初中数学培优教材勾股定理专题(附答案-全面、).doc

初中数学勾股定理培优教材初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理 定理内容：在RT中， 勾股定理的应用：在RT中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（ ） A、c- a=b B、c- b=a C、a- c=b D、 a+b= c（2）在直角三角形中，A=90，则下列各式中不成立的是（ ） A、BC- AB=AC B、BC- AC=AB C、AB+AC= BC D、AC+BC= AB2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25，16，求另一个半圆的面积。（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为 。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。（8）在RtABC中，C90，若AC6，BC8，则AB的长为（ ）A、6 B、8 C、10 D、12（9）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_。【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形-找出图形面积的表达式-恒等变形推出勾股定理。（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定理：3、运用勾股定理进行计算（重难点）（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？【基础检测】1、在RtABC中，C90，若AB13，BC5，则AC的长为（ ）A.5 B.12 C.13 D.182、已知RtABC中，C90，若cm，cm，则RtABC的面积为（）A . 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm23、若ABC中，C=90， （1）若a = 5，b=12，则c = ； （2）若a =6，c =10，则b = ； （3）若ab=34，c =10，则a= ，b= 。4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为。（不取近似值）5、一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3 : 4，求两直角边的长。6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？【培优突破】1、折叠问题（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A、4cm B、5cm C、6cm D、10cm（2） 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求线段EC的值2、运用勾股定理解决生活中的实际问题（3）如图，为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使ABC=90，并测得AC=20m，BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少?3、分类讨论（已知直角的两边，求第三边）（4）在ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为（ ）A、25 B、7 C、25或7 D、不能确定（5）已知3, 4，a是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则的值是多少？（6）在直角ABC中，AB=15， AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为多少？4、利用方程解题（7）如图，ABC中，C=90，D是BC上的一点，已知BD=7，AB=20，AD=15， 求AC的长.（8）如图，已知ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长。【培优训练】一、选择题1在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（） A、 B、 C、 D、2若三角形ABC中，A：B：C=2：1：1，a，b，c分别是A，B，C的对边，则下列等式中，成立的是（）Aa2+b2=c2Ba2=2c2Cc2=2a2Dc2=2b23 如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E若OD=8，OP=10，则PE的长为（）A、 5 B、6C、 7 D、84如图在直角ABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则ACE的周长为（）A、 16 B、15C、 14 D、135如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A、 1 B、C、 D、26已知ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对7如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（）A、 10 B、5 C、 D、8如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（）A、 B、C、 D、9张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（）mA30 B40 C50D7010如图在ABC中C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为（）A、18 B、32 C、28 D、2411如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法： x2+y2=49， xy = 2， 2xy+4=49， x+y=9 其中说法正确的是（）A、 B、 C、 D、二填空题（共2小题）12如图，等腰ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_cm13如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_14、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5 求线段EF的长。二、勾股定理的逆定理【知识点3】勾股定理的逆定理（1）如果的三边满足关系满足 ，则该为直角三角形 。 （2）的三边，假设c为最长边 ，则该为 三角形 ，则该为 三角形（3）勾股定理逆定理的用途典型题（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（） A、234 B、346 C、51213 D、467（3）下面的三角形中： ABC中，C=AB； ABC中，A：B：C=1：2：3； ABC中，a：b：c=3：4：5； ABC中，三边长分别为8，15，17 其中是直角三角形的个数有（ ）个 A1 B2 C3 D4（4）若三角形的三边之比为 ，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形（5） 已知a，b，c为ABC三边，且满足 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形（6）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形（7）若ABC的三边长分别长a,b,c，且满足 , 试判断ABC的形状。（8）ABC的两边分别为5, 12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。（9）求： 若三角形三条边的长分别是7, 24, 25，则这个三角形的最大内角是 度。 已知三角形三边的比为1：2，则其最小角为 。【知识点4】勾股数（1）勾股数是正整数（2）满足的关系条件（3）勾股数的n倍（n0），仍然满足（4）常见勾股数三、勾股定理的应用1、与图形展开的有关计算（注意展开方式）（1）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 （2）如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD的表面上，求从顶点A到顶点C的最短距离（3）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm（4）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 2、航海问题（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里（2）如图，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。（3）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km. 那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？3、网格问题（1）如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ） A0 B1 C2 D3（2）如图2，正方形网格中的 ABC， 若小方格边长为1，则ABC是 （ ） A.、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 （4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可） 4、折叠问题（1）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ） A. B. C. D. （2）如图所示，已知ABC中，C=90，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长（3）如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30，求折叠的AED的面积（4）如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。 试说明：AF=FC； 如果AB=3，BC=4，求AF的长（5）如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_（6）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点， 求证：DE：DM：EM=3：4：5勾股定理 参考答案一、探索勾股定理（1）C （2）D（3）没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。6或（4）根据非负数的性质，b=4和，解得a=3，根据勾股定理，斜边=5（5）这类型题目（分别以直角三角形三边所作的同类型图形，如正多边形、半圆等），均满足（如图中所示）S1=S2+S3，S3=9（6）25 （7）10， 12 （8）C，斜边AB=10（9）4，根据全等三角形和勾股定理，S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=1+3=4（10）， 结论： （11） 结论： （12）h=9+（13）10 m【基础检测】1、B2、A,解：,3、（1）13， （2）8， （3）6, 84、725、12,16解：根据题意，本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5，三边分别为3x, 4x, 5x，5x=206、作如下辅助图：BD=CE=10，AB=8， BC=2，AC=6 根据勾股定理：AD=6, AE=8 DE=AE-AD=8-6=2 m 【培优突破】（1）B（2）3 cm，注意翻折构造全等，勾股定理（3）12 m（4）C，如右图 （5）25或7，在没有确定直角或斜边的情况下，需要讨论确定斜边。（6）25 ，AB一定是直角边，想想：BC是否一定是斜边呢？BC边上的高为12，不是15，所以BC一定是斜边（7）12, 解：设DC=y，根据勾股定理有： ,即 解得：y=9AC=12（8）7, 解：作AEBC与E，设BD=X则AE=12DE=16-xDC=32-x如图，根据勾股定理有： 即 解得：x = 7【培优训练】1、A，三角形的面积计算2、B3、B, 4、A，5、C6、D，如右图，BC的长21或97、C 8、A 9、C 10、C11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明12、4 13、14、连接AD， 则BDEADF， 则ADECDF，则AE=CF=5，AF=BE=12，EF=13二、勾股定理的逆定理典型题答案 （1）D （2）C （3） D （4）C （5）C （6）C （7）直角三角形 解： 所以：a=6, b=8, c=10（8）直角三角形。分析：设三边分别为a,b,c，有a+b+c=5+12+c=17+c，根据条件有： 解得：c=13，所以根据勾股定理的逆定理，为Rt （9） 90，30三、勾股定理的应用1、与图形有关的计算 （1） （2） （3）5 （4）设：正方形的边长为a 方案一：S=3a 方案二：S=3a 方案三：S= 方案四：S=(1+)a ,分析： a ， ， , 所以：方案四最节省电线2、航海问题 （1）30 （2）CD= ，无暗礁风险 （3）台风中心经过16h从B点移动到D点14h内撤离才可脱离危险3、网格问题 （1）D（2）A （3）B （4）如图：不唯一 4、折叠问题（1）C （2）8 （3）DE=X,则在直角EFC中：FG=1，EF=X, EC=5-X，有：解得：x=, SAED=16.9（4）提示：角平分线+平行线，构造等腰模型设AF=X，则,解得：x=25/8（5）30 （6）证明提示： 设：DM=X, DE=y，则：正方形边长为2x，AE=2xy，满足：,解得：3x=4y.， 则可设：y=3k，x=4x，则正方形变成为8k，则AE=5k，所以：DE:DM:EM=3K:4K:5K , 即：DE:DM:EM=3:4:5