武汉外国语学校八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案.doc

武汉外国语学校八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题
1．(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
①请直接写出∠AEB的度数为_____；
②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2， △ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同－直线上， CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

2．如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且．

（1）如图1，过点作交于点，求证：；
（2）如图2，连结交于点，若，，求证：点为中点．
（3）当点在射线上，连结与直线交于点，若，，则______．（直接写出结果）
3．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．
4．直角三角形中，，直线过点．

（1）当时，如图1，分别过点和作直线于点，直线于点，与是否全等，并说明理由；

（2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，点是上一点，点是上一点，分别过点作直线于点，直线于点，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒，当为等腰直角三角形时，求的值．
5．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．

6．（1）填空

①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是_______．
（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上左侧，且，求的度数；
②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线右侧，且，求的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，，为折痕，设，，，求，，之间的数量关系．
7．在△ABC中，已知∠A＝α．

（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC度数＝　 　度（直接写出结果）；
②∠BDC的度数为　 　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
8．如图，在等边中，线段为边上的中线．动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结．
（1）求的度数；
（2）若点在线段上时，求证：；
（3）当动点在直线上时，设直线与直线的交点为，试判断是否为定值？并说明理由．

9．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．
（1）求证：∠ACN=∠AMC；
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：；
（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）

10．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．

11．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．
（1）已知．
①求的值；
②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；
（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式．
学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐为，点的坐标为，在中，轴交轴于点．

（1）求和的度数；
（2）如图，在图的基础上，以点为一锐角顶点作，，交于点，求证：；
（3）在第（）问的条件下，若点的标为，求四边形的面积．
13．已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，，的平分线相交于点K．
（1）求的度数；
（2）如图2，，的平分线相交于点，问与的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；
（3）在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请用含的n式子表示的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）

14．已知，如图1，直线l2⊥l1，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作l3⊥l1，点E在直线l3上，点D的下方．
（1）l2与l3的位置关系是　 　；
（2）如图1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，则∠CED＝　 　°，∠ADC＝　 　°；
（3）如图2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G．试说明：∠DGF＝∠DFG；
（4）如图3，若∠DBE＝∠DEB，点C在射线AM上运动，∠BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索∠N:∠BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．

15．探索发现：
……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝　 　，＝　 　；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用规律解方程：
16．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；

（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
17．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
18．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：．
（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点．
①求证：；
②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由．

19．已知在中，，点在上，边在上，在中，边在直线上，；
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，将沿射线的方向平移，当点在上时，求度数；
（3）将在直线上平移，当以为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出度数．

20．在中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为3倍角三角形．
（1）在中，，，则为________倍角三角形；
（2）若是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的，求的最小内角．
（3）若是2倍角三角形，且，请直接写出的最小内角的取值范围．

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一、压轴题

1．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
【详解】
（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
,
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE.
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE， ∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．
2．（1）见解析；（2）见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；

（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，，
故答案为：或.

【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（1）∠BPC＝122°；（2）∠BEC＝；（3）∠BQC＝90°﹣∠A，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】
解：（1）、分别平分和，
，，

，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）和分别是和的角平分线，
，，
又是的一外角，
，
，
是的一外角，
；
（3），，
，
，
，
结论：．

【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
【详解】
解：（1）△ACD与△CBE全等．
理由如下：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8-t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t，
点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，
当点N沿C→B路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t，
解得，t=5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形；
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
5．（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，

在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF，
∵BF＝2AF，
∴BF＝AD，
∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，
∴△BFC≌△ADB，
∴∠BFC＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥CF
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．

∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，
∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，
∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，
∴△ABK≌CAF，
∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，
∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，
∴AF＝FK＝BK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
6．，；，；，.
【解析】
【分析】
（1）①如图①知，得
可求出解.
②由图②知得可求出解.
（2）①由图③折叠知，可推出，即可求出解.
②由图④中折叠知，可推出，即可求出解.
（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，、，即可求得
、.
【详解】
解：（1）①如图①中，
，，
，
故答案为.
②如图②中，，
，
故答案为.
（2）①如图③中由折叠可知，
，
，
，
，
；
②如图④中根据折叠可知，
，
，
，
，
，
；
（3）如图⑤-1中，由折叠可知，，
；
如图⑤-2中，由折叠可知，，
.

【点睛】
本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
7．（1）（1）①125°；②，（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；
②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；
（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；
（3）由折叠的对称性得，结合（1）②的结论可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣70°）
＝125°
②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+α．
故答案分别为125°，90°+α．
（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE
∴，，
∴＝
即．
（3）由轴对称性质知：，
由（1）②可得，
∴．
【点睛】
本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．
8．（1）30°；（2）证明见解析；（3）是定值，.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；
（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．
【详解】
（1）是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
（2）与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中
，
；
（3）是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，
由（2）可知，则，
又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线
平分，即
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
，
同理可得：，
．
③当点在线段的延长线上时，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
，
同理可得：

，
∵，
．
综上，当动点在直线上时，是定值，．

【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；
（2）过点N作NE⊥AC于E，由“AAS”可证△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N作NE⊥AC于E，由“SAS”可证△NEA≌△CDP，可得AN=CP．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC；
（2）过点N作NE⊥AC于E，

∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN，
∴△NEC≌△CDM（AAS），
∴NE=CD，CE=DM；
∵S1AC•NE，S2AB•CD，
∴；
（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，
理由如下：过点N作NE⊥AC于E，

由（2）可得NE=CD，CE=DM．
∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，
∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，
∴AE=BD+BP=DP．
∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，
∴△NEA≌△CDP（SAS），
∴AN=PC．
【点睛】
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
10．（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．
【解析】
【分析】
（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．
（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．
②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．
【详解】
（1）补全图形，如图1所示

（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点
∵等边△ACD，AE⊥CD
∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短
故B,D之间直线最短，点P即为所求．

②证明：连接DE，DF．如图3所示

∵△ABC，△ADC是等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°
∵AE⊥CD
∴∠CAE＝∠CAD＝30°
∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°
∴∠CAE＝∠CEA
∴CA＝CE
∴CD垂直平分AE
∴DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA
∵EF⊥AF，∠EAF＝45°
∴∠FEA＝45°
∴∠FEA＝∠EAF
∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED
∴△FAD≌△FED（SAS）
∴∠AFD＝∠EFD
∴点D到AF，EF的距离相等．
【点睛】
本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．
11．（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n
【解析】
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得，
解得，
②由题意得，
解不等式①得p＞-1．
解不等式②得p≤，
∴-1＜p≤，
∵恰好有3个整数解，
∴2≤＜3．
∴42≤a＜54；
（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m=2n．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）通过“ASA”可证得△ODB≌△OAP，进而可得BO=OP；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQ⊥BC于Q，由“AAS”可证△OBM≌△OPF，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC的面积．
【详解】
（1）∵点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，-2），
∴OA=OD，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°；
（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，
∴∠BOD=∠AOP，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵∠OAD=∠ODA=45°，
∴∠ODB=135°=∠OAP，
在△ODB和△OAP中，
，
∴△ODB≌△OAP（ASA），
∴BO=OP；
（3）如图，过点P作PF⊥x轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQ⊥BC于Q，

∵BC∥x轴，AQ⊥BC，PF⊥x轴，
∴AQ⊥x轴，PN⊥BC，∠AOM=∠BMO=90°，
∴点Q横坐标为2，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AQ⊥BC，
∴BQ=QC，
∵点B的标为（-2，-4），
∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC，
∵PF⊥x轴，
∴∠OFP=∠OMB=90°，
在△OBM和△OPF中，
，
∴△OBM≌△OPF（AAS），
∴PF=BM=2，OF=OM=4，
∵BC∥x轴，AQ⊥x轴，NF⊥x轴，
∴OM=AQ=FN=4，
∴PN=2，
∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠CPN=45°，
∴CN=PN=2，
∵四边形BOPC的面积=S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC，
∴四边形BOPC的面积=×2×4+×4×（2+4）+×2×2=18．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
13．（1）；（2），证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1） 过 作KG∥AB，交 于 ，证出∥KG，得到，，根据角平分线的性质及平行线的性质得到，即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质得到，，根据求出，根据求出答案；
（3）根据（2）得到规律解答即可.
【详解】
（1） 过 作KG∥AB，交 于 ，

∵ ，
∴∥KG，
，，
，分别为与的平分线，
，，
∵，
，
，
，则 ；
（2） ，
理由为：
，的平分线相交于点，
，，
，即 ，
，
，
，
；
（3）由（2）知；

同理可得=，
∴.
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.
14．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）直线l2⊥l1，l3⊥l1，
∴l2∥l3，
即l2与l3的位置关系是互相平行，
故答案为：互相平行；
（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，
∵∠BCD＝70°，
∴∠DCE＝35°，
∵l2∥l3，
∴∠CED＝∠DCE＝35°，
∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；
故答案为：35，20；
（3）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BCF+∠AGC＝90°，
∵CD⊥BD，
∴∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠AGC＝∠CFD，
∵∠AGC＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠DFG；
（4）∠N:∠BCD的值不会变化，等于；理由如下：
∵l2∥l3，
∴∠BED＝∠EBH，
∵∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBE＝∠EBH，
∴∠DBH＝2∠DBE，
∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，
∵∠N+∠BDN＝∠DBE，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，
∵DN平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠BDN，
∴∠BCD＝2∠N，
∴∠N:∠BCD＝．
【点睛】
本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．
15．（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】
解：（1）， ；
故答案为
（2）原式＝ ;
（3）已知等式整理得：
所以，原方程即： ，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
16．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；
（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；
（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；
（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．
【详解】
解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．

（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．

（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．

17．（1）2；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解．
【详解】
（1）由题意知，
故答案为2；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：

FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，
∠FNK=∠FGH=90°，，
FH=FK，
又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，
，
MK=FN=2cm，
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．
18．（1）详见解析；（2）①详见解析；②，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD，判断出（SAS），即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出（SAS），（SAS），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一点M，使PM=PC，证明是等边三角形， 进而判断出（SAS），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∴（SAS），
∴BE=AD；
（2）①证明：∵和是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴（SAS），
∴AD=BE，
同理：（SAS），
∴AD=CF，
即AD=BE=CF；
②解：结论：PB+PC+PD=BE，
理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，
由①知，，
∴∠CAD=∠CBE，
在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BQP=120°，
在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，
∴∠DPE=60°，
同理：∠APC=60°，
∠CPD=120°，
在PE上取一点M，使PM=PC，
∴是等边三角形，
∴，∠PCM=∠CMP=60°，
∴∠CME=120°=∠CPD，
∵是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，
∴∠PCD=∠MCE，
∴（SAS），
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．

【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
19．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【解析】
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论；
（3）分和两种情况求解即可得出结论．
【详解】
解：（1），
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，
，
；
（3）当时，如图3，
由（1）知，，
；

当时，如图4，
，
点，重合，
，
，
由（1）知，，
，
即当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．

【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出是解本题的关键．
20．（1）4；（2）的最小内角为15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．
【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据倍角三角