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中学自主招生数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分.
1．（4分）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C．0 D．1
2．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数
B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下
C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3
D．太阳每天从东方升起
4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（ ）
A．4×108 B．4×10﹣8 C．0.4×108 D．﹣4×108
5．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x＞0
6．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．55°
7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
8．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
10．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝ ．
12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝ ．
13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是 ．
14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是 万步．
15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是 ．
三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；
18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．
19．（8分）如图，已知△ABC．
（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．
（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．
20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．
（1）求a，b的值；
（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．
（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：
①小杰共调查统计了 人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是 ；
（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．
23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．
24．（13分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点O是边AB上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC交于点M．
（1）如图1，当⊙O经过点C时，⊙O的直径是 ；
（2）如图2，当⊙O与边BC相切时，切点为点N，试求⊙O与△ABC重合部分的面积；
（3）如图3，当⊙O与边BC相交时，交点为E、F，设CM＝x，就判断AE•AF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含x的代数式表示．
25．（13分）矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO，得到矩形AFED．
（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长；
（2）如图2，当a＝3时，矩形AFEO的对角线A任交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE．若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式．
（3）如图3，当a＝4时，矩形ABCD的对称中心为点M，△MED的面积为s，求s的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分.
1．（4分）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C．0 D．1
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，符合题意；
B、球体的主视图为圆，不合题意；
C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；
D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数
B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下
C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3
D．太阳每天从东方升起
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数，属于随机事件；
B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下，属于随机事件；
C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3，属于随机事件；
D．太阳每天从东方升起，属于必然事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（ ）
A．4×108 B．4×10﹣8 C．0.4×108 D．﹣4×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000 000 04＝4×10﹣8，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x＞0
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥0且x≠3．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．55°
【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠4＝∠2＝55°，
又∵∠4＝∠1+∠3，
∴∠3＝∠4﹣∠1＝55°﹣30°＝25°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac＝0即可求解
【解答】解：
依题意，方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根
∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8a＝0，得a＝2
故选：D．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
8．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解答】解：∵将直线l：y＝3x﹣1平移后，得到直线：y＝3x+1，
∴3x﹣1+a＝3x+1，
解得：a＝2，
故将l向上平移2个单位长度．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1＝5，
解得：h＝5或h＝1（舍）；
③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为﹣1或5，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
10．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a，可求CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，由“SAS”可证△ABE≌△ECF，可得AE＝EF，∠1＝∠FEC，可求∠EAF＝45°，即可求cos（∠1+∠2）的值．
【解答】解：连接EF
∵矩形ABCD长与宽的比为5：3，
∴设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a，
∵tan∠1＝＝，tan∠2＝＝，
∴BE＝2a，DF＝a，
∴CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，且∠B＝∠C＝90°
∴△ABE≌△ECF（SAS）
∴AE＝EF，∠1＝∠FEC
∵∠1+∠AEB＝90°
∴∠AEB+∠FEC＝90°
∴∠AEF＝90°，且AE＝EF
∴∠EAF＝45°
∴∠1+∠2＝45°
∴cos（∠1+∠2）＝
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，证明△ABE≌△ECF是本题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝ 4 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝ ﹣2 ．
【分析】已知第一个等于左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，且a﹣b＝﹣4，
∴a+b＝﹣2，
故答案为：﹣2
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是 21 ．
【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，即＝，
解得，S△ABC＝25，
∴四边形DBCE的面积＝25﹣4＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是 1.4 万步．
【分析】根据众数的定义求解可得．
【解答】解：这组数据的众数是1.4万步，
故答案为：1.4．
【点评】本题考查的是众数的定义及其求法，牢记定义是关键．
15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是 7 ．
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到a的取值范围；不等式组变形后，根据不等式组无解，确定出a的范围，进而求出a的值，得到所有满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：分式方程去分母得：2a﹣4＝x﹣2
解得：x＝2a﹣2
由分式方程的解为正数，得到：2a﹣2＞0，2a﹣2≠2
∴a＞1且a≠2
不等式组整理得：
∵不等式组无解，
∴3﹣2a≥﹣5
∴a≤4
∴综上，a的范围为1＜a≤4且a≠2
∴整数a＝3，4
∴所有满足条件的整数a的值之和是7
故答案为：7
【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解题时注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是 ．
【分析】连接EC，由∠COE＝90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径，求出OE和OC，根据勾股定理求出EC，解直角三角形求出即可．
【解答】解：过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，
∵∠COE＝90°，
∴EC是⊙A的直径，即EC过O，
∵A（﹣2，1），
∴OM＝2，ON＝1，
∵AM⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴AM∥OC，
同理AN∥OE，
∴N为OC中点，M为OE中点，
∴OE＝2AN＝4，OC＝2AM＝2，
由勾股定理得：EC＝＝2，
∵∠OBC＝∠OEC，
∴sin∠OBC＝sin∠OEC＝＝＝．
故答案为．
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．
三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），
8﹣x+3≤2x+2
﹣3x≤﹣9
∴原不等式的解集为：x≥3，
在数轴上表示不等式的解集：
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当a＝4时，原式＝＝4．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（8分）如图，已知△ABC．
（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．
（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC；
（2）利用“ASA”证明△ACD≌△AED得到AC＝AE．
【解答】解：（1）如图，AD为求作；
（2）如图，∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中
，
∴△ACD≌△AED （ASA），
∴AC＝AE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定与性质．
20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？
【分析】设有x人，物品价值y元，根据题意可得，8×人数﹣3＝物品价值，7×人数+4＝物品价值，据此列方程组求解．
【解答】解：设共有x人，每件物品的价格为y元，依题意得：
解得
答：共有7人，每件物品的价格为53元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．
（1）求a，b的值；
（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）将A、B点坐标代入y1＝﹣x+2即可求得a、b的值；
（2）根据解得A、B的坐标，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（﹣3．a）和B（b，﹣2）代入y1＝﹣x+2得，
a＝﹣×（﹣3）+2＝4，
﹣2＝﹣b+2，
则b＝6；
（2）∵A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞6．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．
22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．
（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：
①小杰共调查统计了 160 人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是 45° ；
（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．
【分析】（1）①用参与B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
②用总人数乘以参加A项目的人数的百分比得到参与A项目的人数，然后补全条形统计图；
③用360度乘参与C项目的百分比得到以图2中C所占的圆心角的度数；
（2）画树状图展示9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个选择“A”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）①40÷25%＝160，所以小杰共调查统计了160人；
②参加A项目的人数为160×62.5%＝100（人），
图1补充完整为：
③图2中C所占的圆心角的度数＝360°×＝45°；
故答案为160；45°；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个选择“A”的结果数为5，
所以两人中至少有一个选择“A”的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．
【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）利用tan∠MCP＝tan∠QPF，则，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣（﹣1﹣2）2+b，
解得：b＝9；
（2）过点C作CM⊥EF，垂足为M，
∴∠CMP＝∠CPQ＝∠PFQ＝90°
∴∠MCP＝∠QPF，
∴tan∠MCP＝tan∠QPF，
∴，
∴n＝m2﹣m+2＝（m﹣）2﹣，
∵n＜2，∴0≤m＜5，
∴当时，n的最小值为﹣．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数最值、解直角三角形等知识，难度不大．
24．（13分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点O是边AB上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC交于点M．
（1）如图1，当⊙O经过点C时，⊙O的直径是 4 ；
（2）如图2，当⊙O与边BC相切时，切点为点N，试求⊙O与△ABC重合部分的面积；
（3）如图3，当⊙O与边BC相交时，交点为E、F，设CM＝x，就判断AE•AF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含x的代数式表示．
【分析】（1）由AB是圆的直径知∠C＝90°，再根据勾股定理求解可得；
（2）连结ON，OM，先证tan∠B＝＝知∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，设ON＝OA＝r，证△OBN∽△ABC得＝，据此求出r的值，再计算出2S扇形MON和S△AOM，从而得出答案；
（3）设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，证△AGE∽△AFC得＝，由AC＝2，CM＝x知AM＝2﹣x，再证∠AOM＝60°得OA＝AM＝2﹣x，AG＝2AO＝4﹣2x，从而知AE•AF＝AC•AG＝8﹣4x，据此得出答案．
【解答】解：（1）∵AB是圆的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝2，BC＝2，
∴AB＝4故答案为4；
（2）如图2，连结ON，OM，
∵⊙O与边BC相切于点N，
∴ON⊥BC
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，
∴tan∠B＝＝，
∴∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，
∵OA＝OM，
∴∠OMA＝∠A＝60°，
∴∠AOM＝60°，∠MON＝60°，
设ON＝OA＝r，
∵∠BNO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△OBN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得r＝，
∴2S扇形MON＝2×＝，
∵S△AOM＝×（）2＝，
∴⊙O与△ABC重合部分的面积是+．
（3）AE•AF不为定值，理由如下：
如图3，设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，
∵AG是⊙O的直径，
∴∠GEA＝90°＝∠C，
在圆内接四边形AGEF中，∠AGE+∠AFE＝180°，
∵∠AFC+∠AFE＝180°，
∴∠AGE＝∠AFC，
∴△AGE∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝2，CM＝x，
∴AM＝2﹣x，
∵∠OMA＝∠OAM＝60°，
∴∠AOM＝60°，
∴OA＝AM＝2﹣x，
AG＝2AO＝4﹣2x，
∴AE•AF＝AC•AG＝8﹣4x，
∵x不是定值
∴AE•AF不是定值．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、勾股定理、三角函数的运用、相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识点．
25．（13分）矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO，得到矩形AFED．
（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长；
（2）如图2，当a＝3时，矩形AFEO的对角线A任交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE．若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式．
（3）如图3，当a＝4时，矩形ABCD的对称中心为点M，△MED的面积为s，求s的取值范围．
【分析】（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，即可求解；
（2）分CG＝EG、CE＝GE、CE＝CG三种情况分别求解；
（3）MN≤MA+AD，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，
在矩形ABCO中，∠B＝90°
当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，
∵C（0，3），A（a，0）
∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，
∴BD＝；
（2）如图2，连结AC，
∵a＝3，∴OA＝OC＝3，
∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，
设∠ECG的度数为x，
∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，
①当CG＝EG时，x＝45°+x，
解得x＝0，不合题意，舍去；
②当CE＝GE时，如图2，
∠ECG＝∠EGC＝x
∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，
∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，
∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；
③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，
∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，
∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，
∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°
如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，
∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，
∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°
∴四边形EHQB是矩形
∴BE∥AC，
设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，
∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；
（3）如图4，
∵a＝4，点M是矩形ABCO的对称中心
∴AO＝4，AM＝，
以A为圆心，分别以AO、AM为半径作圆，AD交小圆于P，
过M作MN⊥ED于N
∴DE切大圆于D
∴MN≥PD
根据“垂线段最短”，MN≤MA+AD，
如图5，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，
∴s的最大值是ED×（MA+AD）＝；
如图6，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，
MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，
∴s的最小值是ED×PD＝，
s的取值范围是．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列各组数中结果相同的是（ ）
A. 32与23 B. |-3|3与(-3)3 C. (-3)2与-32 D. (-3)3与-33
2. 据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.442×107 B. 0.1442×107 C. 1.442×108 D. 0.1442×108
3. 下列计算中，错误的是（ ）
A. 5a3-a3=4a3 B. (-a)2⋅a3=a5
C. (a-b)3⋅(b-a)2=(a-b)5 D. 2m⋅3n=6m+n
4. 下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 某班班长统计去年1-8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数是58 B. 众数是42
C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月
6. 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
7. 下列命题错误的是（ ）
A. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B. 矩形一定有外接圆
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. 24+123 B. 16+123 C. 24+63 D. 16+63
9. 在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）
A. 12 B. 14 C. 38 D. 58
10. 运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A. 152 B. 43 C. 215 D. 55
12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=45；④S四边形ECFG=2S△BGE．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 分解因式：4ax2-ay2=______．
14. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx上，且OA⊥OB，cosA=33，则k的值为______．
16. 如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17. 先化简，再求值：（2aa2-1-1a+1）÷a+2a2-a，其中a=5．
18. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
19. 计算：8+3tan30°+|1-2|-（-12）-2．
20. 将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）．A组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．
（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？
（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？
（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．
21. 某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？
22. 如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，323），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，
（1）⊙P的半径为______；
（2）求证：EF为⊙P的切线；
（3）若点H是CD 上一动点，连接OH、FH，当点P在PD 上运动时，试探究OHFH是否为定值？若为定值，求其值；若不是
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