专题：相似三角形的几种基本模型及练习.doc

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专题：相似三角形的几种基本模型
（1）如图：DE∥BC，则△ADE∽△ABC称为“平截型”的相似三角形.
A
B
C
D
E
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E

“A”字型 “X”（或8）字型 “A” 字型
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜截型”的相似三角形.

（3） “母子” （双垂直）型
射影定理：
由_____________ ，得____________ __，即______________ _；
由_____________ ，得____________ __，即______________ _；
A
B
C
D
由_____________ ，得____________ __，即______________ _。

“母子” （双垂直）型 “旋转型”
A
（4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形.
（5）一线“三等角”型

“K” 字（三垂直）型

（6）“半角”型

图1 ：△ABC是等腰直角三角形，∠MAN=∠BAC，结论：△ABN∽△MAN∽△MCA；
图2 ：△ADE是等边三角形， ∠DAE=∠BAC，结论：△ABD∽△CAE∽△CBA；
应用
1．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是 (　　) A．△DBE B．△AED和△BDC C．△ABD D．不存在
A
B
F
C
D
E
G

图3 图4 图5
3．如图5, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交AC于E, 交BC于F, 则图中所有相似三角形有( )对。
A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对
4．如图6，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，在下列条件下：①∠AED＝∠B；②AD∶AC＝AE∶AB；③DE∶BC＝AD∶AC.能判定△ADE与△ACB相似的是 (　　)A．①② B．①③ C．①②③ D．①
5．如图7，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；
③＝.其中正确的有 (　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)
7．如图9，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点E在BC边上，AB=3，CD=2，BC=7．若△ABE与△ECD相似，则CE=___________．

图6 图7 图8 图9
8．如图10，已知∠C＝∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是 (　　)
A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠D C.＝ D.＝
9．如图11，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF， ④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为　　 个。

图10 图11

10.如图12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=2，AD=8，则CD=______，AC=______，BC=______．
11．如图13，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=．则点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．

图12 图13 图14 图15
12．如图14，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置上．若OB=，，则点A′的坐标为________．
13．如图15，在边长为 9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则 AE的长为_____．
14．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB＝9，求BM.

15．在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.

16.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD，BE交于点F．求证：．

17．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动(不能到达点B，C)，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

（2） 文化优势

秘诀：好市口＋个性经营

据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助。

据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。

自制性手工艺品。自制饰品其实很简单，工艺一点也不复杂。近两年来，由于手机的普及，自制的手机挂坠特别受欢迎。18．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻， 动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速 度向B点匀速运动；同时，动点N从D点 出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动，问：
(1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

（一）上海的经济环境对饰品消费的影响

加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果

调研课题：

合计 50 100%

（1）位置的优越性

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