1、一、选择题1对一组数的一次操作变换记为,定义其变换法则如下:,且规定(为大于的整数),如,则( )ABCD2若,|y|7,且,则x+y的值为()A4或10B4或10C4或10D4或103如图,数轴上点表示的数可能是( ) ABCD4已知,是数轴上三点,点是线段的中点,点,对应的实数分别为和,则点对应的实数是( )ABCD5已知,为两个连续的整数,且,则的值等于( )ABCD6已知n是正整数,并且n-1n,则n的值为()A7B8C9D107下列说法:所有无理数都能用数轴上的点表示;若一个数的平方根等于它本身,则这个数是0或1;任何实数都有立方根;的平方根是,其中正确的个数有( )A0个B1个C2
2、个D3个8如图,四个有理数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+p=0,则m,n,p,q四个有理数中,绝对值最大的一个是( )ApBqCmDn9按如图所示的运算程序,能使输出y值为1的是( )ABCD10有一个数阵排列如下: 则第行从左至右第个数为( )ABCD二、填空题11请先在草稿纸上计算下列四个式子的值:;,观察你计算的结果,用你发现的规律直接写出下面式子的值_12如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简|ab|+的结果是_13现定义一种新运算:对任意有理数a、b,都有ab=a2b,例如32=322=7,2(1)=_14用“”定义一种新运算:对于任意有
3、理数a和b,规定ab=例如:(-3)2= = 2从8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,中任选两个有理数做a,b(ab)的值,并计算ab,那么所有运算结果中的最大值是_15对于正整数n,定义其中表示n的首位数字末位数字的平方和例如:,规定,例如:,按此定义_16如图所示为一个按某种规律排列的数阵:根据数阵的规律,第7行倒数第二个数是_.17在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时,张红发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍,于是她假设:S=1+3+32+33+34+35+36+37+38, 然后在式的两边都乘以3,得:3S=3+32+
4、33+34+35+36+37+38+39,-得,3S-S=39-1,即2S=39-1, 所以S= 得出答案后,爱动脑筋的张红想:如果把“3”换成字母m(m0且m1),能否求出1+m+m2+m3+m4+m2016的值?如能求出,其正确答案是 _ 18已知,则的值是_;19若+(y+1)20,则(x+y)3_20材料:一般地,n个相同因数a相乘:记为如,此时3叫做以2为底的8的对数,记为(即)那么_,_三、解答题21观察下列两个等式:,给出定义如下:我们称使等式成立的一对有理数为“白马有理数对”,记为,如:数对都是“白马有理数对”(1)数对中是“白马有理数对”的是_;(2)若是“白马有理数对”,求
5、的值;(3)若是“白马有理数对”,则是“白马有理数对”吗?请说明理由(4)请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_(注意:不能与题目中已有的“白马有理数对”重复)22对数运算是高中常用的一种重要运算,它的定义为:如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN,例如:32=9,则log39=2,其中a=10的对数叫做常用对数,此时log10N可记为lgN当a0,且a1,M0,N0时,loga(MN)=logaM+logaN(I)解方程:logx4=2;()log28= ()计算:(lg2)2+lg21g5+1g52018= (直接写答案)23探究与应用:观察下列
6、各式:1+3 21+3+5 21+3+5+7 21+3+5+7+9 2问题:(1)在横线上填上适当的数;(2)写出一个能反映此计算一般规律的式子;(3)根据规律计算:(1)+(3)+(5)+(7)+(2019)(结果用科学记数法表示)24规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b):如果,那么(a,b)=c例如:因为23=8,所以(2,8)=3(1)根据上述规定,填空:(3,27)=_,(5,1)=_,(2, )=_(2)小明在研究这种运算时发现一个现象:(3n,4n)=(3,4)小明给出了如下的证明:设(3n,4n)=x,则(3n)x=4n,即(3x)n=4n所以3x=4,即(3,4)=x,
7、所以(3n,4n)=(3,4)请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由:(4,5)+(4,6)=(4,30)25已知,在计算:的过程中,如果存在正整数,使得各个数位均不产生进位,那么称这样的正整数为“本位数”例如:2和30都是“本位数”,因为没有进位,没有进位;15和91都不是“本位数”,因为,个位产生进位,十位产生进位则根据上面给出的材料:(1)下列数中,如果是“本位数”请在后面的括号内打“”,如果不是“本位数”请在后面的括号内画“”106( );111( );400( );2015( )(2)在所有的四位数中,最大的“本位数”是 ,最小的“本位数”是 (3)在所有三位数中,“本位
8、数”一共有多少个?26阅读下列解题过程:为了求的值,可设,则,所以得,所以;仿照以上方法计算:(1) .(2)计算:(3)计算:27阅读材料,解答问题:如果一个四位自然数,十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差,个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和,则我们称这个四位数“依赖数”,例如,自然数2135,其中3221,522+1,所以2135是“依赖数”(1)请直接写出最小的四位依赖数;(2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3,这样的数叫做“特色数”,求所有特色数(3)已知一个大于1的正整数m可以分解成mpq+n4的形式(pq,nb,p,q,n均为正整数),在m的
9、所有表示结果中,当nqnp取得最小时,称“mpq+n4”是m的“最小分解”,此时规定:F(m),例:2014+2422+24119+14,因为1191124212222,所以F(20)1,求所有“特色数”的F(m)的最大值28阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,而2于是可用来表示的小数部分.请解答下列问题:(1)的整数部分是_,小数部分是_;(2)如果的小数部分为的整数部分为求的值;(3)已知:其中是整数,且求的平方根29定义:对任意一个两位数,如果满足个位数字与十位数字互不相同,且都不为零,那么称这个两位数为“奇异数”将一
10、个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,把这个新两位数与原两位数的和与的商记为例如:,对调个位数字与十位数字后得到新两位数是,新两位数与原两位数的和为,和与的商为,所以根据以上定义,完成下列问题:(1)填空:下列两位数:,中,“奇异数”有 .计算: . .(2)如果一个“奇异数”的十位数字是,个位数字是,且请求出这个“奇异数”(3)如果一个“奇异数”的十位数字是,个位数字是,且满足,请直接写出满足条件的的值30阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用来表示的小数部分,事实上,小明的表示方法是有道理的,因
11、为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是的小数部分,又例如:,即,的整数部分为2,小数部分为。请解答(1)的整数部分是_,小数部分是_。(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值。(3)已知x是的整数部分,y是其小数部分,直接写出的值.【参考答案】*试卷处理标记,请不要删除一、选择题1D解析:D【详解】因为,,所以,所以,故选D.2B解析:B【分析】先根据平方根、绝对值运算求出的值,再代入求值即可得【详解】解:由得:,由得:,或,则或,故选:B【点睛】本题考查了平方根、绝对值等知识点,熟练掌握各运算法则是解题关键3D解析:D【分析】先对四个选项中的无理数进行估算,再根据P点的位置
12、即可得出结果【详解】解:12,=2,34,23, 根据点P在数轴上的位置可知:点P表示的数可能是, 故选D【点睛】本题主要考查了无理数的估算,能够正确估算出无理数的范围是解决本题的关键4D解析:D【分析】由为中点,得到,求出的长,即为的长,从而确定出对应的实数即可【详解】解:如图:根据题意得:,则点对应的实数是,故选:D【点睛】此题考查了实数与数轴,弄清数轴上两点间的距离表示方法是解本题的关键5B解析:B【分析】先估算出的取值范围,利用“夹逼法”求得a、b的值,然后代入求值即可【详解】解:161825,45a,b为两个连续的整数,且ab,a=4,b=5,故选:B【点睛】本题考查了估算无理数的大
13、小,熟知估算无理数的大小要用逼近法是解答此题的关键6C解析:C【分析】根据实数的大小关系比较,得到56,从而得到3+的范围,就可以求出n的值【详解】解:,即56,83+9,n=9故选:C【点睛】本题考查实数的大小关系,解题的关键是能够确定的范围7C解析:C【分析】分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可【详解】解:所有无理数都能用数轴上的点表示,故正确;若一个数的平方根等于它本身,则这个数是0,故错误;任何实数都有立方根,说法正确;的平方根是,故说法错误;故其中正确的个数有:2个故选:C【点睛】本题考查的是实数,需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点8B解析:B【分析】根据n+
14、p=0可以得到n和p互为相反数,原点在线段PN的中点处,从而可以得到绝对值最大的数【详解】解:n+p=0,n和p互为相反数,原点在线段PN的中点处,绝对值最大的一个是Q点对应的q故选B【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值解题的关键是明确数轴的特点9D解析:D【分析】逐项代入,寻找正确答案即可.【详解】解:A选项满足mn,则y=2m+1=3; B选项不满足mn,则y=2n-1=-1; C选项满足mn,则y=2m-1=3; D选项不满足mn,则y=2n-1=1; 故答案为D;【点睛】本题考查了根据条件代数式求值问题,解答的关键在于根据条件正确的所代入代数式及代入得值.10B解析:B【解析】试题解析
15、:寻找每行数之间的关系,抓住每行之间的公差成等差数列,便知第20行第一个数为210,而每行的公差为等差数列,则第20行第10个数为426,故选B.二、填空题11351【分析】先计算题干中四个简单式子,算出结果,找出规律,根据规律得出最后式子的的值【详解】=1=3=6=10发现规律:1+2+3+1+2+3=351故答案为:351【点解析:351【分析】先计算题干中四个简单式子,算出结果,找出规律,根据规律得出最后式子的的值【详解】=1=3=6=10发现规律:1+2+3+1+2+3=351故答案为:351【点睛】本题考查找规律,解题关键是先计算题干中的4个简单算式,得出规律后再进行复杂算式的求解1
16、22b【详解】由题意得:ba0,然后可知a-b0,a+b0,因此可得|ab|+=ab+(a+b)=abab=2b故答案为2b点睛:本题主要考查了二次根式和绝对解析:2b【详解】由题意得:ba0,然后可知a-b0,a+b0,因此可得|ab|+=ab+(a+b)=abab=2b故答案为2b点睛:本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简特别因为ab都是数轴上的实数,注意符号的变换135【解析】利用题中的新定义可得:2(1)=4(1)=4+1=5.故答案为:5点睛:此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键解析:5【解析】利用题中的新定义可得:2(1)=4(1)=4+1=5.故答案为
17、:5点睛:此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键148【解析】解:当ab时,ab= =a,a最大为8;当ab时,ab=b,b最大为8,故答案为:8点睛:此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键解析:8【解析】解:当ab时,ab= =a,a最大为8;当ab时,ab=b,b最大为8,故答案为:8点睛:此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键15145【分析】根据题意分别求出F1(4)到F8(4),通过计算发现,F1(4)=F8(4),然后根据所得的规律即可求解【详解】解:F1(4)=16,F2(4)=F(16)=37,F3(4解析:145【分
18、析】根据题意分别求出F1(4)到F8(4),通过计算发现,F1(4)=F8(4),然后根据所得的规律即可求解【详解】解:F1(4)=16,F2(4)=F(16)=37,F3(4)=F(37)=58,F4(4)=F(58)=89,F5(4)=F(89)=145,F6(4)=F(145)=26,F7(4)=F(26)=40,F8(4)=F(40)=16,通过计算发现,F1(4)=F8(4),;故答案为:145【点睛】本题考查了有理数的乘方,新定义运算,能准确理解定义,多计算一些数字,进而确定循环规律是解题关键16【分析】观察数阵中每个平方根下数字的规律特征,依据规律推断所求数字.【详解】观察可知,
19、整个数阵从每一行左起第一个数开始,从左到右,从上到下,是连续的正整数的平方根,而每一行的个数依次为2、4解析:【分析】观察数阵中每个平方根下数字的规律特征,依据规律推断所求数字.【详解】观察可知,整个数阵从每一行左起第一个数开始,从左到右,从上到下,是连续的正整数的平方根,而每一行的个数依次为2、4、6、8、10则归纳可知,第7行最后一个数是,则第7行倒数第二个数是.【点睛】本题考查观察与归纳,要善于发现数列的规律性特征.17.【解析】试题分析:设S1mm2m3m4m2016,在式的两边都乘以m,得:mSmm2m3m4m2016m2017一得:解析:.【解析】试题分析:设S1mm2m3m4m2
20、016,在式的两边都乘以m,得:mSmm2m3m4m2016m2017一得:mSSm20171.S.考点:阅读理解题;规律探究题.1810【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a,b计算即可;【详解】,故答案是10【点睛】本题主要考查了代数式求值,结合二次根式的性质和绝对值的性质计算即可解析:10【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a,b计算即可;【详解】,故答案是10【点睛】本题主要考查了代数式求值,结合二次根式的性质和绝对值的性质计算即可190【分析】根据非负数的性质列式求出x、y,然后代入代数式进行计算即可得解【详解】解:+(y+1)20x10,y+10,解得x1,y1,所
21、以,(x+y)3(11)解析:0【分析】根据非负数的性质列式求出x、y,然后代入代数式进行计算即可得解【详解】解:+(y+1)20x10,y+10,解得x1,y1,所以,(x+y)3(11)30故答案为:0【点睛】本题考查了非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0203; 【分析】由可求出,由,可分别求出,继而可计算出结果【详解】解:(1)由题意可知:,则,(2)由题意可知:,则,故答案为:3;【点睛】本题主解析:3; 【分析】由可求出,由,可分别求出,继而可计算出结果【详解】解:(1)由题意可知:,则,(2)由题意可知:,则,故答案为:3;【点睛】本
22、题主要考查定义新运算,读懂题意,掌握运算方法是解题关键三、解答题21(1);(2)2;(3)不是;(4)(6,)【分析】(1)根据“白马有理数对”的定义,把数对分别代入计算即可判断;(2)根据“白马有理数对”的定义,构建方程即可解决问题;(3)根据“白马有理数对”的定义即可判断;(4)根据“白马有理数对”的定义即可解决问题【详解】(1)-2+1=-1,而-21-1=-3,-2+1-3,(-2,1)不是“白马有理数对”,5+=,5-1=,5+=5-1,是“白马有理数对”,故答案为:;(2)若是“白马有理数对”,则a+3=3a-1,解得:a=2,故答案为:2;(3)若是“白马有理数对”,则m+n=
23、mn-1,那么-n+(-m)=-(m+n)=-(mn-1)=-mn+1,-mn+1 mn-1(-n,-m)不是“白马有理数对”,故答案为:不是;(4)取m=6,则6+x=6x-1,x=,(6,)是“白马有理数对”,故答案为:(6,)【点睛】本题考查了“白马有理数对”的定义,有理数的加减运算,一次方程的列式求解,理解“白马有理数对”的定义是解题的关键22(I) x=2;() 3; () -2017.【分析】(I)根据对数的定义,得出x2=4,求解即可;()根据对数的定义求解即;()根据loga(MN)=logaM+logaN求解即可【详解】(I)解:logx4=2,x2=4,x=2或x=-2(舍
24、去)()解:8=23,log28=3,故答案为3; ()解:(lg2)2+lg21g5+1g52018= lg2( lg2+1g5) +1g52018= lg2 +1g52018=1-2018=-2017故答案为-2017.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法,有理数的乘方,是一道关于新定义运算的题目,解答本题的关键是理解给出的对数的定义23(1)2、3、4、5;(2)第n个等式为1+3+5+7+(2n+1)n2;(3)1.008016106【分析】(1) 根据从1开始连续n各奇数的和等于奇数的个数的平方即可得到.(2) 根据规律写出即可.(3) 先提取符号,再用规律解题.【详解】解:(1)1+
25、3221+3+5321+3+5+7421+3+5+7+952故答案为:2、3、4、5;(2)第n个等式为1+3+5+7+(2n+1) (3)原式(1+3+5+7+9+2019)101021.0201106【点睛】本题考查数字变化规律,解题的关键是找到第一个的规律,然后加以运用即可.24(1)3,0,-2 (2) (4,30)【解析】分析:(1)根据阅读材料,应用规定的运算方式计算即可;(2)应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.详解:(1)33=27(3,27)=350=1(5,1)=12-2= (2,)=-2(2)设(4,5)=x,(4,6)=y则,=6(4,30)=x+y (4,5
26、)+(4,6)=(4,30) 点睛:此题是一个规定计算的应用型的题目,关键是灵活应用规定的关系式计算,熟练记忆幂的相关性质.25(1),;(2)3332;1000;(3)(个)【分析】(1)根据“本位数”的定义即可判断;(2)要想保证不进位,千位、百位、十位最大只能是3,个位最大只能是2,故最大的四位“本位数”是3332;千位最小为1,百位、十位、个位最小为0,故最小的“本位数”是1000;(3)要想构成“本位数”,百位可以为1,2,3,十位可以为0,1,2,3,个位可以为0,1,2,所有的三位数中,“本位数”一共有(个)【详解】解:(1)有进位;没有进位;有进位;有进位;故答案为:,(2)要
27、想保证不进位,千位、百位、十位最大只能是3,个位最大只能是2,故最大的四位“本位数”是3332;千位最小为1,百位、十位、个位最小为0,故最小的“本位数”是1000,故答案为:3332,1000(3)要想构成“本位数”,百位可以为1,2,3,十位可以为0,1,2,3,个位可以为0,1,2,所有的三位数中,“本位数”一共有(个)【点睛】本题考查了新定义计算题,准确理解新定义的内涵是解题的关键26(1);(2);(3).【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可【详解】解:(1)根据得:(2)设,则,即:(3)设,则,即:同理可求【点睛】此题考查了规律型:数字的变化类,弄清题中的规律是解本题的关键2
28、7(1)1022;(2)3066,2226;(3)【分析】(1)由于千位不能为0,最小只能取1;根据题目得出相应的公式:十位2千位百位,个位2千位+百位,分别求出十位和个位,即可求出最小的四位依赖数;(2)设千位数字是x,百位数字是y,根据“依赖数”定义,则有:十位数字是(2xy),个位数字是(2x+y),依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式,然后求出x、y即可,从而求出所有特色数;(3)根据最小分解的定义可知: n越小,p、q越接近,nqnp才越小,才是最小分解,此时F(m),故将(2)中特色数分解,找到最小分解,然后将n、p、q的值代入F(m),再比较大小即可.【详解】解:(1)
29、由题意可知:千位一定是1,百位取0,十位上的数字为:210=2,个位上的数字为:210=2则最小的四位依赖数是1022;(2)设千位数字是x,百位数字是y,根据“依赖数”定义,则有:十位数字是(2xy),个位数字是(2x+y),根据题意得:100y+10(2xy)+2x+y3y88y+22x21(4y+x)+(4y+x),21(4y+x)+(4y+x)被7除余3,4y+x3+7k,(k是非负整数)此方程的一位整数解为:x=4,y=5(此时2x+y10,故舍去);x3,y7(此时2xy0,故舍去);x3,y0;x2,y2;x1,y4(此时2xy0,故舍去);特色数是3066,2226(3)根据最
30、小分解的定义可知: n越小,p、q越接近,nqnp才越小,才是最小分解,此时F(m),由(2)可知:特色数有3066和2226两个,对于30666135+14=6150+24161315261250,3066取最小分解时:n=2,p=50,q=61F(3066)对于22268925+146534+24,189125265234,2226取最小分解时:n=2,p=34,q=65F(2226)故所有“特色数”的F(m)的最大值为:【点睛】此题考查的是新定义类问题,理解题意,并根据新定义解决问题是解决此题的关键.28(1) 4,-4;(2)1;(2) 12【分析】(1)先估算出的范围,即可得出答案;
31、(2)先估算出、的范围,求出a、b的值,再代入求出即可;(3)先估算出的范围,求出x、y的值,再代入求出即可【详解】解:(1)45,的整数部分是4,小数部分是-4,故答案为4,-4;(2)23,a=-2,34,b=3,a+b-=-2+3-=1;(3)100110121,1011,110100+111,100+=x+y,其中x是整数,且0y1,x=110,y=100+-110=-10,x+24-y=110+24-+10=144,x+24-y的平方根是12【点睛】本题考查了估算无理数的大小,能估算出、的范围是解此题的关键29(1),;(2);(3)【分析】(1)由“奇异数”的定义可得;根据定义计算
32、可得;(2)由f(10m+n)=m+n,可求k的值,即可求b;(3)根据题意可列出等式,可求出x、y的值,即可求的值.【详解】解:(1)对任意一个两位数a,如果a满足个位数字与十位数字互不相同,且都不为零,那么称这个两位数为“奇异数”“奇异数”为21;f(15)=(15+51)11=6,f(10m+n)=(10m+n+10n+m)11=m+n;(2)f(10m+n)=m+n,且f(b)=8k+2k-1=8k=3b=103+23-1=35;(3)根据题意有 x、y为正数,且xyx=6,y=5a=610+5=65故答案为:(1),;(2);(3)【点睛】本题考查了新定义下的实数运算,能理解“奇异数”定义是本题的关键30(1)3;3; (2)4;(3)xy=7【分析】(1)由34可得答案;(2)由23知a=2,由67知b=6,据此求解可得;(3)由23知53+6,据此得出x、y的值代入计算可得【详解】(1)34,的整数部分是3,小数部分是3;故答案为3;3(2)23,a=2,67,b=6,a+b=2+6=4(3)23,53+6,3+的整数部分为x=5,小数部分为y=3+5=2则xy=5(2)=5+2=7【点睛】本题考查了估算无理数的大小,解决本题的关键是熟记估算无理数的大小