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数学勾股定理(讲义及答案)附解析

一、选择题
1．已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（　　）

A．cm B．5cm C．cm D．4.5cm
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（ ）

A． B．6 C． D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（　　）

A．3 B．3.3 C．4 D．4.5
4．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（　　）

A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
5．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（　　）
A．24 B．30 C．40 D．48
6．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　
A． B．、、
C．、、 D．、、
7．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点所表示的数为（ ）

A． B． C． D．
8．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．在中，,则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( 　 )
A．6，8，10 B．5，12，13 C．3，5，6 D．，，
二、填空题
11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．

12．如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．

13．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到＇处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．

14．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为__________.
15．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，已知,则的值是____.

16．如图，度，，，且，AF平分交BC于F，若，，则线段AD的长为______．

17．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，且AB=3，BC=5．
①线段OA的取值范围是______________；
②若BD-AC=1，则AC•BD= _________．

18．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝，四边形ABCD的面积是_______．
19．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则．

20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________．
三、解答题
21．（1）计算：；
（2）已知a、b、c满足．判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
22．如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．
（1）则____________；
（2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？此时_________?
（3）当点在边上运动时，直接写出使成为等腰三角形的运动时间．

23．如图，为边长不变的等腰直角三角形，，，在外取一点，以为直角顶点作等腰直角，其中在内部，，，当E、P、D三点共线时，．
下列结论：
①E、P、D共线时，点到直线的距离为；
②E、P、D共线时，；
；
④作点关于的对称点，在绕点旋转的过程中，的最小值为；
⑤绕点旋转,当点落在上，当点落在上时，取上一点，使得，连接，则．
其中正确结论的序号是___．

24．已知中，，，过顶点作射线.
（1）当射线在外部时，如图①，点在射线上，连结、，已知，，（）.

①试证明是直角三角形；
②求线段的长.（用含的代数式表示）
（2）当射线在内部时，如图②，过点作于点，连结，请写出线段、、的数量关系，并说明理由.

25．在中，，CD是AB边上的高，若.

（1）求CD的长.
（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上从点A出发向点C运动，速度为v个单位秒，设运动的时间为，当点Q到点C时，两个点都停止运动.
①若当时，，求t的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.
26．如图，在边长为正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接.

（1）如图1，过点作交于点，连接交于点.
①求证：;
②设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.
27．如图1，点是正方形边上任意一点，以为边作正方形，连接，点是线段中点，射线与交于点，连接．
（1）请直接写出和的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形绕点顺时针旋转，此时点恰好落在线段上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形绕点顺时针旋转，此时点、恰好分别落在线段、 上，连接，如图3，其他条件不变，若，，直接写出的长度．

28．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝DE；
（3）如图3，若m＝4，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

29．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：

的大小
的形状

…

直角三角形

…

直角三角形

…

请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论 在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．

（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（ ）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝　 　（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是　 　度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．

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一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿，，，剪开，得图
；
（2）沿，，，，，剪开，得图
；
（3）沿，，，，，剪开，得图
；

综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即．
故选：B．
【点睛】
此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．
【详解】
∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=BD•PE+CD•PF=BD•AC，
∴PE+PF=AC，
设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=4，
∴PE+PF=4．
故选C
【点睛】
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
3．A
解析：A
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得，BD＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，
∴△BCD的面积＝×CD×BC＝×3×4＝6，
∵P是BD的中点，
∴S△PBC＝S△BCD＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm，FC=18-2=16cm，再利用勾股定理计算出SF长即可．
【详解】
将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF的长，
由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+(18-1-1)2=400，
SF=20 cm，
故选C.

【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
5．A
解析：A
【解析】
已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC的面积为×6×8=24，故选A．
6．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.
【详解】
选项A，，不能构成直角三角形；
选项B，，不能构成直角三角形；
选项C，，能构成直角三角形；
选项D，，不能构成直角三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．B
解析：B
【分析】
由数轴上点表示的数为，点表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得，进而即可得到答案．
【详解】
∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1，
∴PA=2，
又∵l⊥PA，，
∴，
∵PB=PC=，
∴数轴上点所表示的数为：．
故选B．
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】
如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．D
解析：D
【分析】
根据题意设出三边分别为k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC边相等，所以三角形为等腰直角三角形．
【详解】
设BC、AC、AB分别为k，k，k，
∵k2+k2=（k）2，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
又BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】
A、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、32+5262，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
二、填空题

11．8
【解析】
如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值
作交于，则为所求；
设,,

由，，
h+5=8，即BM+MN的最小值是8.

点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．
12．①③
【分析】
①由已知条件证明DAB≌EAC即可；
②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；
③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°可判断③；
④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断④．
【详解】
解：∵DAE＝BAC＝90°，
∴DAB＝EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，
∵在DAB和EAC中，
，
∴DAB≌EAC，
∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正确；
由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②错误；
∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°，
∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；
∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．
∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．
13．
【分析】
连接AC＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC＇长，再比较大小即可得出结果．
【详解】
解：如图

展开成平面图，连接AC＇，分三种情况讨论：
如图1，AB=4，BC＇=1+2=3，
∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇==5（cm），
如图2，AC=4+2=6，CC＇=1
∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm），
如图3，AD =2，DC＇=1+4=5，
∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm）
∵5<<，
∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，
故答案为：5cm．
【点睛】
本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．
14．或
【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BDCD求出BC的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD=，
∴BC=，
∴△ABC的周长为：；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD=，
∴BC=，
∴△ABC的周长为：；
综合上述，△ABC的周长为：或；
故答案为：或.
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
15．.
【分析】
根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据，，，，即可得出答案.
【详解】
∵八个直三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形
∴CG=NG，CF=DG=NF
∴

∴
∴
故
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.
16．
【分析】
由“SAS”可证≌，≌可得，，，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长．
【详解】
解：如图，连接EF，过点A作于点G，

，
，
又，
，
在和中
，
≌．
，
，，
∴
，
，
，
，
平分，
，
在和中
，
≌．
．
．
，
∴
，
，，
，
，
∴
故答案为
【点睛】
考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．①1＜OA＜4． ②．
【解析】
(1)由三角形边的性质
5-3<2OA<5+3,
1＜OA＜4.
(2)过A作AF过D作DE于E,可知，ABF全等,
由题意知，+=+，
，
=+2(+50=68，
BD-AC=1，两边平方 -2AC•BD=1，
AC•BD=.

18．49
【解析】
连接AC，在Rt△ABC中，∵AB=8，BC=6，∠B=90°，∴AC= =10．
在△ADC中，∵AD=CD=，∴AD2+CD2=（）2+（）2=100．
∵AC2=102=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AD•DC=×8×6+××=24+25=49．

点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．41
【解析】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，

∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得CD′=，
∴BD=CD′=，即BD2=41．
故答案是：41．
20．3或或
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：如图

∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=AC=×8=4，
由勾股定理得，AB=

当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，AD=3，
∴PD=，
当点P在BC上时，AP=2PD，
设PD=x，则AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，

解得，x=
故答案为：3或或.
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
三、解答题

21．（1）4；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，3
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；
（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.
【详解】
解：（1）
=
=
＝4；
（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
理由是：
∵a、b、c满足，
∴a﹣2＝0，3﹣b＝0，c﹣＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝，
∵2+3＞，2+＞3，2+＞3，
∴以a、b、c为边能组成三角形，
∵a＝2，b＝3，c＝，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边能构成直角三角形，直角边是a和b，
则此三角形的面积是＝3.
【点睛】
此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.
22．（1）12；（2）t=12.5s时，13 cm；（3）11s或12s或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC= PA=t，则PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判断出此时，点Q在边AC上，根据CQ=2t-BC计算即可；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．
故答案为：12；
（2）如图，点P在边AC的垂直平分线上时，连接PC，
∴PC= PA=t，PB=16-t．
在Rt△BPC中，，即，
解得：t=．
∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，＞6，
∴此时，点Q在边AC上，CQ=(cm)；

（3）分三种情况讨论：
①当CQ=BQ时，如图1所示，

则∠C=∠CBQ．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11(s)．
②当CQ=BC时，如图2所示，

则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12(s)．
③当BC=BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，
则BE，
∴CE=7.2．
∵BC=BQ，BE⊥CQ，
∴CQ=2CE=14.4，
∴BC+CQ=26.4，
∴t=26.4÷2=13.2(s)．
综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
23．②③⑤
【分析】
①先证得，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得，利用勾股定理求出，即可求得点到直线的距离；
②根据①的结论，利用即可求得结论；
③在中，利用勾股定理求得，再利用三角形面积公式即可求得；
④当共线时，最小，利用对称的性质，的长，再求得的长，即可求得结论；
⑤先证得，得到，根据条件得到，利用互余的关系即可证得结论．
【详解】
①∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
作BH⊥AE交AE的延长线于点H，

∵，，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为，故①错误；
②由①知：，，，
∴

，故②正确；
③在中，由①知：，
∴，
，
，故③正确；
④因为是定值，所以当共线时，最小，如图，连接BC，

∵关于的对称，
∴，
∴，
∴ ，
，故④错误；
⑤∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确；

综上，②③⑤正确，
故答案为：②③⑤．
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．
24．（1）①详见解析；（2）（）；（2），理由详见解析.
【分析】
（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E，进而证明△ACD≌△BCE，求出DE的长，再利用勾股定理求解即可.
（2）过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F，先证∠ACD=∠BCF，再证△ACD≌△BCF，得CD=CF，AD=BF，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）①∵

又∵
∴
∴△ABD是直角三角形
②如图①，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，

∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD是直角三角形
∴
又∵
∴∠1=∠E
在和中，

∴△ACD≌△BCE
∴，
∴
又∵，
∴由勾股定理得
∴（）
（2）AD、BD、CD的数量关系为：，
理由如下：
如图②，过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F，

∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5
∴∠ACD=∠BCF
∵BD⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
和中

∴△ACD≌△BCF
∴CD=CF，AD=BF
又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得
又DF=BF-BD=AD-BD
∴
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.
25．（1）CD=8；（2）t=4；（3）()
【分析】
（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.
【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，

∵AB=AC，
∴BE=BC=
在Rt△ABE中，

∵△ABC的面积=
∴
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，

∵△ABC的面积=，AB=AC
∴BF=CD
在Rt△CPD和Rt△BQF中
∵CP=BQ，CD=BF，
∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）
∴PD=QF
在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10
∴
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t
由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，
∵t＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当Q点在FC之间时，如图所示，

此时PD=6-t，QF=2t-6
由PD=QF得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t的值为4.
（3）同（2）可知v＞1时，Q在AF之间不存在CP=BQ，Q在FC之间存在CP=BQ，Q在F点时，显然CP≠BQ，
∵运动时间为t，则AP=t，AQ=vt，
∴PD=6-t，QF=vt-6，
由PD=QF得6-t=vt-6，
整理得，
∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC
∴，代入得
，解得
所以答案为()
【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.
26．(1)①见解析；②；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.

②解：∵正方形ABCD的边长为，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，
则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，

由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，
在△PBG与△EBG中，，
∴△PBG≌△EBG（SAS）.
∴PG=EG=2－x－y，
∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°，
∴在Rt△PCG中，由，得，
化简，得.
（2）如图3，作法如下：
①延长交AD于点M，
②连接MO并延长交BC于点N，
③连接DN交AC于点Q，
④连接DE、BQ，
则四边形BEDQ为菱形.

【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q的位置是解决（2）题的关键.
27．（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】
(1)证明ΔFME≌ΔAMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC，EM，由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）结论：CM＝ME，CM⊥EM．
理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM＝∠HBM，
在△FME和△BMH中，

∴△FME≌△BMH（ASA），
∴HM＝EM，EF＝BH，
∵CD＝BC，
∴CE＝CH，∵∠HCE＝90°，HM＝EM，
∴CM＝ME，CM⊥EM．
（2）如图2，连接，

∵四边形和四边形是正方形，
∴
∴点在同一条直线上，
∵，为的中点，
∴，，∴，
∵，∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
（3）如图3中，连接EC，EM．

由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，
∵
∴CM＝EM＝
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）AB＝4；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为4.
【分析】
（1）根据勾股定理可求AB的长；
（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示
DE，CE的长，即可证CE＝DE；
（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．
【详解】
（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，
∴AO＝4，BO＝8，
在Rt△ABO中，AB＝
（2）如图，过点D作DF⊥AO，

∵DE＝DO，DF⊥AO，
∴EF＝FO，
∵m＝4，
∴AO＝BO＝4，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∵点C，O关于直线AB对称，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，
∴∠CAO＝∠CBO＝90°，
∵DF⊥AO，∠BAO＝45°，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，
∴AF＝DF，
设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，
∴AF＝DF＝4﹣x，
在Rt△DEF中，DE＝
在Rt△ACE中，CE＝
∴CE＝DE，
（3）如图，过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，

∵m＝4，
∴OB＝4，
∴tan∠ABO＝，
∴∠ABO＝30°
∵点C，O关于直线AB对称，
∴AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，
∴∠CAF＝120°，∠CBO＝60°
∵BM⊥OB，∠ABO＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∴∠CAF＝∠ABM，且DB＝AF，BM＝AO＝AC＝4，
∴△ACF≌△BMD（SAS）
∴CF＝DM，
∵CF+