静力弹塑性分析原理.doc

第4章 静力弹塑性分析原理

4.1 概要

4.1.1 非线性分析的目的

非线性抗震分析方法可分为非线性静力分析方法和非线性动力分析方法。非线性动力分析方法可以认为是比较准确的方法，但是因为分析时间较长并对技术人员理论水准有较高的要求，所以在实际工程上的普及应用受到了限制。相反静力分析方法虽然在反映结构动力特性方面有所不足，但是因为计算效率较高和操作简单、理论概念清晰等原因被广大设计人员所普遍使用。
静力弹塑性分析又被称为Pushover分析，是基于性能的抗震设计(Performance-Based Seismic Design, PBSD)中最具代表性的分析方法。所谓基于性能的抗震设计是以某种目标性能(target performance)为设计控制目标，而不是单纯的满足规范要求的极限承载能力的设计方法。其步骤是先按照规范要求进行抗震分析和构件设计，然后通过Pushover分析获得结构的极限承载能力，最后通过非线性位移结果评价结构是否满足目标性能要求。
目前规范中推荐的基底剪力法和反应谱分析方法均为弹性分析方法，其评价标准是地震作用下的抗力不小于地震作用下产生的内力，这些方法也被称为基于荷载的设计方法。而基于性能的设计方法则是使用与结构损伤直接相关的位移来评价结构的变形能力(耗能能力)，所以又被称为基于位移的设计(displacement-based design)方法。
通过Pushover分析可得如图4.1.1所示的荷载-位移关系曲线(能力谱)，根据结构耗能情况可得到非线性需求谱。能力谱与需求谱的交点就是结构对于地震作用的性能点(performance point)。性能点意味着结构对于地震作用所拥有的最大的非线性承载力和最大位移，该点在控制目标性能范围内则表示该结构满足了性能要求。通过非线性分析可以了解结构具有的的极限承载能力和安全度。

图4.1.1 基于位移设计法的结构抗震性能评价

4.1.2 静力弹塑性分析的抗震设计原理

基于性能的抗震分析方法有下列四种。

Ø 线性静力分析法(Linear Static Procedure, LSP)
Ø 线性动力分析法(Linear Dynamic Procedure, LDP)
Ø 非线性静力分析法(Nonlinear Static Procedure, NSP)
Ø 非线性动力分析法(Nonlinear Dynamic Procedure, NDP)

其中Pushover分析方法属于非线性静力分析法，又被称为塑性铰分析法。该分析方法主要被应用于受高阶振型和动力特性影响较小的结构。

Pushover分析就是按照指定的加载模式逐渐加载至控制目标并获得结构的荷载-位移曲线(capacity curve)，然后将其转换为单自由度体系的加速度响应和位移响应的能力谱，同时将加速度-周期格式的加速度反应谱转换为加速度-位移格式(ADRS，Acceleration-Displacement Response Spectrum)的需求谱(demand spectrum)，将需求谱和能力谱反映在同一个坐标系中，两条谱曲线的交点(性能点)就是满足该水准地震作用的极限承载能力和变形能力点。因此可通过定义不同的需求谱(小震、中震、大震)，通过验算不同性能水准下的承载力和变形，实现“小震不坏、中震可修、大震不倒”的三水准(performance level)抗震设计原则。

结构大师中使用了ATC-40(1996)和FEMA-273(1997)等报告中的能力谱法(Capacity Spectrum Method, CSM)和推荐的参数对构件的抗震性能进行评价。能力谱法的原理如图4.1.2所示。

(a) 结构的能力曲线(capacity curve)和能力谱(capacity spectrum)

(b) 需求谱(demand spectrum) (c) 性能点(performance point)
图4.1.2 能力谱法(Capacity Spectrum Method, CSM)

Pushover分析的目的是要了解结构具有的承载能力和变形能力，钢筋砼结构在进行Pushover分析前必须先进行线弹性分析和构件设计以获得结构的配筋结果。然后才能进一步进行非线性分析。Pushover分析的优点如下：

Ø 可获得结构屈服后的响应和极限承载能力
Ø 可获得结构耗能能力和位移需求
Ø 可获得结构构件的出铰顺序
Ø 在维修加固工程中事先了解需要加固的构件

4.1.3 静力弹塑性分析方法

如下图4.1.3所示，结构在横向荷载作用的初期处于弹性状态，当内力超过构件的开裂或屈服内力时部分构件将发生开裂或屈服，构件和结构的刚度和阻尼都将发生变化，荷载和位移的相关关系显示非线性特性。由弹性进入屈服阶段的点A被称为弹性极限，部分构件屈服后随着荷载的增加结构的位移会显著增加，到达B点后较小的外力增量也会发生较大的位移，最后在C点后即使不再增加外力位移也会增加，C点被称为极限承载能力点。

图4.1.3 内力和位移的关系

点C是通过荷载增量进行分析的荷载控制法所能得到稳定解的极限点，要想获得C点之后的曲线只能通过位移增量进行分析，即采用位移控制法。结构大师中既提供荷载控制法又提供位移控制法。

4.1.4 迭代分析方法

Pushover分析中由于发生裂缝和屈服造成结构的刚度变化，在分析过程中会产生不平衡力也叫残余力(Residual Force)，为了消除不平衡力需要进行迭代计算使不平衡力达到可以忽略的程度(满足收敛条件)。结构大师的迭代计算方法使用了完全牛顿-拉普森法(Full Newton-Raphson Method)，该方法具有收敛速度快的特点。

使用完全牛顿-拉普森法的非线性分析过程如下图所示，分析过程如下。

图4.1.4 完全牛顿-拉普森法

(1). 在当前步骤(n)增加荷载向量可得图4.1.4所示的A点，此时的平衡方程式如下。

(4.1.4a)

其中，
: 当前步骤(n)的结构切线刚度矩阵
: 当前步骤(n)的位移增量
: 前次步骤(n-1)的内力向量
: 当前步骤(n)的加载系数
: 荷载向量
: 当前步骤(n)的荷载向量

可将式(4.1.1)用增量形式表达如下，
(4.1.4b)
其中，
: 当前步骤(n)的荷载增量向量

解式(4.1.2)得位移增量。

(2). 利用位移增量计算各单元的切线刚度和内力，将各单元的内力组合构成切线刚度矩阵。将各单元的内力与节点力组合构成内力向量。此时结构的内力和位移的关系满足图4.1.4点B上的平衡条件。

(3). 荷载增加时如果单元发生屈服则单元产生残余力，可通过下面的迭代计算消除残余力。

(4.1.4c)

其中，
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的切线刚度矩阵
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的位移向量
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的内力向量
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的残余力

解方程(4.1.3)得位移向量。计算各单元的内力和切线刚度后可得残余力，重复(1)~(3)步骤直到满足收敛条件。
(4). 满足收敛条件时(在点C)将进行下一个增量步骤的分析。

n 残余力和收敛计算

塑形铰的出现造成了单元刚度的变化，单元刚度的变化又引起了单元内力的变化，从而使外力和单元内力之间产生了不平衡力(残余力)。程序中消除残余力的方法如下：

Ø 进行收敛迭代计算时(在时程荷载工况对话框中勾选了迭代计算选项)
使用完全牛顿-拉普森法进行迭代收敛计算直至满足收敛条件。但是仍有下面的残余力累计到下一个增分步骤的外力中。当最大迭代次数输入1时等同于不进行迭代计算。
a. 到最大迭代次数时仍未满足收敛条件时的残余力
b. 满足了收敛条件但仍残留的不平衡力

Ø 不进行收敛迭代计算时(在时程荷载工况对话框中未勾选迭代计算选项)
各增量步骤的残余力将累计到下一个增量步骤中的外力中。因此即便是某个增量步骤中没有收敛只要下一个步骤中收敛时，可以认为最终分析结果收敛。

n 收敛判断条件

因为不可能完全消除残余力，所以为了既满足计算结果的精确度又保证计算效率，需要设置适当的收敛判断条件。

迭代计算的收敛判断采用范数标准，有位移范数、荷载范数、能量范数，可选择其一也可多选作为收敛判断标准。

Ø 位移范数
(4.1.4d)
Ø 荷载范数
(4.1.4e)
Ø 能量范数
(4.1.4f)

其中，
: 位移范数
: 荷载范数
: 能量范数
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算累计的位移增量向量
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算的位移向量
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算的累计内力增量向量
: 当前步骤(n)内的第i次迭代计算的内力向量

4.1.5 初始荷载

因为地震作用前结构的竖向荷载是始终存在的，所以有Pushover分析有必要考虑竖向荷载作用下的初始内力状态，这样计算的杆件的内力才是接近真实的。特别是考虑轴力和弯矩相关的柱构件在计算屈服面时需要考虑竖向荷载引起的轴力。

结构大师的Pushover分析对初始荷载也进行非线性分析，以获得更接近于实际情况的初始内力。

4.1.6 加载模式

Pushover的横向荷载应该能相对准确地反映实际地震作用，即实际地震力在各楼层的惯性力分布状态，这样才能保证分析结果更接近于实际状态。

一般来说，在Pushover分析中推荐使用两种以上的横荷载分布模式进行分析，通过比较取不利的结果进行判断。在结构大师中提供了四种横向荷载加载模式，特别是其中的层剪力模式使用了反应谱分析得到的层剪力分布模式，更接近于实际的地震力分布。

Ø 静力荷载模式：按用户定义的静力荷载分布加载。
Ø 振型模式：可按振型形状分布模式加载，也可以将几个振型线性组合。
Ø 按各楼层的质量分布比例加载
Ø 按反应谱分析的层剪力分布模式加载

4.1.7 P-Delta效应

结构大师的Pushover分析支持梁、柱、支撑的P-Delta效应，非线性墙单元目前不支持P-Delta效应。
P-Delta分析属于几何非线性分析，单元刚度矩阵中要考虑几何刚度，考虑P-delta效应的平衡方程如下。
(4.1.7a)

其中，
: 结构的弹性刚度矩阵
: 结构的几何刚度矩阵

在Pushover分析过程中刚度矩阵行列式应大于零，当刚度矩阵的行列式为零或负值时将忽略几何刚度的影响。

(4.1.7b)

刚度矩阵的行列式为零或负值的情况如下。

Ø FEMA类型铰的位移超过极限值时(图4.1.4的C点之后)
Ø 多折线类型铰在出现塑形铰以后新的单元弹性刚度矩阵加上几何刚度矩阵时，对角线上的刚度成分出现0或负值
4.2 非线性分析原理

4.2.1 荷载控制法和位移控制法

（1）荷载控制法

荷载控制法是指预设一个最大荷载后逐渐加载至最大荷载的分析方法。结构大师中的荷载控制法不是事先预设最大荷载，而是在逐渐加载后达到结构极限承载力时终止继续加载的方法，即在无法得到稳定解时终止分析的方法。

（2）位移控制法

位移控制法是指预设一个控制位移后逐渐加载至最大位移的方法。一般来说控制位移是指控制某个节点的位移，但是在分析过程中发生最大位移的节点可能会发生变化。结构大师中既可以将某个节点作为位移控制节点，也可以在分析过程中更新控制位移的节点，即可以控制所有节点的位移不超过某个限值。

结构大师中控制位移的方法有控制节点的最大位移、控制结构的最大位移与结构高度的比值(分为1/120、1/100、1/50)，也可以控制结构的层间位移角。

4.2.2 步长控制方法

结构大师中提供下面三种步长控制方法。

Ø 自动调整步长方法
Ø 等步长方法
Ø 自定义步长函数方法

（1）自动调整步长

自动调整步长就是在非线性不是很明显的阶段加大步长间距，在非线性比较明显的阶段自动减小步长间距的方法。具体操作步骤如下：

第一阶段：计算弹性极限()，加载水平荷载并计算各构件的内力和构件屈服内力的比值，从而获得达到屈服时的荷载增量。
第二阶段：根据收敛情况自动调整分析步长()。

（2）等步长

将控制荷载或控制位移按总步骤数等分作为分析步长。

(a) 等步长方法 (b) 自动调整步长方法
图4.2.2a 不同步长控制方法的分析结果

（3）自定义步长函数方法

按照用户输入的步长函数计算各步长的荷载系数。定义步长函数的方法如下：
- 在Pushover荷载工况对话框中设定总步骤数。
- 选择步长控制函数并输入函数值(参见下图)。其中步骤数与总步骤数无关，仅是用于 定义函数的X轴的参数(X轴的最大值对应的是总步骤数，输入与总步骤数不同的数值时将按比例调整步骤数)；函数值为荷载系数值。例如当总步骤数为10而按下面对话框中定义步长函数时，表示第2个步骤的荷载系数为0.6，第10个步骤的荷载系数为1.0。

图4.2.2b 不同步长控制方法的分析结果

4.2.3 子步骤功能

非线性分析中为了能快速的收敛，在每个增量步骤中会采用迭代计算。每个迭代计算的过程也被称为子步骤。结构大师中的子步骤具有自动调整步长的功能。

在当前步骤计算中如果按照最大迭代次数计算没有收敛，程序将启动子步骤功能自动将荷载增量减少一半重新进行分析，如果依然没有收敛将再次减少荷载增量进行分析。程序并不是所有情况都启动子步骤进行迭代计算。根据步长控制方法启动子步骤的方法如下。

(1) 自动调整步长
自动调整步长的控制方法本身具有自动调整步长的功能，但是因为无限制的调整步长将严重影响计算效率，因此程序内部设置了三个等级分别对应50次、100次、200次的调整步长次数，超过这些调整次数数依然没有收敛时将启动子步骤功能第二次细分步长。
(2) 等步长、步长控制函数
先按固定的步长进行分析(包括迭代计算)，没有收敛时将启动子步骤功能。

4.2.4 当前刚度与初始刚度的比值

结构大师中使用了当前刚度与初始刚度的比值的概念，用于评价结构目前所处的状态。结构大师中用当前刚度与初始刚度的比值(Current Stiffness Ratio)判断结构的状态的标准如下：

Ø 弹性状态 :
Ø 弹性状态到极限承载能力阶段 :
Ø 极限承载能力状态 :
Ø 极限承载能力后的状态 :

当前步骤中Cs小于0时程序将自动回退到前一步骤并终止分析。

图4.2.4 当前刚度与初始刚度的比值(Current Stiffness Ratio)

4.2.5 终止分析条件

Ø 达到最大步骤数时
Ø 达到最大位移、最大层间位移角限值时
Ø 当前刚度与初始刚度的比值(Current Stiffness Ratio)超过设定的限值时
Ø 初始荷载作用下构件发生了屈服时

4.3 利用Pushover分析做抗震性能评价

结构大师使用能力谱法(CSM)计算结构的极限承载能力并对结构的抗震性能进行评价。通过Pushover分析可得能力曲线和能力谱，通过有效阻尼原理可由弹性设计反应谱获得需求谱。将两个谱表现在同一个坐标系中可获得两个谱的交叉点，该点就是代表最大需求内力的性能点。利用性能点上的变形和内力值来评价结构的抗震性能和具有的性能水准。

4.3.1 能力谱和需求谱

Pushover分析中直接获得的是荷载-位移(-)关系，而反应谱是加速度-周期(A-T)曲线。为了比较二者需要将二者均转换为加速度-位移谱(acceleration-displacement response spectrum)。

图4.3.1a 将荷载-位移曲线转换为加速度-位移谱

图4.3.1b 将加速度-周期谱转换为加速度-位移谱

将荷载-位移关系曲线转换为加速度-位移谱的方法如下。

(4.3.1a)
(4.3.1b)

其中和分别为第k阶振型的振型参与系数和振型参与质量，计算公式如下。
(4.3.1c)
(4.3.1d)

式(4.3.1a)和(4.3.1b)是动力学中多自由度(MDOF)体系与单自由度体系(SDOF)的关系公式。即A和D分别为单自由度体系的响应谱上的响应加速度和响应位移，V和U为多自由度体系的基底剪力和位移。结构大师中使用的单自由度体系的能力谱

同样可利用单自由度体系的位移和加速度的关系公式(参见下式)将将弹性加速度反应谱的加速度-周期谱转换为加速度-位移谱。
(4.3.1e)

4.3.2 性能点

能力谱和需求谱的交点为性能点，结构大师中使用ATC-40的能力谱法(CSM)中推荐的Procedure-A和Procedure-B两种方法计算性能点。两种方法的原理相同，Procedure-A在计算有效阻尼时使用直接迭代计算，而Procedure-B则是使用延性比的假定和有效周期计算有效阻尼。

(1) 等效阻尼(equivalent damping)

能力谱法(CSM)中将能力谱转换为面积相同的双折线模型，并使用阻尼比为5%的弹性响应谱和能力谱计算结构的等效阻尼。结构阻尼耗散的能量等于双折线模型中的阴影面积，可使用下面式(4.3.2)计算。

图4.3.2a 使用骨架曲线计算等效阻尼

％+0.05 (4.3.2a)

其中， ED = 结构阻尼耗散的能量
ESO = 结构的最大变形能
将式(4.3.2)用百分比的形式表现如下，

(4.3.2b)

其中βeq为等效阻尼(%)，当超过25%时ATC-40时要求慎重使用，且不能超过50%。

(2) 有效阻尼(effective damping)

钢筋混凝土的滞回曲线不能准确反映钢筋混凝土的刚度退化(stiffness degradation)和强度损伤(strength deterioration)、滑移和挤压(slip or pinching)等特性，ATC-40中为了能反映这些特性使用了阻尼修正系数(damping modification factor)对等效阻尼进行调整，调整后的等效阻尼被称为有效阻尼。

(4.3.2c)

阻尼修正系数如下：
表4.3.2a 反映结构滞回特性的阻尼修正系数
结构响应类型
等效阻尼(%)
阻尼修正系数()
类型 A
(具有完整的滞回特性)
16.25
1.0
> 16.25

类型 B
(一般的滞回特性)
25
0.67
> 25

类型 C
(较差的滞回特性)
所有值
0.33

(3) 有效周期

(4.3.3c)

其中Tn为结构周期，可取地震作用方向的第一振型，μ为延性比，α=（api-ay）/(dpi-dy)。

(4) 非弹性需求谱

下面介绍使用有效阻尼计算非弹性需求谱的方法。使用有效阻尼系数分别计算加速度影响区段和速度影响区段的谱折减系数(spectrum reduction factor, SR)(参见图4.3.2b)。谱折减系数可使用Newmark和Hall(1982)推荐的地面运动放大系数计算，加速度区段的谱折减系数(SRA)和速度区段的谱折减系数(SRV)的计算式见(4.3.2d)。ATC-40中对不同结构响应类型规定了谱折减系数的下限值。

图4.3.2b 使用谱折减系数对弹性谱进行折减

(1.4.9)

表4.3.2b 结构响应类型对应的谱折减系数的下限值
结构响应类型
κ
SRA
SRV
Type A (完整滞回特性)
1.00
0.33
0.50
Type B (一般滞回特性)
0.67
0.44
0.56
Type C (较差滞回特性)
0.33
0.56
0.67

通过对弹性反应谱的折减可得弹塑性需求谱，该弹塑性需求谱是阻尼比为5%的弹塑性需求谱，计算性能点还需要通过计算有效阻尼对应的需求谱。下面介绍计算性能点的方法。

(4) 计算性能点的方法

结构大师中按照ATC-40的推荐的两种方法计算性能点，两种方法都是通过计算有效阻尼获得需求谱，并计算需求谱与能力谱的交点的方法。

Procedure-A方法

是ATC-40中提供的基本方法，其步骤如下(参见图4.3.2c)。
- 首先获得能力谱的初始切线刚度直线与阻尼比为5%的弹性需求谱的交点，将该交点作为初始性能点。
- 计算初始性能点上的等效阻尼以及有效阻尼，利用有效阻尼计算弹塑性需求谱，并获得弹塑性需求谱与能力谱的交点，即获得新的性能点。
- 反复计算上述过程当性能点上的响应位移和响应加速度满足程序内部设置的误差范围时，将该步骤的性能点作为最终性能点。
图4.3.2c 使用Procedure-A方法计算性能点的示意图(ATC-40)

Procedure-B方法

计算性能点的操作步骤如下(参见图4.3.2d)：
- 首先假设一个位移延性系数，使用位移延性系数计算结构的有效周期和有效阻尼，然后获得有效周期线(直线)与弹塑性需求谱(使用有效阻尼计算)的交点。
- 这样一系列的交点上的连线与能力谱的交点就是最终的性能点。

图4.3.2d 使用Procedure-B方法计算性能点的示意图(ATC-40)

Procedure-B方法具有收敛性能好的优点，并且只需要计算一系列不同有效阻尼比和有效周期对应的加速度谱值和位移谱值的点即可，因此计算方法也相对简单。

结构大师中使用两种方法计算的性能点的对话框如下。

图4.3.2e 使用Procedure-A方法计算性能点的示意图(结构大师)

图4.3.2f 使用Procedure-B方法计算性能点的示意图(结构大师)

4.3.3 对结构和构件的抗震性能评价

(1) 对结构抗震性能的评价
目前规范提出了“小震不坏、中震可修、大震不倒”的三水准(performance level)抗震设防要求，但是没有明确给出中震可修和大震不倒的具体标准。目前建议的方法如下：
- 使用Pushover分析对“小震不坏”的判断方法：根据小震的基底剪力大小找出Pushover分析的步骤，查看该步骤构件是否出现塑性铰，如果没有出现则可判断为结构“小震不坏”。
- 使用Pushover分析对“中震可修”的判断方法：可参考FEMA或ATC-40上对结构生命安全的要求目标，即位移与结构总高度比不超过2%作为控制目标进行验算(FEMA中对于立即使用要求不大于1%、防止倒塌要求不大于4%)。即计算中震性能点上的位移/总高度比值不超过2%时可判断为结构“中震可修”。
- 使用Pushover分析对“大震不倒”的判断方法：当性能点上的弹塑性层间位移角小于抗规表5.5.5条的要求时可认为“大震不倒”。另外还可验算在性能点上是否满足墙柱弱梁、强剪弱弯的要求。

(2) 对结构构件的抗震性能的评价
对构件的性能评价除了可判断各构件是否达到开裂、屈服、极限状态外，可使用FEMA-273或ATC-40中推荐的方法设置下面不同水准的要求。结构大师在后处理中提供构件在各分析步骤包括性能点上的状态。

IO = 立即使用极限状态(Immediate Occupancy)
LS = 生命安全极限状态(Life Safety)
CP = 防止坍塌极限状态(Collapse Prevention)

图4.3.3 构件的使用性能标准
4.4 结构大师中的Pushover分析操作步骤

在结构大师中提供两种流程的操作步骤，一种是基于默认设置的完全自动化的操作，一种是用户按常规方法通过自定义方式的操作步骤。

n 自动化的操作步骤

1. 运行自动生成分析数据命令：可自动生成初始荷载工况、静力弹塑性荷载工况、铰类型、分配给各构件的铰特性值、分析控制条件等信息。
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 自动生成 > 自动生成分析数据。
2. 检查数据：检查荷载数据和生成的铰数据的合理性。该步骤也可跳过。
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 检查数据 > 荷载数据(或铰数据)。
3. 运行分析
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 运行 > 静力弹塑性分析。
4. 查看分析结果：参见使用手册的说明。

n 用户手动操作步骤

1. 定义静力弹塑性分析荷载工况、初始荷载工况、分析控制条件等信息。
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 静力弹塑性荷载 > 荷载工况。
2. 定义梁、柱、支撑的铰类型和墙纤维的本构关系。
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 静力弹塑性铰 > 定义铰特性值。
3. 分别铰特性值：将铰类型分配给构件。
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 静力弹塑性铰 > 分配铰特性值。
4. 检查数据：检查荷载数据和生成的铰数据的合理性。该步骤也可跳过。
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 检查数据 > 荷载数据(或铰数据)。
5. 运行分析
菜单路径：主菜单 > 静力弹塑性分析 > 运行 > 静力弹塑性分析。
6. 查看分析结果：参见使用手册的说明。

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