位数字是，且满足，请直接写出满足条件的的值．
30．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
，，，，……
（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．
（2）①计算：．
②若a为最小的正整数，，求：
．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由题意可知S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．
【详解】
解：设S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①
则2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②
由②－①得：
2019S＝20202021－1
∴．
故答案为：C．
【点晴】
本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算．
2．D
解析：D
【分析】
先对四个选项中的无理数进行估算，再根据P点的位置即可得出结果．
【详解】
解：∵1＜＜2，=2，3＜＜4，2＜＜3，
∴根据点P在数轴上的位置可知：点P表示的数可能是，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，能够正确估算出无理数的范围是解决本题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐一排除．
【详解】
A：，=8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意；
C：，，符合题意；
D：，，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
4．A
解析：A
【分析】
先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得．
【详解】
，
，即，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
【详解】
解：第一行：；
第二行：；
第三行：；
第四行：；
……
第n行：；
∴第11行：．
∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．
6．C
解析：C
【详解】
根据立方根的意义，可知，故（）对；
根据算术平方根的性质，可知的算术平方根是，故（）错；
根据立方根的意义，可知的立方根是，故（）对；
根据平方根的意义，可知是的平方根．故（）对；
故选C.
7．D
解析：D
【分析】
设点C的坐标是x，根据题意列得，求解即可.
【详解】
解：∵点A是B，C的中点．
∴设点C的坐标是x，
则，
则，
∴点C表示的数是．
故选：D.
【点睛】
此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.
8．B
解析：B
【分析】
将2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．
【详解】
解：∵2=1×2，
∴F（2）=，故①正确；
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小
∴F（24）= ，故②是错误的；
∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小
∴F（27）=，故③错误；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数的积，则F（n）=1，故④是正确的.
正确的共有2个．
故答案为B．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．
9．B
解析：B
【解析】
试题解析：寻找每行数之间的关系，抓住每行之间的公差成等差数列，
便知第20行第一个数为210，而每行的公差为等差数列，
则第20行第10个数为426，
故选B.
10．B
解析：B
【分析】
借助O、A、B、C的位置以及绝对值的定义解答即可．
【详解】
解：-5＜c<0，b=5，|d﹣5|＝|d﹣c|
∴BD=CD，
∴D点介于O、B之间．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了实数、绝对值和数轴等相关知识，掌握实数和数轴上的点一一对应是解答本题的关键．
二、填空题
11．【分析】
按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.
【详解】
解：由
解得：x=8
故答案为.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的
解析：
【分析】
按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.
【详解】
解：由
解得：x=8
故答案为.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的值.
12．6174
【分析】
任选四个不同的数字，组成个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，如1234，
4321- 1234= 3087，
8730-378= 8352 ，
8532一2358= 617
解析：6174
【分析】
任选四个不同的数字，组成个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，如1234，
4321- 1234= 3087，
8730-378= 8352 ，
8532一2358= 6174，6174是符合条件的4位数中唯一会产生循环的(7641-1467= 6174) 这个在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想.
【详解】
任选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的四位数重复上述的过程，最多七步必得6174，如1234，
4321-1234 =3087，8730 -378 = 8352，
8532-2358= 6174，这一现象在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想，
故答案为：6174.
【点睛】
此题考查数字的规律运算，正确理解题意通过计算发现规律并运用解题是关键.
13．③④
【分析】
根据的定义逐个判断即可得．
【详解】
①表示不小于的最小整数，则，结论错误
②，则，结论错误
③表示不小于x的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确
④若，则
此时，
因此，存在实
解析：③④
【分析】
根据的定义逐个判断即可得．
【详解】
①表示不小于的最小整数，则，结论错误
②，则，结论错误
③表示不小于x的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确
④若，则
此时，
因此，存在实数x使成立，结论正确
综上，正确的是③④
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义是解题关键．
14．7
【分析】
本题可以根据代数式f（a）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6 ，a7的值，根据规律找出部分an的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论
解析：7
【分析】
本题可以根据代数式f（a）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6 ，a7的值，根据规律找出部分an的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论．
【详解】
解：观察，发现规律：a1=6，a2=f（a1）=3，a3=f（a2）=16，a4=f（a3）=8，a5=f（a4）=4，a6=f（a5）=2，a7=f（a6）=1，a8=f（a7）=6，…，
∴数列a1，a2，a3，a4…（n为正整数）每7个数一循环，
∴a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0，
∵2015=2016-1=144×14-1，
∴2a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2013-a2014+a2015=a1+a2016+（a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2015-a2016）=a1+a7=6+1=7．
故答案为7．
【点睛】
本题考查了规律型中的数字的变化类以及代数式求值，解题的关键是根据数的变化找出变换规律，并且巧妙的借助了a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0来解决问题．
15．或﹣5
【分析】
根据新定义运算法则，分情况讨论求解即可．
【详解】
解：当x＞﹣2时，则有，解得：，成立；
当x=﹣2时，则有，解得：x=3，矛盾，舍去；
当x＜﹣2时，则有，解得：x=﹣5，成立
解析：或﹣5
【分析】
根据新定义运算法则，分情况讨论求解即可．
【详解】
解：当x＞﹣2时，则有，解得：，成立；
当x=﹣2时，则有，解得：x=3，矛盾，舍去；
当x＜﹣2时，则有，解得：x=﹣5，成立，
综上，x=或﹣5，
故答案为：或﹣5．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算、解一元一次方程，理解新定义运算法则，运用分类讨论思想正确列出方程是解答的关键．
16．5050
【分析】
通过对被开方数的计算和分析，发现数字间的规律，然后利用二次根式的性质进行化简计算求解．
【详解】
解：第1个算式：，
第2个算式：，
第3个算式：，
第4个算式：，
．．．，
第
解析：5050
【分析】
通过对被开方数的计算和分析，发现数字间的规律，然后利用二次根式的性质进行化简计算求解．
【详解】
解：第1个算式：，
第2个算式：，
第3个算式：，
第4个算式：，
．．．，
第n个算式：，
∴当n＝100时，，
故答案为：5050．
【点睛】
本题考查了有理数的运算，二次根式的化简，通过探索发现数字间的规律是解题关键．
17．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
1+2+3+4+5+6+3=24，
24÷4=6，
则（7，3）所表示的数是 ，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．
18．0
【分析】
根据非负数的性质列式求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵+（y+1）2＝0
∴x﹣1＝0，y+1＝0，
解得x＝1，y＝﹣1，
所以，（x+y）3＝（1﹣1）
解析：0
【分析】
根据非负数的性质列式求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵+（y+1）2＝0
∴x﹣1＝0，y+1＝0，
解得x＝1，y＝﹣1，
所以，（x+y）3＝（1﹣1）3＝0．
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
19．4
【分析】
把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．
【详解】
解：∵x@y=，
∴2@6==4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．
解析：4
【分析】
把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．
【详解】
解：∵x@y=，
∴2@6==4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．
20．－5
【详解】
∵3<<4，
∴−4<−<−3，
∴−5<−−1<−4，
∴[−−1]=−5.
故答案为−5.
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，解决此题的关键是求出的范围.
解析：－5
【详解】
∵3<<4，
∴−4<−<−3，
∴−5<−−1<−4，
∴[−−1]=−5.
故答案为−5.
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，解决此题的关键是求出的范围.
三、解答题
21．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38
【分析】
(1) 根据“模二数”的定义计算即可；
(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案
②设两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据a、b的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与“模二相加不变”的两位数的个数
【详解】
解: (1) ，
故答案为：
①，
，
与满足“模二相加不变”.
，，
，
与不满足“模二相加不变”.
，
，
，
与满足“模二相加不变”
②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a，个位数字为b，；
当a为偶数，b为偶数时，
∴
∴与满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）
当a为偶数，b为奇数时，
∴
∴与不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个
当a为奇数，b为奇数时，
∴
∴与不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合
当a为奇数，b为偶数时，
∴
∴与满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）
当此两位数大于等于77时，符合共有4个
综上所述共有12+6+16+4=38
故答案为：38
【点睛】
本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．
22．（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888
【分析】
（1）根据等差数的定义判定即可；
（2）设这个三位数是M，，根据等差数的定义可知，进而得出即可．
（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a的值，再根据是8的倍数可确定c的值，又因为，所以可确定a、c为偶数时b才可取整数有意义，排除不符合条件的a、c值，再将符合条件的a、c代入求出b的值，即可求解．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴148不是等差数，
∵ ，
∴514335是等差数；
（2）设这个三位数是M，，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴这个等差数是3的倍数；
（3）由（2）知 ，
∵T是24的倍数，
∴ 是8的倍数，
∵2c是偶数，
∴只有当35a也是偶数时才有可能是8的倍数，
∴或4或6或8，
当时， ，此时若，则 ，若 ，则 ，若 ，则，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当时 不符合题意；
当时，，此时若，则，若，则，（144、152是8的倍数），
当时，，此时若，则，若，则，
（216、244是8的倍数），
当时，，此时若，则，若，则，
若，则，（280,288,296是8的倍数），
∵，
∴若a是偶数，则c也是偶数时b才有意义，
∴和是c是奇数均不符合题意，
当时， ，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，T为432或456或840或864或888．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．
23．初步探究：（1），-8；深入思考：（1）(−)2，()4，；（2）
【分析】
初步探究：（1）分别按公式进行计算即可；
深入思考：（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则；
【详解】
解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=，
；
深入思考：（1）（-3）④=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）=1×(−)2=(−)2；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=()4；
同理可得：（﹣）⑩＝；
（2）
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
24．（1），；（2）①；②
【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；
（2）①，
，
，
；
②为最小的正整数，，
，，
原式，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
25．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）设式子等于s，将方程两边都乘以2后进行计算即可；
（2）设式子等于s，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案；
（3）设式子等于s，将方程两边都乘以a后进行计算即可.
【详解】
（1）设s=①，
∴2s=②，
②-①得：s=，
故答案为：；
（2）设s=①，
∴3s=②，
②-①得：2s=，
∴,
故答案为： ；
（3）设s=①，
∴as=②，
②-①得：（a-1）s=，
∴s=.
【点睛】
此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键.
26．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】
（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论；
②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】
（1）①， ，
∴，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而，
∴，
可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】
此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
27．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为
【分析】
（1）根据定义，直接代入求解即可；
（2）将代入求出b的值，再将代入，表示出kx，再根据题干分析即可．
【详解】
解：（1）∵
∴5，3
故答案为：5，3；
（2）有正格数对．
将代入，
得出，，
解得，，
∴，
则
∴
∵，为正整数且为整数
∴，，，
∴正格数对为：．
【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．
28．（1）7；-7；（2）5；（3）13-．
【分析】
（1）估算出的范围，即可得出答案；
（2）分别确定出a、b的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得出y的值，进而求出y的值，即可求出所求．
【详解】
解：（1）∵7﹤﹤8，
∴的整数部分是7，小数部分是-7．
故答案为：7；-7．
（2）∵3﹤﹤4，
∴，
∵2﹤﹤3，
∴b＝2
∴|a-b|+
=|-3-2|+
=5-+
=5
（3）∵2﹤﹤3
∴11＜9+＜12，
∵9+=x+y，其中x是整数，且0﹤y＜1，
∴x＝11，y＝-11+9+＝-2，
∴x-y＝11-(-2)＝13-
【点睛】
本题考查的是无理数的小数部分和整数部分及其运算．估算无理数的整数部分是解题关键．
29．（1）①，②，；（2）；（3）
【分析】
（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；
（2）由f（10m+n）=m+n，可求k的值，即可求b；
（3）根据题意可列出等式，可求出x、y的值，即可求的值.
【详解】
解：（1）①∵对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．
∴“奇异数”为21；
②f（15）=（15+51）÷11=6，f（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n；
（2）∵f（10m+n）=m+n，且f（b）=8
∴k+2k-1=8
∴k=3
∴b=10×3+2×3-1=35；
（3）根据题意有
∵
∴
∴
∵x、y为正数，且x≠y
∴x=6，y=5
∴a=6×10+5=65
故答案为：（1）①，②，；（2）；（3）
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．
30．（1），；（2）①；②
【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；
（2）①，
，
，
；
②为最小的正整数，，
，，
原式，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
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