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中科院量子力学历年试题详解冷轩August 28,2013这页是背面献给那些在我困难的时候帮助过我的人们这页是背面目录Legal Notice.1说明.1参考资料.1一些感触.2本文档的 LATEX 源代码.2致谢.21试题31.12011.31.22010.51.32009.61.42008.71.52007A.81.62007B.91.72006.101.82006 甲 A.111.92006 甲 B.121.10 2006 乙 A.131.11 2006 乙 B.141.12 2005.151.13 2004.161.14 2001 理论型.172详解19i目录中科院量子力学历年试题详解2.12011.192.22010.252.32009.302.42008.342.52007A.372.62007B.412.72006.442.82006 甲 A.492.92006 甲 B.532.10 2006 乙 A.562.11 2006 乙 B.592.12 2005.622.13 2004.662.14 2001 理论型.683四川大学量子力学入学试题713.12010 试题.713.22009 试题.733.32010 解答.753.42009 解答.804曾谨言量子力学卷 I 练习详解834.1量子力学的诞生.834.2波函数与 Schrdinger 方程.844.3一维定态问题.904.4力学量用算符表达.954.5力学量随时间的演化与对称性.1024.6中心力场.1024.7粒子在电磁场中的运动.1034.8表象变换与量子力学的矩阵形式.1034.9自旋ii目录返回目录中科院量子力学历年试题详解4.10 力学量本征值的代数解法.1144.11 束缚定态微扰论.1164.12 量子跃迁.1164.13 散射理论.1164.14 其他近似方法.1165其他题目117A GNU Free Documentation Liii目录返回目录中科院量子力学历年试题详解iv目录返回目录中科院量子力学历年试题详解Legal NoticeCopyright(C)2013 Xuan Leng.Permission is granted to copy,distribute and/or modify this documentunder the terms of the GNU Free Documentation License,Version 1.3 or any later version published by the FreeSoftware Foundation;with no Invariant Sections,no Front-Cover Texts,and no Back-Cover Texts.A copy ofthe license is included in the section entitled GNU Free Documentation License.说明 大部分都是自己解过的，难免有误，欢迎批评指正！我的 E-mail：。为了把问题说清楚，解得有些复杂，考试不必这样。文档又下角的“返回”键有些阅读器不支持，一般用 Adobe 阅读器打开有效！生成本文档用的操作系统是 Ubuntu，软件是 TEX 2011、TEXworks。本文档是双页模式。所以有空白页，方便打印看。这份文档里还有很多问题和错误，因为现在空余时间不多，故先发布给大家。欢迎交流学习！参考资料 1990-2010 量子力学试题及参考答案集-中国科学院（使用版）-Schrdingers Kitten主要试题来源，及参考，感谢无私奉献！陈鄂生量子力学习题与解答是“量子力学基础教程”（陈鄂生，山东大学出版社，2007）的配套书。绝版了一段时间，现在出了新版的，收录了很多大学研究生入学考试的题目。是主要试题来源，及参考！物理学大题典（卷 6 量子力学）/张永德主编.-北京：科学出版社；合肥：中国科学技术大学出版社，2005内容丰富！前身是，美国物理试题与解答 量子力学第六卷，这个早就绝版了，不必苦苦寻找这个了，看题典就行了。量子力学习题精选与剖析（第三版）/钱伯初，曾谨言著.-3 版.北京：科学出版社，2008简称曾题集 量子力学学习指导/张鹏飞，阮图南，朱栋培，吴强编著.-合肥：中国科学技术大学出版社，2008.4（2009.8 重印）简称指导 量子力学 卷 I/曾谨言 著.-4 版.-北京：科学出版社，2007简称曾书1目录返回目录中科院量子力学历年试题详解一些感触 曾书和曾题集是出题宝典，各个旮旯都要清楚，最经典的例子就是 2009 年第三题。数学形式（或表述、符号）也重要数学上选好何种形式对问题的简化也是挺重要的。好的数学形式，能突出问题的重点，在繁杂的数学公式中，能提供好的思路。所以证明过程中，在步骤上应以突出重点与思路为主，其他的旁支的结论可以另外证明后，直接引用。例如，在位力定理的证明过程中，r p,p2,r p,V(r)，这种步骤中小证明应该单独拿出。另一个比较鲜明的例子见：2006 年甲 B 第二题。就符号而言，狄拉克符号堪称经典。本文档的 LATEX 源代码本文档的 LATEX 源代码已经以附件的形式嵌入到本 pdf 文件中；或到http:/ 感谢 Clerk Ma，是他在我的 LATEX 的使用上提供了许多帮助！感谢 Schrdingers Kitten 无私发布其文档，他的文档是本文档的重要来源、参考、动力！感谢 Dirac chen 提供他自己的 11 年解答！感谢 Ubuntu，TEX 2011，TEX works；没有这些自由开源项目，本文档也是很难实施的。2目录返回CHAPTER1试题1.12011一、（1）氢原子基态的能量为 13.6V，那么第一激发态的氢原子电离能为：（）A.13.6eVB.3.9eVC.7.8eVD.2.5eV（2）普朗克常数 h 的数值为：（）A.1.05 1034B.6.63 1034C.1.05 1034JSD.6.63 1034JS（3）A、B 为厄米算符，那么下列各选项为厄米算符的是：（）A.12(BA AB)B.i2(BA AB)C.AB+iBAD.i2(BA+AB)（4）对于中心力场，下列各式正确的是:（）A.0(r)r2dr=1B.0(r)4r2dr=1C.0Rl(r)r2dr=1D.0Rl(r)4r2dr=1其中：r=Rl(r)r（5）经典力学中有L=r p=p r，那么在量子力学中L=r p=p r 是否也成立。请说明理由。（6）在(S2,Sz)的共同的本征态中，写出 Sx,Sy的矩阵表示，并说明是否可以找到这样的一个表象，使得 Sx,Sy,Sz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，说明理由。（7）写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示。（8）两个非全同粒子处于态(x1,x2)，求出一个粒子处于 p1,p1之间，另一个粒子处于 x2,x2之间的几率。二、已知 pr=12(rr p+p rr)31.1.2011中科院量子力学历年试题详解（1）pr是否为厄米算符，为什么？（2）写出 pr的算符表示。（3）求出 r,pr=？三、（30）有一质量为 m 的粒子在半径为 R 的圆周上运动，现加一微扰：H=V()=V1,0;V2,0 ;0,其他其中 ，求对最低两能级的一级修正。四、（30）一粒子在一维无限深方势阱(0 x 0)时撤去微扰，体系处于前三个激发态的概率。五、在(l2,lz)的共同表象中，粒子处于 Y20态，求 Lx的可能值及相应的几率。4目录返回CHAPTER 1.试题中科院量子力学历年试题详解1.22010一、（1）设A,B 与 Pauli 算符对易，证明：(A)(B)=A B+i (A B)（2）试将(I+x+i y)12表示成I,x,y,z的线性叠加，I 为单位算符。二、设一维谐振子的初态为(x,0)=cos20(x)+sin21(x)，即基态与第一激发态的叠加，其中 为实参数：（1）求 t 时刻的波函数(x,t)；（2）求 t 时刻粒子处于基态及第一激发态的概率；（3）求 t 时刻粒子的势能算符V=m22x2的平均值；（4）求演化成(x,t)所需的最短时间 tmin。三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为：H=0,t 0zetT,t 0其中,T为常数（1）求很长时间后(t T)电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半径；已知基态：100(r)=R10(r)Y00(,)=142a32era210(r)=R21(r)Y10(,)=34cos1(2a)32r3aer2a（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。(a)200(b)211(c)21,1(d)210四、两个质量为 m 的粒子处于一个边长为 a b c 的不可穿透的长盒子中，求下列条件下，该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及对应能量。（1）非全同粒子（2）零自旋全同粒子（3）自旋为12的全同粒子五、粒子在一维无限深势阱中运动。设该体系受到H=(x a)的微扰作用：（1）利用微扰理论，求第 n 能级精确到二级的近似表达式；（2）指出所得结果的适用条件。5目录返回1.3.2009中科院量子力学历年试题详解1.32009一、（30）已知在(l2,lz)的表象中，lx=2?0 1 01 0 10 1 0?求：（1）lx的本征值和相应的本征函数；（2）ly的矩阵表示。二、已知一粒子处于一维谐振子势场中运动，势能为 V(x)=12kx2(k 0)，求：（1）粒子的基态本征函数 0(x)；（2）若势场突然变为 V(x)=kx2，则粒子仍然处于基态的概率。提示：用湮灭算符 a=m2(x+im p),2=1.414,42=1.189。三、（30）若已知 ai,aj=ai,aj=0,ai,aj=ij，其中 i,j=1,2。设 Jx=12(a1 a2+a2 a1),Jy=i2(a1 a2 a2 a1),Jz=12(a2 a2 a1 a1)，求：（1）Jx,Jy,Jz的关系式；（2）J2=J2x+J2y+J2z，试用 a1,a1,a2,a2表示 J2。四、（30）已知两种中微子的本征态为|V1和|V2，能量本征值为E=pc+m2ic4pc（其中i=1,2），电子中微子的本征态为|Ve=cos|V1+sin|V2，子中微子的本征态为|V=sin|V1+cos|V2，其中 是混合角。某体系中在 t=0 时，电子中微子处于态|Ve，求：（1）t 时刻中微子所处的状态；（2）t 时刻电子中微子处于基态的概率。五、（30）设在氚核中，质子和中子的作用表示成 V(r)=V0era，试用 =er2a（为变数）为试探波函数，以变分法求：（1）基态能量的近似值；（2）若 V0=32.7Mev,a=2.16fm，试确定 的值。6目录返回CHAPTER 1.试题中科院量子力学历年试题详解1.42008一、（30）写成氢原子的束缚态能级，所有量子数以及取值范围，求出其简并度。二、（30）一个粒子质量为，在一势能环中运动，势能V=0,0 0,other求粒子运动的本征值和本征函数。三、（30）求在 H=1 0 300 0 2 中粒子的本征值，设 1，利用微扰求其本征值（精确到二级近似）并与精确求解相比较。四、（30）两个自旋为12 的粒子，两个粒子分别为 1=(10)，1=(coseitsineit)，求系统处于单态和三态的概率。五、（30）处在一维谐振子势基态的粒子受到微扰 H=x(t0)作用，求跃迁到其他各激发态的总概率和仍处在基态的概率。已知：xHn=1an2Hn1+n+12Hn+1。7目录返回1.5.2007A中科院量子力学历年试题详解1.52007A一、（30）在一维无限深方势阱(0 x a)中运动的粒子受到微扰H(x)=0,0 x a3,2a3 x aV1,a3 x 2a3作用。试求基态能量的一级修正。二、（30）粒子在势场 V(x)中运动并处于束缚定态 n(x)中。试证明粒子所受势场的作用力的平均值为 0。三、（30）（1）考虑自旋为12的系统。试在(S2,Sz)表象中求算符 ASy+BSz的本征值及归一化的本征态。其中Sy,Sz是自旋角动量算符，而 A,B 为实常数。（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量Sy得到结果为2的概率。四、两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中(0 x 0(V0 0)0,x 0 时，电子自旋沿+x,+y,+z 方向的概率。四、（30）设系统哈密顿算符为H=p22m+V(r)，粒子处于归一化的束缚定态 n中。试证明 Virial定理：n|p22m|n=12n|r V(r)|n五、（30）一维谐振子系统哈密顿量为H0=p22m+12m2x2，设受到微扰 H=p4x的作用。试求对等 n 个谐振子能级的一级微扰修正。（已知矩阵元 n|x|n=2m(n+1n,n+1+nn,n1)）9目录返回1.7.2006中科院量子力学历年试题详解1.72006一、一个质量为 的粒子被限制在 a x a 内运动，t=0 时处于基态。现势阱突然向两边对称地扩展一倍，即在 2a x 2a 内运动。问：（1）t=t0(0)时粒子处于新系统基态的几率；（2）t=t0时粒子能量的平均值。二、一维谐振子的哈密顿量为H=p22m+122x2。在坐标表象中，它的能量本征函数为：n(x)=Nnea2x22Hn(ax)a=试在动量表象中求出它的能量本征值和相应的本征函数。三、电子处于自旋S 在方向 n=(sincos,sinsin,cos)上投影S n 的本征态，本征值为2。（1）求出相应的本征函数；（2）若在上面的态中，自旋的 x 分量和 y 分量有相等的均方差，请求出方向角,。四、自旋12的粒子处于磁场B 中，该粒子绕磁场进动的角频率记为 =rB。设 t=0 时粒子处于自旋朝下态|(0)=|，求 t 时刻粒子仍处于该态的几率。五、在谐振子的哈密顿量H0=12 p2+122x2上加上 x3的微扰项 H=x3，求能量的二级修正。六、有一量子力学体系，哈密顿量H 的本征值与本征矢分别为 En与|n，H|n=En|n。设F 为任一算符F=F(x,p)，试证明：k|F+,H,F|k=n(En Ek)(|n|F|k|2+|k|F|n|2)10目录返回CHAPTER 1.试题中科院量子力学历年试题详解1.82006 甲 A一、（30）两个线性算符A 和B 满足下列关系：A2=0,AA+AA=1,B=AA。（1）求证B2=B；（2）求在B 表象中A 和B 的表达式。二、（30）粒子在势场 V(x)=A|x|n(x 0)中运动，试用不确定度关系估算基态能量。三、（30）设体系的哈密顿量H 从依赖于某一参量，又设体系处于某一束缚定态，其能量和本征函数分别记为 En和 n(r)。（1）证明费曼海尔曼定理：En=n(r)Hn(r)d r（2）利用费曼海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能。（提示：氢原子能级公式 En=e4221n2）四、（30）粒子在二维无限深方势阱中运动，V=0,0 x a,0 y 0 时粒子的状态波函数；（2）在 t=0 与 t 0 时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？四、（30）粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰 H=V0a(a|2x a|)的作用。求第 n 个能级的一级近似，并分析所的结果的适用条件。五、一个质量为 m 的粒子被限制在 r=a 和 r=b 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化的波函数。12目录返回CHAPTER 1.试题中科院量子力学历年试题详解1.102006 乙 A一、（30）粒子以能量 E 入射方势垒，V(x)=V0 0,0 x a0,x 0。设能量 E V0，求透射系数 T。二、（30）自旋为12的粒子置于势场 V(x)中，V(x)=0,0 x a,x a。设粒子所处状态为(x,sz)=5183(x)(1i)+295(x)(1i)，其中 n(x)为系统空间部分的第 n 个能量本征函数（已归一化）。求能量的可测值及相应的取值概率。三、用不确定度关系估算一维谐振子的基态能量。四、（30）各向同性的三维谐振子哈密顿算符为H0=22m2+m22r2。加上微扰H=(xy+yz+zx)后，求第一激发态的一级能量修正。五、（30）自旋为12，磁矩为，电荷为零的粒子置于磁场中。t=0 是磁场为B0=(0,0,B0)，粒子处于 z的本征值为 1 的本征态(01)。设在 t 0 时，再加上弱磁场B1=(B1,0,0)，求 t 0 时的波函数，以及测到自旋反转的概率。13目录返回1.11.2006乙B中科院量子力学历年试题详解1.112006 乙 B一、（30）粒子以能量 E 入射方势垒，V(x)=V0 0,0 x a0,x 0。设能量 E 0 时的以下量：（1）概率密度|(x,t)|2；（2）能量的可取值及相应的概率。三、（30）设氢原子所处状态为(r,Sz)=12R21(r)Y11(,)32R21(r)Y10(,)。（1）求轨道角动量 z 分量Lz和自旋角动量 z 分量Sz的平均值；（2）求总磁矩M=e2L eS 的 z 分量的平均值。四、对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积 x p。五、（30）两个自旋为12非全同粒子，自旋间相互作用为H=J s1 s2，其中 s1和 s2分别为粒子 1和粒子 2 的自旋算符。设 t=0 时粒子 1 的自旋沿 z 轴正方向，粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向。求 t 0时，测到粒子 2 的自旋仍处于 z 轴负方向的概率。14目录返回CHAPTER 1.试题中科院量子力学历年试题详解1.122005一、（20）1800 个电子经 1000V 电势差加速后从 x=处射向势阶 V(x)=V0,x 0，其中 V0=750V。试问在 x=处能观察到多少个电子？如果势阶翻转一下，即电子射向势阶V(x)=0,x 0，则结果如何？二、（20）质量为 m，电荷为 q 的粒子在三维各向同性谐振子势 V(r)=12m2r2中运动，同时受到一个沿 x 方向的均匀常电场E=E0i 作用。求粒子的能量本征值和第一激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。三、（40）一个质量为 m 的粒子在下面的无限深方势阱中运动。V(x)=,x a0,a x 0开始时(t=0)，系统处于状态，(x)=Asinx2acos3 x2a，其中 A 为常数。请求出 t 时刻系统：（1）处于基态的几率；（2）能量平均值；（3）动量平均值；（4）动量的均方差根（不确定度）。四、（30）两个具有相同质量 m 和频率 的谐振子，哈密顿量为H0=12m(p21+p22)+12m2(x1 a)2+(x2+a)2)（a 为两个谐振子的平衡位置），受到微扰作用 H=m2(x1 x2)2,|1，试求该体系的能级。五、（30）已知氢原子基态波函数为：100=1(a30)12era0，试对坐标 x 及动量 px，求：x=x2 x2,p=p2x px2，由此验证不确定关系。15目录返回1.13.2004中科院量子力学历年试题详解1.132004一、（30）粒子在一维无限深方势阱 V(x)中运动，V(x)=,|x|a0,|x|a处于状态 =1+3+24。这里 n,n=1,2,3,是系统归一化的能量本征态。请问：（1）粒子具有基态能量 E1几率；（2）粒子的平均能量（用基态能量 E1的倍数表示）；（3）态 4中的节点数（在节点处，找到粒子的几率密度为零）；（4）态 3的宇称。16目录返回CHAPTER 1.试题中科院量子力学历年试题详解1.142001 理论型17目录返回1.14.2001理论型中科院量子力学历年试题详解18目录返回CHAPTER2详解2.12011一、（1）氢原子基态的能量为 13.6V，那么第一激发态的氢原子电离能为：BA.13.6eVB.3.9eVC.7.8eVD.2.5eV析：氢原子能级公式的形式 1n2 常数，还是好记的，也就是说第一激发态为基态的14，即选 B。氢原子完整的能级公式为：En=e22a1n2，其中 a=2me2。（2）普朗克常数 h 的数值为：DA.1.05 1034B.6.63 1034C.1.05 1034JSD.6.63 1034JS（3）A、B 为厄米算符，那么下列各选项为厄米算符的是：BA.12(BA AB)B.i2(BA AB)C.AB+iBAD.i2(BA+AB)析：各个选项分别取厄米看看就知道了。A=12(AB BA)B=i2(AB BA)C=BA iABD=i2(BA+AB)，选 B。（4）对于中心力场，下列各式正确的是:CA.0(r)r2dr=1B.0(r)4r2dr=1C.0Rl(r)r2dr=1D.0Rl(r)4r2dr=1其中：r=Rl(r)r析：？有些问题，先放着。（5）经典力学中有L=r p=p r，那么在量子力学中L=r p=p r 是否也成立。请说明理由。答：是。L=r p=(xi+yj+zk)(pxi+pyj+pzk)=(ypz zpy)i+(zpx xpz)j+(xpy ypx)k192.1.2011中科院量子力学历年试题详解=Lxi+Lyj+Lzk p r=(pxi+pyj+pzk)(xi+yj+zk)=pxyk pxzj pyxk+pyzi+pzxj pzyi=(pyz pzy)i+(pzx pxz)j+(pxy pyx)k=r p（6）在(S2,Sz)的共同的本征态中，写出 Sx,Sy的矩阵表示，并说明是否可以找到这样的一个表象，使得 Sx,Sy,Sz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，说明理由。答：1、在(S2,Sz)的共同本征态中，Sx,Sy的矩阵表示为1：Sx=2(0 11 0),Sy=2(0 ii 0)2、因为 xyz=i，当 Sx,Sy,Sz均为实矩阵时，xyz=i 与 xyz=i 矛盾，故不存在一个表象使得 Sx,Sy,Sz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵。2（7）写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示。答：氢原子：En=e22a1n2(a=2me2)，一维简谐振子：En=(n+12)，一维无限深势阱：En=n2222ma2，图暂略！（8）两个非全同粒子处于态(x1,x2)，求出一个粒子处于 p1,p1之间，另一个粒子处于 x2,x2之间的几率。答：3在动量 p1,p1之间的几率，应在动量表象下考量，(x1,x2)在 p1动量表象下的形式为：p1|(x1,x2)=12+(x1,x2)eix1pdx1波函数的平方才是几率密度，而且是归一化的波函数，一个粒子处于 p1,p1之间，另一个粒子处于x2,x2之间的几率为：p1p1x2x2?12+(x1,x2)eix1pdx1?2dp1dx2+?(x1,x2)?2dx1dx2二、已知 pr=12(rr p+p rr)（1）pr是否为厄米算符，为什么？（2）写出 pr的算符表示。（3）求出 r,pr=？答：（1）pr=12(rr p+p rr)=12(p rr+rr p)=12(rr p+p rr)又 p=p,r=r，所以 pr=pr，pr是厄米算符。1就是考察泡利矩阵2实矩阵意味着什么呢？有什么物理意义？实在没想到很好的回答，只能用这个顶顶，感觉没回答在点上，请知道的告知我！3非全同粒子，各顾各，之间没联系20目录返回CHAPTER 2.详解中科院量子力学历年试题详解（2）rr p=i er =ir p rr=i (r r)=i(r r+r r)=i(3r+r r rr2)=i3r+r(r rr3)=i(3r+rr)=i(2r+r)pr=12(rr p+p rr)=i(1r+r)（3）r,pr=rpr prrrpr=ir(r+r)=i(+rr),prr=i(1r+r)(r)=i(+rr)r,pr=i三、（30）有一质量为 m 的粒子在半径为 R 的圆周上运动，现加一微扰：H=V()=V1,0;V2,0 ;0,其他其中 ，求对最低两能级的一级修正。解：H=Ep22m+V =E22m2+V =E2=1r2r(r2r)+1r2sin(sin)+1r2sin222未受微扰时，R,为常数，有：22mr2d2d2=E令 I=mr2,k2=2IE2有，d2d2+k2=0，解得：=Aeik+Beik，由边界条件(0)=(0+2)任意角度与加上 2 处的波函数相同，转了一圈回到原位置当然相同。，有：Aeik0+Beik0=Aeik0eik2+Beik)eik2=Aeik0(1 eik2)+Beik0(1 eik2)=0=A=0k=0,1,2,或B=0k=0,1,2,即：=Aeik,k=0,1,2,或=Beik,k=0,1,2,当 k 取正负时，这两组解是相同的，故解表示为：=Aeik,k=0,1,2,归一化：20=1A22=1A=12k=12eik,Ek=k222Ik=0,1,2,E0=0|H|0=V120d+V220d=V12+V22=(V1+V2)2E1有简并，有：H11=1|H|1=V120eieid+V220eieid=(V1+V2)21目录返回2.1.2011中科院量子力学历年试题详解H1,1=1|H|1=V120eieid+V220eieid有些问题，先放着。？四、（30）一粒子在一维无限深方势阱(0 x 0)时撤去微扰，体系处于前三个激发态的概率。解：无微扰时，波函数、能级为：0n=2asinnxa,E0n=n2222a2t0撤去微扰时，体系处于前三个激发态的概率为：跃迁到第一激发态 2的概率、跃迁到第二激发态 3的概率、跃迁到第三激发态 4的概率之和，即：|a2(t0)|2+|a3(t0)|2+|a4(t0)|2am=1t00Hm1eim1tdt,a2=1t00H21ei21tdt,a3=1t00H31ei31tdt,a4=1t00H41ei41tdt其中 m1=EmE1,E1=222a2,E2=422a2,E3=9222a2,E4=16222a2,21=322a2,31=42a2,41=1522a2。Hm1=m|H|1=2V0aa+b2abasinmxasinxadx=V0aa+b2abacos(m 1)ax cos(m+1)axdx利了用积化和差公式：sinsin=12(cos(+)cos()。又由于b a，对积分近似，一维积分就是求面积，将这个积分近似为微小矩形的面积，宽为：a+b2ab2=b，高为cos(m1)aacos(m+1)aa=cos(m2+2)cos(m22)，有4：Hm1=V0bacos(m2+2)cos(m22)利用三角公式：cos()=coscos sinsin，有：cos(m2+2)=cosm2cos2 sinm2sin2=sinm2cos(m22)=cosm2cos2+sinm2sin2=sinm2Hm1=2V0bsinm2aam(t0)=1it00(2V0bsinm2a)eim1tdt=2V0bsinm2iat00eim1tdt=2V0bsinm2am1eim1t0a2(t0)=a4(t0)=0a3(t0)=2V0baa242eim1t0于是 t0撤去微扰，体系处于前三个激发态的概率为：P=|a3(t0)|2=(abv0222)2=a2b2V202444五、在(l2,lz)的共同表象中，粒子处于 Y20态，求 Lx的可能值及相应的几率。方法一：对于 Ylm,Y20，利用 m=0,lzYlm=mYlm,lzY20=0，这个特点。4要对“微小”两个字敏感，对于所谓的“微小”情况，就要想到相关的近似，如积分可以直接看成矩形求面积，还有泰勒展开之类。22目录返回CHAPTER 2.详解中科院量子力学历年试题详解设(l2,lx)的共同本证态为|lmx，将 Y20或表示为|20z用(l2,lx)的共同本征态表示5：|20z=2m=2Cm|2mx对于升降算符求(l2,lz)共同本征态过程，可以看出，对(l2,lx),(l2,ly)而言也是相同的，只不过遵从轮换性质。在(l2,lz)表象下：l+=lx+ily,l=lxily；在(l2,lx)表象下：l+=ly+ilz,l=lyilz,lz=12i(l+l)。利用 l|lm=(l m)(l m+1)|jm 1，有：l|2mx=(2 m)(3 m)|2,m 1x=6 2m 3m+m2|2,m 1x=6 m(m 1)|2,m 1x无论处于何种表象中，本征态的本征值不变。|20 是(l2,lz)表象 lz中的本征态，故 lz|20=0。由lz=12i(l+l)，有：lz|20=12i(l+l)2m=2Cm|2mx且 l|2,2x=0,l+|2,2=0，即：0=l+C2|2,2x+l+C1|2,1x+l+C0|2,0 x+l+C1|2,1x+l+C2|2,2x lC2|2,2x lC1|2,1x lC0|2,0 x lC1|2,1x lC2|2,2x0=2C2|2,2x+6C1|2,1x+6C0|2,0 x+2C1|2,1x 2C1|2,1x6C0|2,0 x6C1|2,1x 2C2|2,2x0=(2C26C0)|2,1x+(6C16C1)|2,0 x+(6C02C2)|2,1x+2C1|2,2x2C1|2,2x系数需为 0 才满足等式及归一化条件2m=2|Cm|2=1，有：C1=C1=02C26C0=06C0 2C2=0|C0|2+|C2|2+|C2|2=1=|C0|2=14,|C2|2=|C2|2=38即：lx的可能测值为：2,2,0，概率分别为：38,38,14。方法二：见曾书 p333p337jm+1|jx|jm=2(j m)(j+m+1)，l=2 时，lx=?000006200062062 0006200000?由此可求得 lx的各本征态，将 Y20用求得的本征态展开，Y20=001005中心思路：波函数可由一组正交归一的本征函数系表示，即本题中，用 lx的本征函数表示 Y20，各本征态前的系数的平方，表示测得各本征态对应本征值的概率。23目录返回2.1.2011中科院量子力学历年试题详解方法三：见曾题集 p214，24目录返回CHAPTER 2.详解中科院量子力学历年试题详解2.22010一、（1）设A,B 与 Pauli 算符对易，证明：(A)(B)=A B+i (A B)（2）试将(I+x+i y)12表示成I,x,y,z的线性叠加，I 为单位算符。证明：（1）=xi+yj+zk A=xAx+yAy+zAz B=xBx+yBy+zAz(A)(B)=(xAx+yAy+zAz)(xBx+yBy+zBz)=xAxxBx+xAxyBy+xAxzBz+yAyxBx+yAyyBy+yAyzBz+zAzxBx+zAzyBy+zAzzBz由A,B 与 Pauli 算符对易和 Pauli 算符关系 2=1,=i，有：(A)(B)=AxBx+izAxBy iyAxBz izAyBx+AyBy+ixAyBz+iyAzBx iyAzBy+AzBz=AxBx+AyBy+AzBy+ix(AyBz AzBy)+iy(AzBx AxBz)+iz(AxBy AyBx)=A B+i (A B)（2）x,y,z,I 构成 2 阶复矩阵的完备基。说明了，任何一个 2 阶复矩阵（当然包括实矩阵）都可以由这四个矩阵表示出来6，有：I+x+iy=C0I+C1x+C2y+C3z两边平方：I+x+iy=(C0I+C1x+C2y+C3)(C0I+C1x+C2y+C3)=C20+C0C1x+C0C2y+C0C3z+C21+C0C1x+C1C2xy+C1C3xz+C22+C0C2y+C1C2yx+C2C3yz+C23+C0C3z+C1C3zx+C2C3zy由 x,y,z间反对易关系，xy+yx=0，有:I+x+iy=C20+C21+C22+C23+2C0C1x+2C0C2y+2C0C3z=C20+C21+C22+C23=12C0C1=12C0C2=iC0C3=0=C0=1C1=12C2=i2C3=0即:I+x+iy=1+12(x+iy)二、设一维谐振子的初态为(x,0)=cos20(x)+sin21(x)，即基态与第一激发态的叠加，其中 为实参数：（1）求 t 时刻的波函数(x,t)；（2）求 t 时刻粒子处于基态及第一激发态的概率；6证明见曾题集 25目录返回2.2.2010中科院量子力学历年试题详解（3）求 t 时刻粒子的势能算符V=m22x2的平均值；（4）求演化成(x,t)所需的最短时间 tmin。解：（1）En=(n+12),E0=2,E1=32,(x,t)=cos2|0eit2+sin2|1e3it2（2）t 时刻处于基态的概率：7P0=?0|?2=?cos2ei2?2=cos22t 时刻处于第一激发态的概率：P0=?0|?2=?sin2ei2?2=sin22（3）V =m22x2x2=|x2|=cos220|x2|0+sin221|x2|1+cos2sin2eit0|x2|1+cos2sin2eit1|x2|0 x=22m(a+a)x2=2m(a2+a2+a+a+aa+)0|a2+|0=0,0|a2|0=0,0|a+a|0=0,0|aa+|0=0|a|1=11|a2+|1=0,1|a2|1=0,1|a+a|1=1,1|aa+|1=21|a|2=222|2=20|a2+|1=0,0|a2|1=0,0|a+a|1=0,0|aa+|1=01|x2|0=0|x2|1=0即：x2=cos222m+sin2232mV =m22x2=4cos22+34sin22（4）(x,t)=(x,t)，有：eit2=1e3it2=1=cost2 isint2=1cos3t2 isin3t2=1=t2=n13t2=n2n1,n2为奇数t=2n1=2n23，当 n1=1,n2=3 时，t 为最小，t=2，即：演化成(x,t)所需的最短时间tmin=2。三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为：H=0,t 0zetT,t 0其中,T为常数（1）求很长时间后(t T)电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半径；已知基态：100(r)=R10(r)Y00(,)=142a32era210(r)=R21(r)Y10(,)=34cos1(2a)32r3aer2a（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。(a)200(b)211(c)21,1(d)2107这里的绝对值应理解为取模26目录返回CHAPTER 2.详解中科院量子力学历年试题详解解：（1）球坐标下：H=zetT=etTrcos,t 0amn=1it0HmneimntdtH21=200|H|100+210|H|100+211|H|100+21,1|H|100根据球谐函数的对称性：8200|H|100=0,211|H|100=0,21,1|H|100=0具体分析下：200=R20Y00=142(1a)32(2 ra)er2a210=R21Y10=242(1a)32raer2acos211=R21Y11=18(1a)32raer2asinei21,1=R21Y1,1=18(1a)32raer2asinei200|H|100，方向：0cossind=120sin2d=14cos2?0=14(1 1)=0211|H|100，方向：0sincossind=0sin2dsin=13sin3?0=021,1|H|100，方向：同上。所以基态电子跃迁到激发态(a)200,(b)211,(c)21,1的概率均等于零。（2）H21=210|H|100=341(2a)3213a etT142a322000cosrer2arcoserasinr2dddr=42a4etT20d0cos2sind0r4e3r2adr=42a4etT 2 23256a581=322a243etT其中：0cos2sind=0cos2dcos=13cos3?0=230 xneaxdx=n!an+10r4e32ardr=4!(32a)5=256a581a21=1i322a243t0etTei21tdt=1i322a243Ti21T 1(ei21Te