福州市八年级上册期末数学试卷含答案[001].doc

福州市八年级上册期末数学试卷含答案
一、选择题
1、下列图形不是轴对称图形的是（       ）．
A． B． C． D．
2、纳米是非常小的长度单位，把长为2纳米的物体放在乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上．2纳米=0.000000002米，0.000000002这个数用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3、下列运算正确的是（       ）
A． B． C． D．
4、若分式的值为0，则x的值是（　　　）
A．1 B．0 C． D．±1
5、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
7、如图，∠BAC=∠BAD，还应补充下列其中一个条件后，不能得出△ABC≌△ABD的是（          ）

A． B． C． D．
8、若关于x的分式方程有增根，则m的值为（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9、如图，在中，，P是BC上一动点（与B、C点不重合），于E，则等于（       ）

A．155° B．145° C．135° D．125°
二、填空题
10、如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤
11、若分式的值为0，则x的值是____．
12、在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标为_____．
13、已知，则的值是_____．
14、已知，则＝_____．
15、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是______．

16、如图，在矩形中，点为中点，将沿翻折至，若，则__________．

17、已知，，则______．
18、在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 _______ cm．

三、解答题
19、分解因式：
(1)
(2)；
20、化简：．
21、如图，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求证：AO＝CO．

22、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．

(1)的度数为__________，__________（填“是”或“不是”）智慧三角形；
(2)若，求证：为“智慧三角形”；
(3)当为“智慧三角形”时，请直接写出的度数．
23、先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；…
(1)观察猜想：关于x的方程的解是 ；
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程；
(3)实践运用：对关于x的方程的解，小明观察得“”是该方程的一个解，则方程的另一个解= ，请利用上面的规律，求关于x的方程的解．
24、数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片边长为的正方形，中纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：____________________；方法2：________________________；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系．
_______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②已知，则的值是____．
25、如图1,在平面直角坐标系中, ,动点从原点出发沿轴正方向以的速度运动,动点也同时从原点出发在轴上以的速度运动,且满足关系式,连接,设运动的时间为秒.
(1)求的值;
(2)当为何值时，
(3)如图2,在第一象限存在点,使,求.

一、选择题
1、A
【解析】A
【分析】根据轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】根据轴对称图形的定义，A图形不是轴对称图形，BCD图形是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟记定义．
2、C
【解析】C
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000002=．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
3、D
【解析】D
【分析】直接利用幂的乘方和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4、C
【解析】C
【分析】直接利用分式的值为零的条件，即分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴ ，
解得：，
故选择：C
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分子为零分母不为零是解题关键．
5、B
【解析】B
【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．，从左到右是单项式乘以多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．，等式的右边是整式的积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
C．，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．，等式的右边不是几个整式的积，含有分式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查因式分解的判断．解题的关键是掌握因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：把分式中的x，y都扩大3倍，得
，
故其值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
7、B
【解析】B
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∠BAC=∠BAD，AB=AB，加AC=AD，能用SAS可判定△ABC≌△ABD，故A选项不符合题意；
B、∠BAC=∠BAD，AB=AB，加BC=BD，不能判定△ABC与△ABD全等，故B选项符合题意；
C、∠BAC=∠BAD，AB=AB，加∠CBA=∠DBA，能用ASA可判定△ABC≌△ABD，故C选项不符合题意；
D、∠BAC=∠BAD，AB=AB，加∠ACB=∠ADB，能用AAS可判定△ABC≌△ABD，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8、A
【解析】A
【分析】根据题意可得x＝3，然后把x的值代入整式方程中，进行计算即可解答．
【详解】解：，
m+4＝2（x﹣3）+3x，
解得：x＝ ，
∵分式方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝中，
3＝，
解得：m＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
9、B
【解析】B
【分析】先根据平行四边形的性质求出∠B的度数，再根据垂线的定义求出∠PEB的度数，即可利用三角形外角的性质求出∠CPE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠B=180°-∠A=55°，
∵PE⊥AB，即∠PEB=90°，
∴∠CPE=∠B+∠PEB=145°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形外角的性质，垂线的定义熟知相关知识是解题的关键．
二、填空题
10、D
【解析】D
【详解】试题【解析】①利用公式：∠CDA=∠ABC=45°，①正确；
②如图：延长GD与AC交于点P'，

由三线合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；
③如图：

∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
从而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正确；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E为△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+CD，故④错误；
⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，
则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正确；
故选D
点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．
11、##0.5
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，进而得出答案．
【详解】解：分式的值为0，
则，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
12、
【分析】首先根据题意可知直线垂直于直线，可设直线的解析式为，再把点代入，即可求得解析式，据此即可求得两直线的交点坐标，最后根据中位坐标即可求得．
【详解】解：点与点关于直线对称
直线垂直于直线
可设直线的解析式为
把点代入解析式，得
解得
故直线的解析式为

解得
故直线与直线的交点坐标为，即线段中点的坐标为
设点的坐标为
则，
解得，
点关于直线对称的点的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，即轴对称图形的特点，熟练掌握和运用轴对称图形的特点是解决本题的关键．
13、2
【分析】根据分式的运算法则即可得．
【详解】解：可化为，
则，
故答案为：1、
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式相加减；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
14、
【分析】先根据幂的乘方求出，再根据同底数幂的除法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
15、15
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
【详解】解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，
∴PA+PB的最小值为9
【解析】15
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
【详解】解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为6+9=15，
故答案为：14、

【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
16、【分析】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．由△ADM≌△BCM（SAS），推出∠DAM=∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=(90°-∠ABE)，由∠D
【解析】
【分析】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．由△ADM≌△BCM（SAS），推出∠DAM=∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=(90°-∠ABE)，由∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，推出∠OMB=∠ANB=90°-∠ABE，在△MBE中，根据∠EMB+∠EBM=90°，构建关系式即可解决问题．
【详解】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠ABC=∠ADB=90°，AD=BC，
∵DM=MC，
∴△ADM≌△BCM(SAS)，
∴∠DAM=∠CBM，
∵△BME是由△MBC翻折得到，
∴∠CBM=∠EBM=(90°−∠ABE)，
∵∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，
∴∠OMB=∠ANB=90°−∠ABE，
在△MBE中，
∵∠EMB+∠EBM=90°，
∴∠AME+90°−∠ABE+(90°−∠ABE)=90°，
整理得：3∠ABE−2∠AME=90°，
∵∠AME=15°
∴∠ABE=40°
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了矩形翻折的问题，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，在解题中应用了矩形的性质定理，及全等三角形的判定和性质相关知识．
17、110
【分析】首先根据完全平方公式的变式可得，再把a+b及ab的值代入，即可得出答案．
【详解】解：∵a+b=10，ab=−5，
∴．
故答案为：19、
【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变式
【解析】110
【分析】首先根据完全平方公式的变式可得，再把a+b及ab的值代入，即可得出答案．
【详解】解：∵a+b=10，ab=−5，
∴．
故答案为：19、
【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变式求值问题，熟练掌握和运用完全平方公式及其变式是解决本题的关键．
18、8或15##15或8
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，可
【解析】8或15##15或8
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，可解得AC的长．
【详解】解：设cm，则cm，
，要使得△ACM与△BMN全等，可分两种情况讨论：
当BM=AC，BN=AM时，

解得
cm；
当BM=AM，BN=AC时，

解得
cm
故答案为：8或14、
【点睛】本题考查全等三角形的性质，涉及分类讨论法、列一元一次方程、解一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
(1)
原式
(2)
原式
【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
(1)
原式

(2)
原式

【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．
20、【分析】由分式的加减乘除运算，把分式进行化简，即可得到答案．
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
【解析】
【分析】由分式的加减乘除运算，把分式进行化简，即可得到答案．
【详解】解：原式

；
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
21、见解析
【分析】根据题目中的已知条件利用“AAS”证明△ADO≌△CBO，然后全等三角形对应边相等得出AO=CO．
【详解】证明：在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴A
【解析】见解析
【分析】根据题目中的已知条件利用“AAS”证明△ADO≌△CBO，然后全等三角形对应边相等得出AO=CO．
【详解】证明：在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AO＝CO．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的条件是解决本题的关键．
22、(1)30；是
(2)见解析
(3)80°或52.5°或30°
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）先根据三角形的外角性质求得∠O
【解析】(1)30；是
(2)见解析
(3)80°或52.5°或30°
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）先根据三角形的外角性质求得∠OAC＝20°，再根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分情况讨论，根据“智慧三角形”的定义计算．
(1)
∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°−∠MON＝30°，
∵∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“智慧三角形”，
故答案为30；是；
(2)
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAC＝−∠AOC ＝20°，
∴∠AOC＝3∠OAC，
∴△AOC为“智慧三角形”；
(3)
∵△ABC为“智慧三角形”，
∵∠ABO＝30°，
∴∠BAC＋∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，
∴∠OAC＝80°，
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴∠ACB＝10°
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴∠BAC＋3∠BAC＝150°，
∴∠BAC＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°−60°＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝0°，
∵点C与点O不重合，
∴此种情况不成立，
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴3∠ACB＋∠ACB＝150°，
∴∠ACB＝37.5°，
∴此种情况不存在       
综上所述，当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或30°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
23、(1)，
(2)，
(3)；，
【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解；
（2）根据（1）的规律，得出，，解
【解析】(1)，
(2)，
(3)；，
【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解；
（2）根据（1）的规律，得出，，解出即可得出方程的解；
（3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解；首先对方程进行整理，得出，然后按照（1）中的规律，解出即可得出结果．
（1）
解：，．
故答案为：，
（2）
解：
∵，，
∴，；
（3）
解：；

整理，得：，
整理，得：，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律．
24、（1），；（2）；（3）①，②
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得
【解析】（1），；（2）；（3）①，②
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再根据a2+b2=17，即可得到ab=4；②设2020-a=x，a-2019=y，即可得到x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，即可得出xy==，进而得到=．
【详解】解：（1）图2大正方形的面积=，图2大正方形的面积=
故答案为：，；
（2）由题可得，，之间的等量关系为：故答案为：；
（3）①

②设2020-a=x，a-2019=y，则x+y=1，
∵，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴xy==-2，
即．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
25、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答；
（2）画出图形，动点运动方向有两种情况，分情况根据列方程解答即可；
【详解】解：（1）
（2）当动点沿轴正
【解析】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答；
（2）画出图形，动点运动方向有两种情况，分情况根据列方程解答即可；
【详解】解：（1）

（2）当动点沿轴正方向运动时，如解图-2-1：

当动点沿轴负方向运动时，如解图-2-2：

（3）过作，连

在与

∴，

在与中

∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵
∴
∵
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造三角形是本题的关键．