资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. （-12）2=（ ）
A. 14 B. -14 C. -4 D. 4
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a6÷a3=a2 B. (a2)3=a5 C. (ab)2=ab2 D. a2⋅a3=a5
3. 国家主席习近平在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.34×107 B. 3.4×106 C. 3.4×105 D. 34×105
4. 如图几何体的左视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A. 60∘
B. 65∘
C. 70∘
D. 75∘
6. 已知x1，x2是x2-4x+1=0的两个根，则x1+x2是（ ）
A. -1 B. 1 C. -4 D. 4
7. 若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（ ）
A. x1=0，x2=4 B. x1=1，x2=5
C. x1=1，x2=-5 D. x1=-1，x2=5
8. 如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数y=1x，y=kx的图象上，若∠C=90°，AC∥y轴，BC∥x轴，S△ABC=8，则k的值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 函数y=5xx-4中，自变量x的取值范围是______．
10. 把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______．
11. 甲、乙两人进行射击比赛，每人10次射击的平均成绩都是8.5环，方差分别是s甲2=3，s乙2=2.5，则射击成绩较稳定的是______．
12. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2=40°，则∠1的度数是______．
13. 已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是______cm．
14. 如图，已知△ABC中，∠A=70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为______°．
15. 如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为______．
16. 如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AB上一点，连接CD，过点A作AE⊥CD于F交BC于E，G在是CF上一点，过点G作GH⊥BC于H，延长GH到K连接KC，使∠K+2∠BAE=90°，若HG：HK=2：3，AD=10，则线段CF的长度为______．
三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）
17. 解不等式组x+32≥x+13+4(x-1)＞-9，并把解集在数轴上表示出来．
18. 如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若AC=4，BC=3，求sin∠ABD的值．
四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）
19. 2cos30°+（π-1）0-27+|-23|
20. 先化简，再求代数式的值：(1-1m+2)÷m2+2m+1m2-4，其中m=1．
21. 某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级，图1、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图．
（1）C等级所占的圆心角为______°；
（2）请直接在图2中补全条形统计图；
（3）若该校有学生1000人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．
22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，-1）．
（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B1C1（△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）．
（2）利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是______，⊙P的半径=______．（保留根号）
23. 甲、乙、丙三位同学玩抢座位游戏，在老师的指令下围绕A、B两张凳子转圈（每张仅可坐1人），当老师喊停时即可抢座位．
（1）甲抢不到座位的概率是多少？
（2）用树状图或列表法表示出所有抢到座位的结果，并求出恰好甲坐A凳、丙坐B凳的概率．
24. “五一”假期，某校团委组织500团员前往烈士陵园，开展“缅怀革命先烈，立志为国成才”的活动，由甲、乙两家旅行社来承担此次活动的出行事宜．由于接待能力受限，两家旅行社每家最多只能接待300人，甲旅行社的费用是每人4元，乙旅行社的费用是每人6元，如果设甲旅行社安排x人，乙旅行社安排y人，所学费用为w元，则：
（1）试求w与x的函数关系，并求当x为何值时出行费用w最低？
（2）经协商，两家旅行社均同意对写生施行优惠政策，其优惠政策如表：
人数
甲旅行社
乙旅行社
少于250人
一律八折优惠
七折优惠
不少于250人
五折优惠
如何安排人数，可使出行费用最低？
25. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若FDEF=32，求证；A为EH的中点．
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．
26. 我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系．为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形．例如，已知tanα=13（0°＜α＜90°），tanβ=12（0°＜β＜90°），求α+β的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt△ABC和Rt△AED来解决．
（1）利用图①可得α+β=______°；
（2）若tan2α=34（0°＜α＜45°），请在图②的方格纸中构造直角三角形，求tanα；
（3）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，设∠CAB=α（0°＜α＜45°），请利用图③探究sin2α、cosα和sinα的数量关系．
27. 如图，二次函数y=x2+bx-3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为23，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在点T的运动过程中，
①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；
②若MT=12AD，求点M的坐标；
（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT=a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：（-）2=，
故选：A．
根据有理数的乘方的定义解答．
本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好．
2.【答案】D
【解析】
解：∵a6÷a3=a3，
∴选项A不符合题意；
∵（a2）3=a6，
∴选项B不符合题意；
∵（ab）2=a2b2，
∴选项C不符合题意；
∵a2•a3=a5，
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】
解：3400000用科学记数法表示为3.4×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】
解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形．
故选：D．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．
5.【答案】B
【解析】
解：连接BD，如图所示．
∵点D是弧AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABC=50°，AB是半圆的直径，
∴∠ABD=∠ABC=25°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=180°-∠ABD-∠ADB=65°．
故选：B．
连接BD，由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数，根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB=90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数．
本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】
解：x1+x2=4．
故选：D．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
7.【答案】D
【解析】
解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，
∴-=2，
解得：b=-4，
解方程x2-4x=5，
解得x1=-1，x2=5，
故选：D．
根据对称轴方程-=2，得b=-4，解x2-4x=5即可．
本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．
8.【答案】C
【解析】
解：设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），
∴AC=-=，BC=km-m=（k-1）m，
∵S△ABC=AC•BC=（k-1）2=8，
∴k=5或k=-3．
∵反比例函数y=在第一象限有图象，
∴k=5．
故选：C．
设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），由此即可得出AC、BC的长度，再根据三角形的面积结合S△ABC=8，即可求出k值，取其正值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键．
9.【答案】x≠4
【解析】
解：由题意得，x-4≠0，
解得，x≠4，
故答案为：x≠4．
根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键．
10.【答案】a（2x+3y）（2x-3y）
【解析】
解：原式=a（4x2-9y2）=a（2x+3y）（2x-3y），
故答案为：a（2x+3y）（2x-3y）
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】乙
【解析】
解：∵s甲2=3，s乙2=2.5，
∴s甲2＞s乙2，
∴则射击成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，比较出甲和乙的方差大小即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】50°
【解析】
解：∵AB∥CD，∠2=40°，
∴∠EDF=∠2=40°，
∵FE⊥DB，
∴∠FED=90°，
∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°，
故答案为：50°．
根据平行线的性质求出∠EDF=∠2=40°，根据垂直求出∠FED=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，平行线的性质等知识点，能根据平行线的性质求出∠EDF的度数是解此题的关键．
13.【答案】24
【解析】
解：设扇形的半径是r，则=20π
解得：R=24．
故答案为：24．
根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
本题主要考查了扇形的面积和弧长，正确理解公式是解题的关键．
14.【答案】125
【解析】
解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A，
而∠A=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°．
故答案为125．
利用基本作图得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A，然后把∠A=70°代入计算即可．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
15.【答案】90°
【解析】
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
16.【答案】910
【解析】
解：过点A作AM⊥BC于点M，交CD于点N，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，AM=BM=CM，∠BAM=∠CAM=45°，
设∠BAE=α，则∠EAM=45°-α，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+α，
∵AE⊥CD于点F，
∴∠AFD=∠AFC=∠EFC=90°，
∴∠ACF=90°-∠CAF=∠BAE=α，
∴∠ECF=∠ACB-∠ACF=45°-α=∠EAM，
∵GH⊥BC于H，
∴∠CHG=∠CHK=90°，
∴∠CGH=90°-∠ECF=90°-（45°-α）=45°+α，∠K+∠KCH=90°，
∵∠K+2∠BAE=90°，
∴∠KCH=2∠BAE=2α，
∴∠KCG=∠KCH+∠ECF=2α+（45°-α）=45°+α，
∴∠CGH=∠KCG，
∴KG=KC，
∵HG：HK=2：3，设HG=2a，HK=3a，
∴KC=KG=5a，
∴Rt△CHK中，CH=，
∴Rt△CHG中，tan∠ECF=，
∴Rt△CMN中，tan∠ECF=，
∴MN=CM=AM=AN，
∵∠ECF=∠EAM=45°-α，
∴Rt△ANF中，tan∠EAM=，
设FN=b，则AF=2b，
∴MN=AN=，
∴AM=CM=2AN=b，
∴Rt△CMN中，CN=，
∴CF=FN+CN=6b，
∴Rt△ACF中，tan∠ACF=，
∵∠ACF=∠DAF=α，
∴Rt△ADF中，tan∠DAF=，
∴DF=AF=，
∵AD2=AF2+DF2，AD=10，
∴102=（2a）2+（b）2，
解得：b1=，b2=-（舍去），
∴CF=6×，
故答案为：9．
作高线AM，根据等腰直角三角形和三线合一得：∠BAM=∠CAM=45°，设∠BAE=α，表示各角的度数，证明KG=KC，由HG：HK=2：3，设HG=2a，HK=3a计算KC、KG和CH的长，根据等角三角函数得tan∠EAM=，设FN=b，则AF=2b，由勾股定理列方程得：AD2=AF2+DF2，得102=（2a）2+（b）2，解出b的值可得结论．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示角的度数和线段的长，构造方程解决问题．
17.【答案】解：解不等式x+32≥x+1，得：x≤1，
解不等式3+4（x-1）＞-9，得：x＞-2，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为-2＜x≤1．
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC，
∴BC=CE，AC⊥CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥CE，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F，
∵BE=2BC=2×3=6，DE=AC=4，
∴在Rt△BDE中，
BD=BE2+DE2=62+42=213，
∵S△BDA=12×DE•AD=12AF•BD，
∴AF=4×3213=61313，
∵Rt△ABC中，AB=32+42=5，
∴Rt△ABF中，
sin∠ABF=sin∠ABD=AFAB=613135=61365．
方法二、如图2所示，过点O作OF⊥AB于点F，
同理可得，OB=12BD=13，
∵S△AOB=12OF•AB=12OA•BC，
∴OF=2×35=65，
∵在Rt△BOF中，
sin∠FBO=OFOB=6513=61365，
∴sin∠ABD=61365．
【解析】
（1）根据▱ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；
（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值．
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD．
19.【答案】解：原式=2×32+1-33+23
=3+1-33+23
=1．
【解析】
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：原式=m+1m+2•(m+2)(m-2)(m+1)2
=m-2m+1，
当m=1时，原式=1-21+1=-12．
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】126
【解析】
解：（1）C等级所占的圆心角为360°×（1-10%-23%-32%）=126°，
故答案为：126；
（2）∵本次调查的总人数为20÷10%=200（人），
∴C等级的人数为：200-（20+46+64）=70（人），
补全统计图如下：
（3）1000×=350（人），
答：估计“比较喜欢”的学生人数为350人．
（1）用360°乘以C等级百分比可得；
（2）根据A等级人数及其百分比求得总人数，由各等级人数之和等于总人数求得C等级人数即可补全统计图；
（3）用总人数1000乘以样本中C等级所占百分比可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】（3，1） 10
【解析】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点P的坐标为（3，1），
PA1==，即⊙P的半径为，
故答案为：（3，1）、．
（1）延长BO到B1，使B1O=2BO，则点B1为点B的对应点，同样方法作出点A和C的对应点A1、C1，则△A1B1C1满足条件；
（2）利用网格特点，作A1C1和C1B1的垂值平分线得到△A1B1C1外接圆的圆心P，然后写出P点坐标和计算PA1．
本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了三角形的外心．
23.【答案】解：（1）∵甲、乙、丙三位同学抢2张凳子，没有抢到凳子的同学有3种等可能结果，
∴甲抢不到座位的概率是13；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中甲坐A凳、丙坐B凳的只有1种结果，
∴甲坐A凳、丙坐B凳的概率为16．
【解析】
（1）由甲、乙、丙三位同学抢2张凳子，没有抢到凳子的同学有3种等可能结果，利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
24.【答案】解：（1）由题意可知：x+y=500，
w=4x+6y=4x+6（500-x）=-2x+3000，
∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵甲旅行社最多只能接待300人，
∴当x=300时，w最小=-2×300+3000=2400（元）；
（2）当y＜250时，x+y=500，y=500-x＜250，得x＞250，
w=4×0.8x+6×0.7y=3.2x+4.2（500-x）=-x+2100，
∵k=-1＜0，
∴当x越大时，w越小，
∴当x=300时，w最小=-300+2100=1800（元）
当y≥250时，x+y=500，y=500-x≥250，得x≤250，
w=4×0.8x+6×0.5y=3.2x+3（500-x）=0.2x+1500，
∵k=0.2＞0，
∴当x越小时，w越小，
因为乙旅行社最多只能接待300人，所以当x=200时，
w最小=0.2×200+1500=1540（元）
∵1800＞1540
∴甲旅行社安排200人，乙旅行社安排300人，所需出行费用最低，最低为1540元．
【解析】
（1）根据题意得，w=4x+6y=4x+6（500-x）=-2x+3000，利用一次函数的性质：k=-2＜0，y随x的增大而减小，再根据甲旅行社最多只能接待300人，所以当x=300时，w最小=-2×300+3000=2400（元）；
（2）当y＜250时，x+y=500，y=500-x＜250，得x＞250，w=4×0.8x+6×0.7y=3.2x+4.2（500-x）=-x+2100；当y≥250时，x+y=500，y=500-x≥250，得x≤250，w=4×0.8x+6×0.5y=3.2x+3（500-x）=0.2x+1500，利用一次函数的性质，即可解答．
本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是根据题意列出函数解析式，在（2）中要注意分类讨论．
25.【答案】证明：（1）连接OD，如图1，
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD=∠ODB①，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）如图1，在⊙O中，∵∠E=∠B，
∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵FDEF=32，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△ODF，
∴FDEF=ODAE=32，
设OD=3x，AE=2x，
∵AO=BO，OD∥AC，
∴BD=CD，
∴AC=2OD=6x，
∴EC=AE+AC=2x+6x=8x，
∵ED=DC，DH⊥EC，
∴EH=CH=4x，
∴AH=EH-AE=4x-2x=2x，
∴AE=AH，
∴A是EH的中点；
（3）如图1，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-（1+r）=r-1，
∵∠BFD=∠EFA，∠B=∠E，
∴△BFD∽△EFA，
∴EFFA=BFFD，
∴1r-1=r+1r，
解得：r1=1+52，r2=1-52（舍），
综上所述，⊙O的半径为1+52．
【解析】
（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，得△EDC是等腰三角形，证明△AEF∽△ODF，则==，设OD=3x，AE=2x，可得EC=8x，根据等腰三角形三线合一得：EH=CH=4x，从而得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则列方程可求出r的值．
本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
26.【答案】45
【解析】
解：（1）如图①，连接CD，
∵AC2=12+32=10，CD2=12+22=5，AD2=12+22=5，
∴CD2+AD2=AC2，且CD=AD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，即α+β=45°，
故答案为：45．
（2）构造如图②所示Rt△ABC，AC=3，CB=4，AB=5，
设∠ABC=2α，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
tan2α=tan∠ABC=，
延长CN到D，使BD=AB，
∵AB=BD=5，
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABC=2∠D，
∴∠D=α，
在Rt△ADC中，∠C=90°，
∴tanα=tan∠D===；
（3）如图③，
过点C作CE⊥BD于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=α，∠COB=2α，
在Rt△OCE中，∠ABC=90°，
则sin2α==，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
则sinα=，cosα=，
∵OC=OB，
∴∠CBE=∠ACB，
∵∠CEB=∠ABC=90°，
∴△CEB∽△ABC，
∴=，
∴CE=，
∴==2•，即sin2α=2sinα•cosα．
（1）连接CD，利用勾股定理逆定理证明△ACD是等腰直角三角形即可得；
（2）构造如图②所示Rt△ABC，AC=3，CB=4，AB=5，延长CN到D，使BD=AB，据此可得tan2α=tan∠ABC=，tanα=tan∠D=；
（3）作CE⊥BD于E，利用矩形的性质知∠OAB=∠OBA=α，∠COB=2α，由三角函数定义知sin2α==，sinα=，cosα=，证△CEB∽△ABC得=，即CE=，据此可知==2•，从而得出答案．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、三角函数的定义、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
27.【答案】解：（1）把点B（3，0）代入y=x2+bx-3，得32+3b-3=0，
解得b=-2，
则该二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）①∠DMT的度数是定值．理由如下：
如图1，连接AD．
∵抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4．
∴抛物线的对称轴是直线x=1．
又∵点D的纵坐标为23，
∴D（1，23）．
由y=x2-2x-3得到：y=（x-3）（x+1），
∴A（-1，0），B（3，0）．
在Rt△AED中，tan∠DAE=DEAE=232=3．
∴∠DAE=60°．
∴∠DMT=2∠DAE=120°．
∴在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值；
②如图2，∵MT=12AD．又MT=MD，
∴MD=12AD．
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，
∴点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD=12AD．
∵A（-1，0），D（1，23），
∴点M的坐标是（0，3）．
（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH=HT=12AT．
又HT=a，
∴H（a-1，0），T（2a-1，0）．
∵OH≤x≤OT，又动点T在射线EB上运动，
∴0≤a-1≤x≤2a-1．
∴0≤a-1≤2a-1．
∴a≥1，
∴2a-1≥1．
（i）当2a-1≥11-(a-1)≥2a-1-1，即1≤a≤43时，
当x=a-1时，y最大值=（a-1）2-2（a-1）-3=a2-4a；
当x=1时，y最小值=-4．
（ii）当0＜a-1≤12a-1＞11-(a-1)＜2a-1-1，即43＜a≤2时，
当x=2a-1时，y最大值=（2a-1）2-2（2a-1）-3=4a2-8a．
当x=1时，y最小值=-4．
（iii）当a-1＞1，即a＞2时，
当x=2a-1时，y最大值=（2a-1）2-2（2a-1）-3=4a2-8a．
当x=a-1时，y最小值=（a-1）2-2（a-1）-3=a2-4a．
【解析】
（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可；
（2）①如图1，连接AD．构造Rt△AED，由锐角三角函数的定义知，tan∠DAE=．即∠DAE=60°，由圆周角定理推知∠DMT=2∠DAE=120°；
②如图2，由已知条件MT=AD，MT=MD，推知MD=AD，根据△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，得到：点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD=AD．根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可；
（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH=HT=AT．易得H（a-1，0），T（2a-1，0）．由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到：0≤a-1≤x≤2a-1．
需要分类讨论：（i）当，即1，根据抛物线的增减性求得y的极值．
（ii）当，即＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．
（iii）当a-1＞1，即a＞2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一.选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1.16的平方根是（ ）
A.4 B.－4 C.±4 D.±8
2.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D.
3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）
A B C D
5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）
A.该调查的方式是普查 B.本地区只有40个成年人不吸烟
C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟
6 杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B． 众数 C．中位数 D．方差
7.两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B.相交 C.外切 D.外离
8.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若BC＝5,则DE的长是（ ）
A
B
O
y
x
1
2
y＝kx＋b
A.2.5 B.5 C.10 D.15
9.如右图,一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点,
则不等式kx＋b < 0的解集是（ ）
A.x ＜0 B. 0＜ x ＜１
C.x＜１ D. x ＞１
10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）
A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元
11.若，且≥2，则（ ）
A.有最小值 B.有最大值1
C.有最大值2 D.有最小值
12.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为和，现给出下列命题：
①若，则；
②若,
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