新高中数学多选题专项训练100附答案.doc

新高中数学多选题专项训练100附答案

一、数列多选题
1．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（ ）
A．
B．且
C．
D．
答案：BC
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然，，，，，所以且，即B满足条件；
由，
所以
所以数列
解析：BC
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然，，，，，所以且，即B满足条件；
由，
所以
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
所以，
令，则，
所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
即C满足条件；
故选：BC
【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
2．已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为
C．数列为递增数列 D．数列为递增数列
答案：ABC
【分析】
数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．
【详解】
数列的前项和为，且满足，，
∴，化为：，
∴数列是等差数列，公差为4，
∴，可得
解析：ABC
【分析】
数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．
【详解】
数列的前项和为，且满足，，
∴，化为：，
∴数列是等差数列，公差为4，
∴，可得，
∴时，，
，
对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
3．等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若， 则 D．若则.
答案：BC
【分析】
根据等差数列的前项和性质判断．
【详解】
A错：；B对：对称轴为7；
C对：，又，；
D错：，但不能得出是否为负，因此不一定有．
故选：BC．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列
解析：BC
【分析】
根据等差数列的前项和性质判断．
【详解】
A错：；B对：对称轴为7；
C对：，又，；
D错：，但不能得出是否为负，因此不一定有．
故选：BC．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前项和性质，（1）是关于的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2），可由的正负确定与的大小；（3），因此可由的正负确定的正负．
4．等差数列的前n项和记为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时，
答案：AB
【分析】
根据等差数列的性质及可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中，
所以，
又，
所以，
所以，，故AB正确，C错误；
因为，故D错误，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由
解析：AB
【分析】
根据等差数列的性质及可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中，
所以，
又，
所以，
所以，，故AB正确，C错误；
因为，故D错误，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.
5．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
答案：BD
【分析】
设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A错误；
而C选项，，即，可得，
解析：BD
【分析】
设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A错误；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
6．（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
答案：BCD
【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】
对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正
解析：BCD
【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】
对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.
【点睛】
本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.
7．定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C． D．，，成等差数列
答案：AC
【分析】
由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.
【详解】
解：由，
得，
所以时，，
得时，，
即时，，
当时，由
解析：AC
【分析】
由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.
【详解】
解：由，
得，
所以时，，
得时，，
即时，，
当时，由知，满足．
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错，
所以，所以，故C正确．
，，，故D错，
故选：AC．
【点睛】
本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般.
8．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列的前n项和
C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列
答案：ABD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
解析：ABD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
数列的前n项和，故B正确.
对选项C，因为，所以，故C错误.
对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.
9．记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：AC
【分析】
由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式
【详解】
由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，.
故选：AC.
【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力.
解析：AC
【分析】
由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式
【详解】
由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，.
故选：AC.
【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力.
10．下列命题正确的是（ ）
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列的公差，则是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
答案：BCD
【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误.
【详解】
A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；
C选项：时，是等差数列，而a = 1，
解析：BCD
【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误.
【详解】
A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；
C选项：时，是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；
D选项：数列是等差数列公差为，所以也是等差数列；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.
11．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（ ）
A． B． C． D．
答案：BD
【分析】
由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】
因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.
故选：BD.
解析：BD
【分析】
由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】
因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.
12．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（ ）
A．是唯一最小值 B．是最小值
C． D．是最大值
答案：CD
【分析】
根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；
【详解】
，，
设，则点在抛物线上，
抛物线的开口向下，对称轴为，
且为的最大值，
解析：CD
【分析】
根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；
【详解】
，，
设，则点在抛物线上，
抛物线的开口向下，对称轴为，
且为的最大值，
，
，
故选：CD.
【点睛】
本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
二、等差数列多选题
13．(多选)在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B． 是等方差数列
C．是等方差数列.
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
解析：BD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；
对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；
对于C，数列中，不是常数，不是等方差数列，故C错误；
对于D，是等差数列，，则设，是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
14．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的可能取值为（ ）
A． B． C．1 D．2
解析：ABC
【分析】
根据不等式对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有恒成立，当n为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解.
【详解】
根据不等式对于任意正整数n恒成立，
当n为奇数时有：恒成立，
由递减，且，
所以，即，
当n为偶数时有：恒成立，
由第增，且，
所以，
综上可得：，
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.
15．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
解析：BD
【分析】
根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.
【详解】
解：因为数列的前4项为2，0，2，0，
选项A：不符合题设；
选项B：
，符合题设；
选项C：，
不符合题设；
选项D：
，符合题设.
故选：BD.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16．设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：BC
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式
【详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
，
故选：BC
17．已知等差数列的前n项和为且则（ ）
A． B．当且仅当n= 7时，取得最大值
C． D．满足的n的最大值为12
解析：ACD
【分析】
由题可得，，，求出可判断A；利用二次函数的性质可判断B；求出可判断C；令，解出即可判断D.
【详解】
设等差数列的公差为，则，解得，
，，且，
对于A，，故A正确；
对于B，的对称轴为，开口向下，故或7时，取得最大值，故B错误；
对于C，，，故，故C正确；
对于D，令，解得，故n的最大值为12，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.
18．已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：BCD
【分析】
根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．
【详解】
对A，，，故A不正确；
对B，，故B正确；
对C，由，，，…，，可得，故C正确；
对D，该数列总有，，则，
，…，，
，，
故，故D正确．
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用对所给式子进行变形.
19．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
解析：BD
【分析】
设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A错误；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
20．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大
B．在数列中，或最大
C．
D．当时，
解析：AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为，所以 ，
因为，所以，
所以等差数列公差，
所以是递减数列，
故最大，选项A正确；选项不正确；
，
所以，故选项C不正确；
当时，，即，故选项D正确；
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和前n项和，属于基础题.
21．等差数列的首项，设其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．的最大值是或者
解析：BD
【分析】
由，即，进而可得答案．
【详解】
解：，
因为
所以，，最大，
故选：．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．
22．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列的前n项和
C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列
解析：ABD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
数列的前n项和，故B正确.
对选项C，因为，所以，故C错误.
对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.
23．在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（ ）
A．（，为常数，）； B．（为常数，）；
C．； D．的前项和（）.
解析：AC
【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【详解】
A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；
C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；
D选项的前项和（），不符合，所以不为等差数列．故错误．
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
24．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ）
A．可能为等差数列
B．可能为等比数列
C．中一定存在连续三项构成等差数列
D．中一定存在连续三项构成等比数列
解析：ABC
【分析】
由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当时，．
当时，．
当时，上式＝．
所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】
本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．
三、等比数列多选题25．题目文件丢失！
26．题目文件丢失！

27．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A． B． C． D．
解析：BD
【分析】
先分析得到数列有连续四项在集合，，18，36，中，再求等比数列的公比.
【详解】

数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中
数列有连续四项在集合，，18，36，中
又数列是公比为的等比数列，
在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.
或.
故选：BD
28．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
解析：ABC
【分析】
设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.
【详解】
设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，
由可得，两式相减得：，
所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，
所以，
在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；
经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；
10分钟后，计算机感染病毒的总数为，
所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与
前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.
29．对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A．，，成等比数列 B．，，成等比数列
C．，，成等比数列 D．，，成等比数列
解析：AD
【分析】
根据等比数列的定义判断．
【详解】
设的公比是，则，
A．，，，成等比数列，正确；
B，，，在时，两者不相等，错误；
C．，，在时，两者不相等，错误；
D．，，，成等比数列，正确．
故选：AD．
【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．
数列是等比数列，则由数列根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列：
如奇数项或偶数项仍是等比数列，
实质上只要是正整数且成等差数列，则仍是等比数列．
30．设为等比数列的前项和，满足，且，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若数列中存在两项，使得，则的最小值为
D．若恒成立，则的最小值为
解析：ABD
【分析】
根据等差中项列式求出，进而求出等比数列的通项和前项和，可知A，B正确；根据求出或或或，可知的最小值为，C不正确；利用关于单调递增，求出的最大、最小值可得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
由，得，解得，所以，
；
；所以A，B正确；
若，则，，
所以，所以，
则或或或，此时或或或；C不正确，，
当为奇数时，，当为偶数时，，
又关于单调递增，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，所以，D正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题.
31．已知数列是是正项等比数列，且，则的值可能是（ ）
A．2 B．4 C． D．
解析：ABD
【分析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出的范围，即可得到所求．
【详解】
解：依题意，数列是是正项等比数列，，，，
，
因为，
所以上式可化为，当且仅当，时等号成立．
故选：．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．
32．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ）
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
解析：BCD
【分析】
设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列，由求得首项，然后逐一分析四个选项得答案.
【详解】
解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列.
所以，解得.
选项A:,故A错误,
选项B:由，则，又，故B正确.
选项C:,而，,故C正确.
选项D:,
则后3天走的路程为,
而且,故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和，是基础题.
33．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：BC
【分析】
先求得，然后求得，进而求得，由此求得，进而判断出正确选项.
【详解】
由得，则．设等比数列的公比为，由，得，即，解得或．又因为数列单调递增，所以，所以，解得．所以，，所以.
故选：BC
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前项和，属于中档题.
34．已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
解析：BD
【分析】
由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.
【详解】
由得，所以是以为首项，2为公比的
等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；
因为，，所以
，故，
故C错误；因为，所以的前项和，
故D正确.
故选：BD
【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
35．已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C． D．为定值
解析：BD
【分析】
由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用等比数列前项和公式，求出 ，故选项C错误，由等比数列的通项公式得到，所以选项D正确.
【详解】
由题意，当时，，解得，
当时，，
所以，
所以，数列是以首项，公比的等比数列，，
故选项A错误，选项B正确；
数列是以首项，公比的等比数列，
所以，故选项C错误；
，所以为定值，故选项D正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查由和的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.
36．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
解析：BCD
【分析】
由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．
【详解】
解：由即为，
可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即，
又，可得，
故错误，，，正确．
故选：BCD．
【点睛】
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
四、平面向量多选题
37．下列说法中正确的是（ ）
A．对于向量，有
B．向量，能作为所在平面内的一组基底
C．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件
D．在中，设是边上一点，且满足，，则
答案：BCD
【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断
．判断两个向量是否共线即可
．结合向量数量积与夹角关系进行判断
．根据向量线性运算进行判断
【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误，
．，
解析：BCD
【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断
．判断两个向量是否共线即可
．结合向量数量积与夹角关系进行判断
．根据向量线性运算进行判断
【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误，
．，向量，不共线，能作为所在平面内的一组基底，故正确，
．存在负数，使得，则与反向共线，夹角为，此时成立，
当成立时，则与夹角满足，则与不一定反向共线，即“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故正确，
．由得，
则，，则，故正确
故正确的是，
故选：．
【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
38．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若且，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
答案：AC
【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A，由平面向量数量积定义可知
解析：AC
【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，
对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，
则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；
对于D，已知，且与的夹角为锐角，
可得即可得，解得，
当与的夹角为0时，，所以
所以与的夹角为锐角时且，故D错误；
故选:AC.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
39．已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：BCD
【分析】
本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；
再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.
【详解】
解：因为，，
所以B是的中点，P是的
解析：BCD
【分析】
本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；
再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.
【详解】
解：因为，，
所以B是的中点，P是的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；

因为，故选项B正确；
因为，所以，，故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
40．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝，a＝7，则以下判断正确的是（ ）
A．△ABC的外接圆面积是； B．bcos C＋ccos B＝7；
C．b＋c可能等于16； D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7 .
答案：ABD
【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．
【详解】
对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；
对于B，根据正弦定
解析：ABD
【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．
【详解】
对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；
对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故B正确．
对于C，

，故C错误．
对于D，设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故D正确．
故选：ABD.
【点睛】
本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．
41．设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A．
B．与不垂直
C．
D．
答案：ACD
【分析】
A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平
解析：ACD
【分析】
A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】
选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；
选项B，，
∴与垂直，即B错误；
选项C，∵与不共线，
∴若，则显然成立；
若，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确；

选项D，，即D正确.
故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
42．在中，，，，则角的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
答案：AD
【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.
【详解】
由余弦定理，得，
即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以；
当时，，此时为直角三角形，所以.
故选：AD
【点睛】
本题考查余弦
解析：AD
【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.
【详解】
由余弦定理，得，
即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以；
当时，，此时为直角三角形，所以.
故选：AD
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
43．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（ ）
A．8+ B．8
C．8﹣ D．
答案：AC
【分析】
利用余弦定理：即可求解.
【详解】
在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，
由余弦定理：，
即，解得.
故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC
【分析】
利用余弦定理：即可求解.
【详解】
在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，
由余弦定理：，
即，解得.
故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
44．在下列结论中，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量
C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等
答案：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
45．已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：CD
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B错误，D正确；
由，所以，故A错误；
由，所以，故C正确.
故选：CD
【点睛】
解析：CD
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B错误，D正确；
由，所以，故A错误；
由，所以，故C正确.
故选：CD
【点睛】