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不等式高级水平必备
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Ch1. 伯努利不等式
Ch2. 均值不等式
Ch3. 幂均不等式
Ch4. 柯西不等式
Ch5. 切比雪夫不等式
Ch6. 排序不等式
Ch7. 琴生不等式
Ch8. 波波维奇亚不等式
Ch9. 加权不等式
Ch10. 赫尔德不等式
Ch11. 闵可夫斯基不等式
Ch12. 牛顿不等式
Ch13. 麦克劳林不等式
Ch14. 定义多项式
Ch15. 舒尔不等式
Ch16. 定义序列
Ch17. 缪尔海德不等式
Ch18. 卡拉玛塔不等式
Ch19. 单调函数不等式
Ch20. 个对称变量法
Ch21. 个对称变量法
Ch22. 法
Ch23. 法
Ch24. 法
Ch25. 拉格朗日乘数法
Ch26. 三角不等式
Ch27. 习题与习题解析

Ch1. 伯努利不等式
1.1若实数（）各项符号相同，且，则：

式为伯努利不等式.
当时，式变为：
Ch2. 均值不等式
2.1若为正实数，记：
⑴ ，为平方平均数，简称平方均值；
⑵ ，为算术平均数，简称算术均值；
⑶ ，为几何平均数，简称几何均值；
⑷ ，为调和平均数，简称调和均值.
则：
时，等号成立. （注：当且仅当.）
式称为均值不等式.
Ch3.幂均不等式
3.1设为正实数序列，实数，则记：

式的称为幂平均函数.
3.2若为正实数序列，且实数，则：

当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.
式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.
3.3设为非负实数序列，且，若为正实数序列，且实数，则：

式称为加权幂平均函数.
3.4若为正实数序列，且实数，对则：
即：
当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.
式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.
Ch4. 柯西不等式
4.1若和均为实数，则：

时，等号成立.（注：当且仅当.）
式为柯西不等式.
4.2柯西不等式还可以表示为：

简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”
我们将简称为积均值，记：.
则：，即：
4.3推论1：若为实数，，则：

时，等号成立.
式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.
4.4推论2：若和均为实数，则：

时，等号成立.
4.5推论3：若为正实数，则：

Ch5. 切比雪夫不等式
5.1若；，且均为实数.则：

或时，等号成立.
式为切比雪夫不等式.
由于有，条件，即序列同调，
所以使用时，常采用 ……
(注：不失一般性)
5.2切比雪夫不等式常常表示为：

简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.
即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则：
即：
Ch6. 排序不等式
6.1若；为实数，对于的任何轮换，都有下列不等式：

式称排序不等式（也称重排不等式）.
其中，称正序和，称反序和，
称乱序和. 故式可记为：
正序和乱序和反序和
6.2推论：若为实数，设为的一个排序，则：

Ch7. 琴生不等式
7.1定义凸函数：对一切，，若函数是向下凸函数，则：

式是向下凸函数的定义式.
注：表示区间和函数在区间都是实数.
7.2若对任意，存在二次导数，则在区间为向下凸函数；时，若，则在区间为严格向下凸函数.
7.3若在区间为向下凸函数，则函数在在区间对任何也是向下凸函数.
7.4若是一个在区间的向下凸函数，设，为实数，且，则对任何，有：

式就是加权的琴生不等式.
简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.
Ch8. 波波维奇亚不等式
8.1若是一个在区间的向下凸函数，则对一切，有：

式就是波波维奇亚不等式.
8.2波波维奇亚不等式可以写成：

简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.
8.3若是一个在区间的向下凸函数，，则：

其中：，（对所有的）
式是普遍的波波维奇亚不等式.
当，，，时，，，，
代入式得：

即：
式正是式.
Ch9. 加权不等式
9.1若，（），且，则：

式就是加权的均值不等式，简称加权不等式.
式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.
Ch10. 赫尔德不等式
10.1若实数，实数且，则：
时，等号成立.
式称为杨氏不等式.
10.2若和为正实数，且，则：

式称为赫尔德不等式.
时，等号成立.
10.3赫尔德不等式还可以写成：

即：，即：
简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.
（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）
10.4若、和为三个正实数序列，且，则：

式称为加权赫尔德不等式.
时，等号成立.
10.5若(;)，为正实数且，则：

式称为普遍的赫尔德不等式.
10.6推论：若，，，则：

简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”.
Ch11.闵可夫斯基不等式
11.1若；为正实数，且，则：

时，等号成立.
式称为第一闵可夫斯基不等式.
11.2若；为正实数，且，则：

时，等号成立.
式称为第二闵可夫斯基不等式.
11.3若；；为三个正实数序列，且，则：

时，等号成立.
式称为第三闵可夫斯基不等式.
Ch12.牛顿不等式
12.1若为任意实数，考虑多项式：

的系数作为的函数可表达为：
；
；
；（）
；（）
……
.
对每个，我们定义
则式类似于二项式定理，系数为：.
12.2若为正实数，则对每个有：

时，等号成立.
式称为牛顿不等式.
Ch13.麦克劳林不等式
13.1若为正实数，按定义，则：

时，等号成立.
称麦克劳林不等式.
Ch14.定义多项式
14.1若为正实数序列，并设为任意实数.
记：；
为所有可能的积之和，遍及的所有轮换.
14.2举例说明
⑴ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第和第个参数的指数是.
故：.
⑵ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个和第个参数的指数是.
故：.
⑶ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是.
故：.
⑷ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.
故：.
即：
⑸ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.
故：.
⑹ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个和第个参数的指数是.
故：.
⑺ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.
故：.
由于表达式比较多，
所以我们规定：（）.
Ch15.舒尔不等式
15.1若，且，则：

式称为舒尔不等式.
15.2 解析式
；
；

将上式代入式得：

即：

即：

即：
式与式等价，称为舒尔不等式.
15.3若实数，设，则：

或及轮换，等号成立.
按照式写法，即：，，则：

式是我们最常见的舒尔不等式形式.
15.4推论：设实数，实数且或，则：

式中，，，，就得到式.
15.5推论：设实数，则：

15.6推论：若，则对于一切，有：

Ch16. 定义序列
16.1设存在两个序列和，当满足下列条件：
⑴ ①
⑵ 且 ②
⑶ ③
对一切，③式都成立.
则：就是的优化值，记作：.
注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.
Ch17.缪尔海德不等式
17.1若为非负实数序列，设和为正实数序列，且，则：

或时，等号成立.
式就缪尔海德不等式.
17.2解析式
若实数，实数，且满足，，；设，则：满足序列条件，
则：

即式为：
用通俗的方法表达即：
式就缪尔海德不等式的常用形式.
17.3例题：设为非负变量序列，考虑和.
由16.1中的序列优化得：
由缪尔海德不等式式得： ①
②
③
将②③代入①得：
即： ④
由柯西不等式：
即：
即： ⑤
⑤式④式等价，这就证明了④式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的.
⑤式可以用来表示，这正是缪尔海德不等式的式.
Ch18.卡拉玛塔不等式
18.1设在实数区间的函数为向下凸函数，且当（）两个序列和满足，则：

式称为卡拉玛塔不等式.
18.2若函数为严格向下凸函数，即不等取等号，，且，则：

若函数为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.
Ch19.单调函数不等式
19.1若实数函数在区间对一切为单调增函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调增函数，当时，有.
19.2若实数函数在区间对一切为单调减函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调减函数，当时，有.
19.3若实数函数在区间为可导函数，当对一切，，则在区间为单调递增函数；当对一切，，则在区间为单调递减函数.
19.4设两个函数和满足下列条件：
⑴ 函数和在区间是连续的，且；
⑵ 函数和在区间可导；
⑶ 导数对一切成立，
则对一切有：
式就是单调函数不等式.
Ch20.个对称变量法
20.1设，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：
；；，则.
代换后的不等式，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为法.
20.2常用的代换如下：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
20.3常用的法的不等式
若，则：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
Ch21.个对称变量法
21.1在的不等式中，采用下列变量代换：
；；.
上述变换强烈含有“平均”的意味：
对应“算术平均值”；对应“积均值”；对应“几何平均值”.
21.2当时，则：
式称为傻瓜不等式.
即：“算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”.
21.3若，则
式称为正值定理.
21.4若，任给，则当且仅当，
且时，
则：，，等式成立.
这称为定理.
Ch22.法
22.1 法即
设；；.
则函数变换为.
这与Ch20.个对称变量法类似.
22.2若函数是单调的，则当时，达到极值.
22.3若函数是凸函数，则当时，达到极值.
22.4若函数是的线性函数，则当时，达到极值.
22.5若函数是的二次三项式，则当时，达到极值.
Ch23.法
23.1 法即
23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：

其中，分别都是的函数.
⑴ 若，则；
⑵ 若或，且，则；
⑶ 若或，且，则；
⑷ 若，且，则；
⑸ 若或或，且，则.
23.3 常用的形式
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
Ch24.法
24.1 法即
本法对多于个变量的对称不等式非常有用.
24.2 设为任意实数序列，
⑴ 选择使，；
⑵ 用其平均数代替和，经过多次代换后各项（）都趋于相同的极限.
24.3 设实数空间的函数是一个对称的连续函数，满足

其中，序列是由序列经过预定义变换而得到的.
预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如，，等等.
24.4 例题说明
例题：设实数，证明：.
解析：采用法.
设： ①
则： ②
其中，.
由②得：
由式得：证毕.
Ch25.拉格朗日乘数法
25.1 设函数在实数空间的连续可导，且，其中（），即有个约束条件，则的极值出现在区间的边界或偏导数（函数为）全部为零的点上.
这就是拉格朗日乘数法.
Ch26.三角不等式
26.1 设，且，则就是同一个三角形的内角.
26.2 若为同一个三角形的内角，则有下列不等式：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ ；
⑹ ；
⑺ （锐角三角形）；
⑻ ；
⑼ ；
⑽ ；
⑾ ；
⑿ ；
⒀ ；
⒁ ；
⒂ ；
⒃ .
Ch27.习题
27.1 设，求证：.
27.2 设，且，求证：.
27.3 设，且，求证：.
27.4 设，且，求证：.
27.5 设，求证：.
27.6 设，求证：.
27.7设，，求证：.
27.8 设，且，若，，求

的最小值.
27.9 设，且，求证：.
27.10 设，求证：.
27.11设，且,求证：.
27.12设，且，求证：.
27.13设，且，求证：.
27.14设，求证：.
27.15设，求证：.
27.16设，且，求证：.
27.17设，求证：.
27.18设，且，求证：.
27.19设，且，求证：
.
27.20设，且，求证：.
27.21设，求证：.
27.22设，且，求证：.
27.23设不等式：

对一切实数都成立，求的最小值.
27.24设，且，求证：.

Ch27.习题解析
27.1 设，求证：.
解析：设：，则：因为，所以 （）
由伯努利不等式：当且时， ①
或时，①式等号成立.
由均值不等式： ②
时，②式等号成立.
由①②式得： ③
时， ③式等号成立.
设：，则由③式得： ④
则：；；…；.
上面各式相乘得：
.
证毕.
27.2 设，且，求证：.
解析：因为，，所以
设，则
由伯努利不等式： ①
将代入①式，并代入得：
.
证毕.
27.3 设，且，求证：.
解析：因为，且，
所以由均值不等式：
即： ①
时，①式等号成立.
由柯西不等式：

即：
即： ②
时，②式等号成立.
将①式代入②式得： ③
时， ③式等号成立. 证毕.
27.4 设，且，求证：.
解析：因为，且，
所以由均值不等式： ①
时，①式等号成立.
由均值不等式：，即： ②
时，②式等号成立.
，设，则因为，所以
由切比雪夫不等式：
即： ③
时，③式等号成立.
将①②代入③式得： ④
时， ④式等号成立. 证毕.
27.5 设，求证：.
解析：记，，，
则： ①
待证式为： ②
由柯西不等式：
即： ③
由②③式，只需证明 ④
设多项式：

则： ⑤

代入①式得： ⑥
根据定义：
得：，即：；，即：
则： ⑦
由麦克劳林不等式：，即：
代入⑦式得：，④式得证.
时，等号成立. 证毕.
27.6 设，求证：.
解析：不等式左边=
不等式右边=

则不等式其实就是： ①
由于是对称不等式，，假设，则 ②
且，即： ③
则有排序不等式：
其中，为正序和；为乱序和.
时，等号成立. 证毕.
27.7设，证：.
解析：当时，，，不等式成立；
当时，，，不等式成立；
当时，构建函数.
则函数的导数；
二次导数，故在时函数为向下凸函数.
由琴生不等式： ①
将， ，

带入①式得：，即：
综上，当、和时， 都成立,
即时，成立. 证毕.
27.8 设，且，若，，求

的最小值.
解析：记，（）.
则 ①
假设，则 ②
由于，所以与无关，则与同单调性.
即： ③
由切比雪夫不等式：若与同单调性，则有：
④
设：，，（），则满足与同单调性.
代入④式得：

即： ⑤
由均值不等式：，即：
故： ⑥
构建函数： ⑦
则导函数：，
故为向下凸函数.
由琴生不等式：
取加权（）时，上式变为：
⑧
即：
即： ⑨
将⑥和⑨式代入⑤式得：

故：的最小值是.
27.9 设，且，求证：.
解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：时，常常采用的参数方程是：
，，因为将它带入方程时满足，这个三角函数的基本关系. 对于三角形的内角，同样有关系和. 而本题初始条件.
设.，，因为，所以 ①
则当为三角形的内角时，，
满足条件.
带入不等式左边得：

②
构建函数，则在区间函数为向下凸函数，
故由琴生不等式得：函数值的均值不小于均值的函数值.
③
当加权时，③式变为：

即： ④
即：
即： ⑤
将⑤式带入②式得：. 证毕.
27.10 设，求证：.
解析：因为，由柯西不等式式

则：

.
即：. 证毕.
27.11设，且,求证：.
解析：对赫尔德不等式：

当 ，，时，式为：

即：
①
设：，，，；
，，，；
，，，；
，，，.
代入①式得：

②
②式就是赫尔德不等式.

将②式代入上式得：

开方出来即： ③
将代入③式得：.
时等号成立. 证毕.
27.12设，且，求证：.
解析：采用法.
设：，，，则：
在20.2常用的代换如下：
⑴ ； ⑵
则：；

于是，待证式变为：
即：，即：，即： ①
在20.3常用的法的不等式
⑴ ，即：
故：①式成立，即待证式成立. 证毕.
27.13设，且，求证：.
解析：由舒尔不等式：
①
即：
即：
即：
即：
两边都加得：
②
②式就是舒尔不等式.
设，代入②式得：
将代入上式得：
即： ③
③式就是我们要证明的不等式. 证毕.
27.14设，求证：.
解析：待证式化为：
即： ①
解析1：缪尔海德不等式：
或时，等号成立.
由于，
满足缪尔海德不等式的条件，即：
，，故满足序列.
则：，即：①式成立. 证毕.
解析2：采用法.
设：，，.
在20.2常用的代换如下：
⑵ ， ⑼
即①式等价于：
即：，即：
即： ②
②式是与①式等价的.
在20.3常用的法的不等式：⑺ 是成立的，故②式成立. 证毕.
解析3：采用琴生不等式.
构建函数 ③
则为向下凸函数.
采用琴生不等式式：
则：；；
上面三式相加得： ④
将③带入④得：
即：. 证毕.
27.15设，求证：.
解析：待证式： ①
即：
即：，即： ②
由排序不等式得：
所以：
②式得证. 证毕.
27.16设，且，求证：.
解析：待证式： ①
将①式齐次化： ②
化简②式：

③
④
将③④式代入②式：

即待证式为： ⑤
由舒尔不等式：

即：
即： ⑥
由缪尔海德不等式：

取：

即：
即： ⑦
由⑥+2×⑦两式相加得： ⑧
⑧式是由舒尔不等式和缪尔海德不等式相加得到的结果，而⑧式就是待证式⑤，
这证明，⑤式即①式是成立的. 证毕.
27.17设，求证：.
解析：因为，所以设（）
待证式变为：
因为待证式两边都是正数，所以取对数后为：
①
，假设，且 ②
设，则： ③
而且(，) ④
由②③④，根据Ch16. 定义序列，则：就是的优化值，
于是序列 ⑤
构建函数： ⑥
函数的导函数为：，其二次导函数为： ⑦
由⑦式，函数是向下凸函数，对于两个序列和
由卡拉玛塔不等式得：
⑧
将⑥带入⑧得：

而这正是待证式①式. 证毕.
27.18设，且，求证： .
解析：先介绍一个不等式：
若，则 ①
证明如下：
②
②式得分子为：

带入②式得：，则：①式成立.
由①式得：； ③
而： ④
故由③④：
时等号成立. 证毕.
27.19设，且，求证：
.
解析：采用法
⑴ 设：
设：，则：，

①
⑵ 采用导数法求①的极值点.
由①式的导数为零得：
即：
即：
即： ②
则极值点为：，，
其中， ③
采用盛金公式求③式得.
盛金公式：；
，，
判别式：
；
.
③式得实数解为：.
代入①式得到这些极值点的函数值：
；；
在边界点的函数值为：
；
故： ④
⑶ 由于

即： ⑤
其中：由得到：；
由得到：；
由得到：；
由琴生不等式得到： ⑥
⑷ 构建函数
显然为向下凸函数，故函数的均值不小于均值的函数值.
即：
即： ⑦
再由得到：，，
代入⑦式得：
即：，⑥式得证.
⑸ 故由④⑤式：.
时等号成立. 证毕.
27.20设，且，求证：.
解析：采用法.
，假设，则：，
故：，
设： ①
设：，则： ②
则：，即：
故：

③
将，代入③式得：

即： ④
下面只需证明即可.
将代入②式：

⑤
由于：，所以：

即：
代入⑤式得：，即：
由①式得：
即：. 证毕.
27.21设，求证：.
解析：不等式即：
设： ①
则对于对称类不等式，当时，若是上式的因子，则可用法.
即若，则可采用法.
⑴

②
⑵ 采用长除法分解因式

故： ③
由③式表明，本题可以采用法
⑶ 采用法，就是将不等式改写成：
④
其中分别都是关于的函数.
将①式展开化简后得：
⑤
由于对称，轮换求和后扩展项数是倍，故由⑤式简化为：
⑥
⑷ 根据法
；
同理：；
.
由于前两项为偶次项，所以当有任何负值时，最后一项显然不小于为正值的值. 故我们设.
当时：
；

即：当时，，，，；
根据23.2法第⑶条：. 证毕.
27.22设，且，求证：.
解析：本题采用琴生不等式.
构建函数：，在区间，为向下凸函数.
根据琴生不等式：对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值
即：
即： ①
将及代入①式得：
②
由均值不等式： ③
设：，则③式为：，即：
即： ④
因为，所以
则由④式得：，故： ⑤
将⑤式代入②式得：. 证毕.
另：采用拉格朗日乘数法.
设：，
则：拉氏函数：
偏导数：，即：
同理：；；.
则：，即：
即： ⑥
故：或.
同理可得：.
而由，，…，同样得到：
故极值点：.
即的极小值为.
27.23设不等式：

对一切实数都成立，求的最小值.
解析：注意到
则不等式
变为 ①
⑴ 设：；；；，则： ②
及：
代入①式：
即： ③
其中，
⑵ ③式两边与之间的关系由②式限制.
由于，个变量中有两个的符号相同，不妨设为.
因为时，，①式只要即可.
当时，，设，由均值不等式得：
④
当时，④式得等号成立.
⑶ 由均值不等式得：

即：
即： ⑤
上面用到了：
⑷ 由⑤式得： ⑥
将⑥式代入④式得：
于是： ⑦
比较③⑦两式得：. 故：的最小值为.
27.24设，且，求证：.
解析：采用法.
⑴ 齐次化： ①
⑵ 设：，，
则①式变为：
即：
即：
即：
即： ②
⑶ 下列常用式：

即： ③

即： ④
将③④代入②得：

即： ⑤
⑷ 采用法必须牢记的几个不等式：
A>
B>
C>
D>
E>
F>
G> 即舒尔不等式
⑸ 因为，所以根据傻瓜不等式： ⑥
故由⑷F>可得：
即：，即：
即： ⑦
这与24.1中定理的取值要求一致.
⑺ 将⑦代入⑤

7、你喜欢哪一类型的DIY手工艺制品？
只要 ⑧

1、DIY手工艺市场状况分析则满足⑤式要求.
⑧式即：
即：

2、消费者分析⑻ 设，则由傻瓜不等式得，代入⑧式得：

8、你是如何得志DIY手工艺制品的？即：，即：

“碧芝”隶属于加拿大的ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司。这家公司原先从事首饰加工业，自助首饰的风行也自西方，随着人工饰品的欣欣向荣，自制饰品越来越受到了人们的认同。１９９６年'碧芝自制饰品店'在迪美购物中心开张，这里地理位置十分优越，交通四八达，由于是市中心，汇集了来自各地的游客和时尚人群，不用担心客流量问题。迪美有３００多家商铺，不包括柜台，现在这个商铺的位置还是比较合适的，位于中心地带，左边出口的自动扶梯直接通向地面，从正对着的旋转式楼拾阶而上就是人民广场中央，周边４、５条地下通道都交汇于此，从自家店铺门口经过的９０％的顾客会因为好奇而进看一下。即：，即： ⑨

调研结论：综上分析，我们认为在学院内开发“DIY手工艺品”商店这一创业项目是完全可行的。在是⑨式恒成立.

“碧芝自制饰品店”拥有丰富的不可替代的异国风采和吸引人的魅力，理由是如此的简单：世界是每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将其汇集进行再组合可以无穷繁衍。这样，⑧式成立，倒退回去则①式成立. 证毕.
此题不好.

PS:消费者分析将此题展开来，则是求证：

（一）DIY手工艺品的“多样化”

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