三角函数模型简单应用交流宁波市镇海中学钟清-PPT课件.pptx

例一：根据图象建立解析式例一：根据图象建立解析式 (研究温度随时间呈周期性变化的问题研究温度随时间呈周期性变化的问题);例二：根据解析式作出图象例二：根据解析式作出图象 (研究与正弦函数有关的简单函数研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期的图象及其周期)；例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 (研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题)；例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数 拟合，从而得到函数模型拟合，从而得到函数模型 (研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题)。第第一一课课时时第第二二课课时时目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。备注：备注：三角函数模型三角函数模型三角函数关系三角函数关系简单应用简单应用学以致用，解决生活中的实际问题学以致用，解决生活中的实际问题教学目标教学目标:1 1、知知识识目目标标：a a通通过过对对三三角角函函数数模模型型的的简简单单应应用用的的学学习习，使使学学生生初初步步学学会会由由图图象象求求解解析析式式的的方方法法；b b体体验验实实际际问问题题抽抽象象为为三三角角函函数数模模型型问问题题的的过过程程；c c体体会会三三角角函函数数是是描描述述周周期期变变化化现现象象的的重重要要函函数数模模型型2 2、能能力力目目标标：让让学学生生体体验验一一些些具具有有周周期期性性变变化化规规律律的的实实际际问问题题的的数数学学“建建模模”思思想想,从从而而培培养养学学生生的的建建模模、分分析析问问题题、数数形形结结合合、抽抽象概括等能力象概括等能力3 3、情情感感目目标标：让让学学生生切切身身感感受受数数学学建建模模的的过过程程，体体验验数数学学在在解解决决实实际际问问题题中中的的价价值值和和作作用用，从从而而激激发发学学生生的的学学习习兴兴趣趣，培培养养锲锲而而不不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。教教学学重重点点：根根据据已已知知图图象象求求解解析析式式；将将实实际际问问题题抽抽象象为为三三角角函函数数模模型。型。教学难点：教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题函数模型的应用示例 2、心理、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动 智力变化状况智力变化状况 血压变化状况血压变化状况 3、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律 月圆与月缺月圆与月缺 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮 车轮转动车轮转动 峰谷电峰谷电 正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx余弦函数余弦函数y=cosxy=cosx1 1、物理情景、物理情景简单和谐运动简单和谐运动星体的环绕运动星体的环绕运动如果在宁波地区（纬度数约是北纬如果在宁波地区（纬度数约是北纬30o）的一幢高为）的一幢高为ho的楼房的楼房北面北面盖一新楼，要使新楼一层盖一新楼，要使新楼一层正午正午的太阳的太阳全年全年不不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？例题例题2分析：分析：根据根据地理知识地理知识，能够被太阳直射到的地区为，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知画图易知A B Ch0解：解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。根据根据太阳高度角的定义太阳高度角的定义有有 A B Ch0P P太阳高度角的定义如图，设地球表面某地如图，设地球表面某地纬度值为纬度值为 ，正午太阳高度角为正午太阳高度角为 ，此时太阳直射纬度为此时太阳直射纬度为 那么这三个量之间的关那么这三个量之间的关系是系是当地夏半年当地夏半年 取正值，取正值，冬半年冬半年 取负值。取负值。太阳光太阳光地心地心北半球北半球南半球南半球太阳光直射南半球太阳光太阳光地心地心解：解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。根据根据太阳高度角的定义太阳高度角的定义有有 所以所以 即在盖楼时，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高1.35倍的间距。倍的间距。A B Ch0P P1515米米将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意理解题意建立三角建立三角函数模型函数模型求解求解还原解答还原解答 一半径为一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面距离水面2m，已知水轮每分钟转动已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点圈，如果当水轮上点P从水中浮现时从水中浮现时开始计算时间。开始计算时间。（1）将点）将点P距离水面的高度距离水面的高度z(m)表示为时间表示为时间t(s)的函数；的函数；（2）点）点P第一次到达最高点大约要多长时间？第一次到达最高点大约要多长时间？例题例题3xy解解(1)(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。设角设角 。由由OPOP在在t(s)t(s)内所转过的角为内所转过的角为 ，可知以可知以OxOx为始边，为始边，OPOP为终边的角为为终边的角为 ，故点故点P P的纵坐标为的纵坐标为 ，则，则当当t=0,z=0,t=0,z=0,可得可得 .因为 ,所以 .故所求函数关系式为故所求函数关系式为 .(2)(2)令令 ,得得 .取取 ,解得解得 .即点即点P P第一次到达最高点大约要第一次到达最高点大约要5.5S.5.5S.xy小结:1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型型,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题模型来解决实际问题,如天气预报如天气预报,地震预测地震预测,等等等等.2.建立三角函数模型的一般步聚建立三角函数模型的一般步聚:现实问题现实问题 现实模型现实模型 改改造造三角函数模型三角函数模型 抽象抽象 概括概括解析式解析式图图 形形三角函数模型的解三角函数模型的解数学数学 方法方法还原还原 说明说明现实模型的解现实模型的解是否符合实际是否符合实际 修改修改体验探究体验探究1 1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？、你能一刀削出一条正弦曲线吗？提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。你知道吗？你知道吗？这条曲线就是这条曲线就是正弦曲线正弦曲线！2 2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？教学目标：教学目标：1 1、知知识识目目标标：能能正正确确分分析析收收集集到到的的数数据据，选选择择恰恰当当的的三三角角函函数数模模型型刻刻画画数数据据所所蕴蕴涵涵的的规规律律，能能根根据据问问题题的的实实际际意意义义，利利用用模模型型解解释释有关实际问题，为决策提供依据。有关实际问题，为决策提供依据。2 2、能能力力目目标标：体体会会由由现现实实问问题题选选择择数数学学模模型型、研研究究数数学学模模型型、解解决决现现实实问问题题的的数数学学建建模模学学习习过过程程，使使学学生生逐逐步步养养成成运运用用信信息息技技术术工工具具解解决决实实际际问问题题的的意意识识和和习习惯惯；使使学学生生进进一一步步提提升升对对函函数数概概念念的的完完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力.3 3、情情感感目目标标：体体验验探探索索和和创创造造过过程程，从从中中获获得得成成功功的的快快乐乐，体体会会学学习习数数学学知知识识的的重重要要性性，激激发发对对数数学学的的兴兴趣趣和和树树立立自自信信心心，渗渗透透数数学与现实统一和谐之美。学与现实统一和谐之美。教教学学重重点点：用用三三角角函函数数模模型型刻刻画画潮潮汐汐变变化化的的规规律律，用用函函数数思思想想解解决决具有周期变化规律的实际问题。具有周期变化规律的实际问题。教教学学难难点点：对对问问题题实实际际意意义义的的数数学学解解释释，从从实实际际问问题题中中抽抽象象出出三三角角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。一、设置情境，呈现问题一、设置情境，呈现问题 二、探索实践，寻找模型二、探索实践，寻找模型 1、初步认识初步认识 2 2、深入探索、深入探索 三、回归现实三、回归现实,提出问题提出问题 四、四、练习反馈练习反馈,提高能力提高能力 五、总结提炼五、总结提炼,延时探究延时探究 教学过程：教学过程：法国圣米切尔山法国圣米切尔山涨潮涨潮落潮落潮 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。（一）设置情境，呈现问题（一）设置情境，呈现问题 依据规定依据规定依据规定依据规定,当海浪高度高于当海浪高度高于当海浪高度高于当海浪高度高于1 1 1 1mm时才对冲浪爱好者开放。时才对冲浪爱好者开放。时才对冲浪爱好者开放。时才对冲浪爱好者开放。宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“T”T”型结构型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在道水深在 18.2 18.2 米米 以上，以上，20 20 万吨以下船舶自由进港，万吨以下船舶自由进港，25 25 万吨万吨 30 30 万吨船舶可候潮进出港。万吨船舶可候潮进出港。1.1.1.1.依据规定依据规定依据规定依据规定,当海浪高度高于当海浪高度高于当海浪高度高于当海浪高度高于1 1 1 1mm时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放,请请请请设计一天内从上午到晚上之间设计一天内从上午到晚上之间设计一天内从上午到晚上之间设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具体时间开放冲浪场所的具体时间开放冲浪场所的具体时间开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动段，有多少时间可供冲浪者进行活动段，有多少时间可供冲浪者进行活动段，有多少时间可供冲浪者进行活动?2.2.2.2.按安全条例规定，船何时安全进出港按安全条例规定，船何时安全进出港按安全条例规定，船何时安全进出港按安全条例规定，船何时安全进出港 上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？哪个是因变量？哪个是因变量？哪个是因变量？哪个是因变量？(潮汐对轮船进出港口产生什么影响？潮汐对轮船进出港口产生什么影响？潮汐对轮船进出港口产生什么影响？潮汐对轮船进出港口产生什么影响？)某港口在某季节每天的时间与水深关系表：某港口在某季节每天的时间与水深关系表：某港口在某季节每天的时间与水深关系表：某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻时刻0：003：006：00水深/米5.07.55.0时刻时刻9：0012：0015：00水深/米2.55.07.5时刻时刻18：0021：0024：00水深/米5.02.55.0(1)(1)(1)(1)试着用图形描述这个港口从试着用图形描述这个港口从试着用图形描述这个港口从试着用图形描述这个港口从0 0 0 0时到时到时到时到24242424时水深的变化时水深的变化时水深的变化时水深的变化情况。（作出这些数据的散点图情况。（作出这些数据的散点图情况。（作出这些数据的散点图情况。（作出这些数据的散点图,并用平滑曲线连接）并用平滑曲线连接）并用平滑曲线连接）并用平滑曲线连接）问题一：问题一：二、探索实践，寻找模型二、探索实践，寻找模型 1、初步认识初步认识（2）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）.（4）解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数根据图象，可以考虑用函数 刻画刻画水深与时间的关系。水深与时间的关系。从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，由由 得得时时刻刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时时刻刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754问题二：一条货船的吃水深度（船底与水面的距问题二：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为离）为4 4米，安全条例规定至少要有米，安全条例规定至少要有1.51.5米的安全米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？口？在港口能呆多久？2 2、深入探索、深入探索 时时刻刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时时刻刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754x x3691215182124Oy246ABCD在问题二的条件下，若货船在港口停留在问题二的条件下，若货船在港口停留8小时以上，小时以上，则货船的吃水深度至多是多少？则货船的吃水深度至多是多少？x x3691215182124Oy246ABCDx x3691215182124Oy246ABCD时时刻刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时时刻刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754x x3691215182124Oy246问题三：若某船的吃水深度为问题三：若某船的吃水深度为4 4米，安全间隙为米，安全间隙为1.51.5米，该米，该船在船在2 2：0000开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少，米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。P在货船的安全水深正在货船的安全水深正好与港口水深相等时，好与港口水深相等时，停止卸货吗？停止卸货吗？(三三)回归现实回归现实,提出问题提出问题 现在该港口提高卸货效率，使得货轮的吃水深度以每现在该港口提高卸货效率，使得货轮的吃水深度以每小时小时1米的速度减小，问该港口能否一次性接卸吃水深度为米的速度减小，问该港口能否一次性接卸吃水深度为6米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为1米）米）Oyx嘿，有挑战性嘿，有挑战性!(四四)练习反馈练习反馈,提高能力提高能力 练习：某海滨浴场的海浪高度练习：某海滨浴场的海浪高度练习：某海滨浴场的海浪高度练习：某海滨浴场的海浪高度y y（米）是时间（米）是时间（米）是时间（米）是时间t t（0 0t t2424，单，单，单，单位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5依据规定依据规定依据规定依据规定,当海浪高度高于当海浪高度高于当海浪高度高于当海浪高度高于1 1 1 1mm时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放,请设请设请设请设计一天内从上午到晚上计一天内从上午到晚上计一天内从上午到晚上计一天内从上午到晚上(8:00(8:00(8:00(8:0020:0020:0020:0020:00）之间）之间）之间）之间,开放冲浪场开放冲浪场开放冲浪场开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动?小结反思:1.1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型模型,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题函数模型来解决实际问题,如天气预报如天气预报,地震预测地震预测,等等等等.2.2.建立三角函数模型的一般步聚建立三角函数模型的一般步聚:搜集数据搜集数据利用计算机利用计算机作出相应的作出相应的散点图散点图进行函数进行函数拟合得出拟合得出函数模型函数模型利用函数利用函数模型解决模型解决实际问题实际问题(五五)总结提炼总结提炼,延时探究延时探究 （一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考对具有周期性（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考对具有周期性实际问题函数处理的方法和手段实际问题函数处理的方法和手段（二）书面作业：（二）书面作业：（三）实践探究性作业：（三）实践探究性作业：宁波港与潮汐宁波港与潮汐天安门广场国旗升降时间天安门广场国旗升降时间 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“T”T”型结构型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在港航道水深在 18.2 18.2 米米 以上，以上，20 20 万吨以下船舶自由进港，万吨以下船舶自由进港，25 25 万万吨吨 30 30 万吨船舶可候潮进出港。万吨船舶可候潮进出港。（1）请查阅宁波港的请查阅宁波港的2006年年12月潮汐表，以日期为横轴，画月潮汐表，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型。出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型。（2）请查阅各式货轮的吃水深，北仑港的航道水深及潮汐表，）请查阅各式货轮的吃水深，北仑港的航道水深及潮汐表，考察考察30万吨以上万吨以上“海上巨无霸海上巨无霸”型货轮候潮进港的可能性？型货轮候潮进港的可能性？我国主要港口我国主要港口2006年年12月潮汐预报月潮汐预报http:/ 天安门广场国旗的升降时间，是根据北京的日出日落时间确天安门广场国旗的升降时间，是根据北京的日出日落时间确定的，具体时间是由北京天文台的天文学家林亨专门计算的。早定的，具体时间是由北京天文台的天文学家林亨专门计算的。早晨，当太阳的上缘与天安门广场所见地平线相平到下缘离开地平晨，当太阳的上缘与天安门广场所见地平线相平到下缘离开地平线（共线（共2 2 分零分零 7 7 秒）为升旗时间，下缘落入地平线开始至上缘消秒）为升旗时间，下缘落入地平线开始至上缘消失为降旗时间。失为降旗时间。中华人民共和国国旗网中华人民共和国国旗网-天安门广场国旗升降时间表天安门广场国旗升降时间表天安门广场国旗的升降时间天安门广场国旗的升降时间http:/ 由于日期不同，日出、日落也不同，这样国旗的升降时间也由于日期不同，日出、日落也不同，这样国旗的升降时间也有所差异。有所差异。宁波市镇海中学钟清钟清