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力学公理体系

一.力学概述
力学是研究机械运动规律的学科, 分为运动学、 动力学和静力学。
运动学: 研究物体位置变化与时间的关系( 或物体机械运动中的时空关系) , 是描述运动, 不涉及运动或运动状态改变的原因。
动力学: 研究物体的运动与物体之间相互作用的联系, 是解释运动, 说明物体为什么运动和怎样运动。
静力学: 研究物体在相互作用下的平衡问题, 能够看作动力学的一部分。

二.基本定义
定义1: 一个物体相对于其它物体的位置的变化( 或物体各部分相对位置的变化) 叫做机械运动。
说明: 物体或物体各部分都是宏观物体, 它们的速度远小于光速。
定义2: 质点是有质量无大小和形状的点, 是理想模型。
说明: 物体能被看作质点的条件:
( 1) 物体作平动;
( 2) 物体的形状和大小可忽略;
( 3) 只研究物体的平动部分。
定义3: 事件是指如下的物理现象: 手枪发射一颗子弹、 灯发一闪光、 观察到一个质点、 粒子产生、 粒子湮灭等。
定义4: 过程是一系列连续发生的事件。
定义5: 空间是物质运动的广延性, 广延性即质点在空间的位置具有次序性。
说明: ( 1) 与空间有关的概念有点、 线、 面、 位置、 路径、 长度和距离等;
( 2) 长度用米尺测量;
( 3) 长度国际单位m: 1m是光在真空中( 1/) s的时间间隔内所经径迹的长度。
定义6: 时间是物质运动的持续性, 即过程的持续性, 也就是事件发生具有先后次序性。
说明: ( 1) 时刻是时间的一瞬, 与事件相对应。时间是两个时刻之间的间隔, 与过程相对应;
( 2) 时间用时钟测量;
( 3) 时间国际单位s: 1s是133Cs特定辐射周期的9192 631 770倍。
定义7: 描述物体运动时用作标准或依据的物体或物体系叫做参照系。
定义8: 将一付刚性坐标框架( 如直角坐标框架) 与参照系牢固连结起来, 叫做坐标系。说明: ( 1) 坐标系是参照系的数学抽象, 用坐标确定物体的位置实际上是用固定在参照系上的直尺测量物体的位置; 时间用安放在参照系各处的时钟测量, 这些直尺和时钟的结构完全相同而且经过了校准。
( 2) 常见的坐标系除直角坐标系外还有平面极坐标系、 自然坐标系等。
说明: 为了叙述的方便, 有些基本定义放在以下各个部分。

三.公理
以下集中列出力学的公理, 公理中出现的物理概念和物理量的定义见有关部分。
公理1: 空间公理
( 1) 绝对空间是静止不动的、 是容器, 物体在绝对空间中运动;
( 2) 物体长度( 或空间两点之间的距离) 的测量与观察者无关;
( 3) 空间是欧几里得空间;
( 4) 空间是不变的、 独立的, 而且与物质的运动无关。
公理2: 时间公理
时间是不变的、 独立的、 均匀流逝的, 而且与空间和物质的运动无关。
公理3: 位置公理
质点的位矢是时间的函数, 记作

公理4: 状态公理
作机械运动的质点运动状态可用坐标和速度( 动量) 描述。
公理5: 速度公理
瞬时速度等于时平均速度的极限。
公理6: 加速度公理
瞬时加速度等于时平均加速度的极限。
公理7: 力公理
力是三维矢量。
公理8: 运动公理( 1)
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态, 直到其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。
公理9: 运动公理( 2)
物体加速度的大小与物体所受合外力的大小成正比, 与物体的质量成反比, 加速度的方向与物体所受合外力的方向相同。
公理10: 运动公理( 3)
物体之间的作用力与反作用力作用在一条直线上, 大小相等方向相反。
说明: ( 1) 公理8-公理10统称运动公理, 适用于惯性系;
( 2) 物体的质量为恒量。

四.质点运动学
1.直线运动
定义1: 对一定的参照系而言, 设质点的运动轨道是一条直线, 则称质点作直线运动。
说明: 研究直线运动, 一般选质点所在的轨道为坐标轴如轴、 轴、 轴。
定义2: 位置概念指物体( 质点) 相对于其它物体的方位。
定义3: 设质点沿轴运动, 则质点的位置用表示, 质点到原点的距离, 表示质点位于正半轴, 表示质点位于负半轴, 叫做质点的坐标。
公理3: 位置公理
设质点作直线运动, 则质点的坐标是时间的函数, 记作

定义4: 位移指质点位置的变化。
说明: 位移概念概括了质点具有位置变化的运动属性, 物理量位移是对位移概念概括的运动属性的定量描述。以下定义的物理概念与相应的物理量有类似关系, 不再说明。
定义5: 设质点作直线运动, 则质点在时间内位置的改变用坐标在该段时间内的改变量表示, 叫做质点在该段时间内的位移。
说明: ( 1) 直线运动的位移一般定义为矢量, 位移的方向表示质点的运动方向, 位移的大小表示质点离起点的距离;
( 2) 表示质点沿轴正向运动, 表示质点沿轴负向运动。
定义6: 质点经过的径迹长度叫做路程。
说明: 由定义4、 定义5和定义6知, 质点作直线运动时, 位移与路程是不同的概念, 它们的数值一般也不相等。
定义7: 设质点作直线运动, 且在任意相等的时间内经过相等的位移, 则称质点作匀速直线运动。
说明: 由定义7可推得质点作匀速直线运动时, 位移与发生位移所用时间的比值

上式中为任意正值。
定义8: 质点作匀速直线运动时的速度, 简称匀速直线运动的速度, 指质点作匀速直线运动时运动的快慢和方向。
定义9: 设质点作匀速直线运动, 则质点在任意一段时间内的位移与这段时间的比值

叫做质点作匀速直线运动时的速度, 简称匀速直线运动的速度。
说明: ( 1) 匀速直线运动的速度一般定义为矢量, 匀速直线运动速度的大小表示质点的运动快慢, 方向表示质点的运动方向;
( 2) 表示质点沿轴正向运动, 表示质点沿轴负向运动;
( 2) 由匀速直线运动速度的定义可知, 匀速直线运动的速度表示作匀速直线运动的质点在任意一段时间内运动的快慢和方向, 既是平均速度也是瞬时速度。
推论1: 质点作匀速直线运动时, 位移与发生位移所用时间的关系为

定义10: 设质点作直线运动, 且在任意相等的两段时间内经过的位移一般不相等, 则称质点作变速直线运动。
定义11: 平均速度指质点位置随时间的平均变化情况。
定义12: 设质点作变速直线运动, 则质点在时间内经过的位移与的比值

叫做质点作变速直线运动时在时间内的平均速度, 简称变速直线运动的平均速度。
说明: ( 1) 变速直线运动的平均速度一般定义为矢量;
( 2) 表示平均速度沿轴正向, 表示平均速度沿轴负向;
( 3) 一般情况下, 平均速度表示质点位置随时间的平均变化情况, 如果质点沿一个方向运动, 则平均速度表示质点运动的平均快慢和方向。
定义13: 瞬时速度指质点在某时刻运动的快慢和方向。
质点在某时刻的瞬时速度等于从时刻起质点作匀速直线运动的速度。

公理5: 速度公理
设质点作变速直线运动, 瞬时速度等于时平均速度的极限。

说明: ( 1) 变速直线运动的瞬时速度为矢量, 瞬时速度的大小表示时刻质点运动的快慢, 瞬时速度的方向表示时刻质点运动的方向;
( 2) 表示速度沿轴正向, 表示速度沿轴负向。
定理1: 质点在一段时间内的位移等于速度在这段时间内对时间的定积分。
{}

推论2: 对于匀速直线运动
, 有

定义14: 设质点作直线运动, 则质点速度在一段时间内的差( 增量) 叫做速度的改变量, 简称改变, 表示这段时间速度的改变。
说明: ( 1) 速度改变量一般定义为矢量, 的大小表示速度( 数值) 改变的大小, 的方向表示速度( 矢量) 改变的方向;
( 2) 表示速度改变量沿轴正向, 增大; 表示速度改变量沿轴负向, 减小。
定义15: 如果质点作直线运动, 且在任意相等的时间内速度的改变都相等, 则称质点作匀变速直线运动。
定义16: 质点作匀变速直线运动时的加速度, 简称匀变速直线运动的加速度, 指质点作匀变速直线运动时速度( 速度数值、 速度矢量) 随时间变化的快慢和方向。
定义17: 设质点作匀变速直线运动, 在任意一段时间内速度的改变量与这段时间的比值叫做匀变速直线运动的加速度

说明: ( 1) 匀变速直线运动的加速度一般定义为矢量;
( 2) 表示加速度沿轴正向, 表示加速度沿轴负向;
( 3) 由匀变速直线运动加速度的定义可知, 匀变速直线运动的加速度表示作匀变速直线运动的质点在任意一段时间内速度变化的快慢和方向, 既是平均加速度也是瞬时加速度。
推论3: 质点作匀变速直线运动时, 速度的改变与时间的关系为

定义18: 平均加速度指质点在一段时间内速度随时间的平均变化情况。
定义19: 设质点作变速直线运动, 则质点在时间内速度的改变与的比值

叫做质点作变速直线运动时在时间内的平均加速度, 简称变速直线运动的平均加速度。
说明: ( 1) 变速直线运动的平均加速度一般定义为矢量;
( 2) 表示平均加速度沿轴正向, 表示平均加速度沿轴负向;
( 3) 一般情况下, 平均加速度表示质点速度随时间的平均变化情况, 如果质点沿一个方向运动, 则平均加速度表示质点速度( 速度数值、 速度矢量) 随时间变化的平均快慢和方向。
定义20: 设质点作变速直线运动, 瞬时加速度指质点在某时刻速度( 速度数值、 速度矢量) 随时间变化的快慢和方向。
质点在某时刻的瞬时加速度等于从时刻起质点作匀变速直线运动的加速度。
公理6: 加速度公理
设质点作变速直线运动, 瞬时加速度等于时平均加速度的极限。

说明: ( 1) 变速直线运动的瞬时加速度为矢量;
( 2) 表示加速度沿轴正向, 表示加速度沿轴负向。
推论4: 设质点作直线运动, 如果同号, 则质点加速; 如果反号, 则质点减速。
定理2: 质点在一段时间内的速度改变, 等于这段时间内加速度对时间的定积分。
{}
推论4: 对匀变速直线运动
, 有

2.曲线运动
定义1: 对一定的参照系而言, 设质点的运动轨道是一条曲线, 则称质点作曲线运动。
定义2: 位置指质点相对于其它物体的方位。
定义3: 位置矢量是从原点引向质点的矢量, 表示质点的位置。位置矢量用表示, 即

公理3: 位置公理
质点的位矢是时间的函数, 记作

定义4: 位移概念指质点位置的变化。
定义5: 位移是由质点的初位置引向末位置的矢量。
定义6: 质点经过的径迹长度叫做路程。
说明: 由定义4、 定义5和定义6知, 质点作曲线运动时, 位移与路程是不同的概念, 它们的数值一般也不相等。
定义7: 设质点作直线运动, 且在任意相等的时间内经过相等的位移, 则称质点作匀速直线运动。
说明: ( 1) 匀速直线运动是研究曲线运动的基础, 故先讨论;
( 2) 由定义5可推得质点作匀速直线运动时, 位移与发生位移所用时间的比值

上式中为任意正值。
定义8: 质点作匀速直线运动时的速度, 简称匀速直线运动的速度, 指质点作匀速直线运动时运动的快慢和方向。
定义9: 设质点作匀速直线运动, 则在任意一段时间内的位移与这段时间的比值

叫做质点作匀速直线运动时的速度, 简称匀速直线运动的速度。
说明: ( 1) 匀速直线运动速度的大小表示质点的运动快慢, 方向表示质点的运动方向;
( 2) 由匀速直线运动速度的定义可知, 匀速直线运动的速度表示作匀速直线运动的质点在任意一段时间内运动的快慢和方向, 既是平均速度也是瞬时速度。
推论1: 设质点作匀速直线运动, 则位移与发生位移所用时间的关系为

定义10: 平均速度指质点位置随时间的平均变化情况。
定义11: 设质点作曲线运动, 则质点在时间内经过的位移与的比值

叫做质点作曲线运动时在时间内的平均速度, 简称平均速度。
说明: 一般情况下, 平均速度表示质点位置随时间的平均变化情况, 如果质点沿一个方向运动, 则平均速度表示质点运动的平均快慢和方向。
定义12: 瞬时速度指质点在某时刻运动的快慢和方向。
质点在某时刻的瞬时速度等于从时刻起质点作匀速直线运动的速度。
公理5: 速度公理
瞬时速度等于时平均速度的极限。

说明: 瞬时速度的大小和方向分别表示质点在时刻运动的快慢和方向。
定义13: 设质点作曲线运动, 且在任意相等的时间内经过相等的路程, 则称质点作匀速率运动。
定义14: 质点作匀速率运动时的速率, 简称匀速率运动的速度, 指质点作匀速率运动时运动的快慢。
定义15: 设质点作匀速率运动, 则质点在任意一段时间内的路程与这段时间的比值

叫做质点作匀速率运动时的速率, 简称匀速率运动的速率。
说明: 由匀速率运动速率的定义可知, 匀速率运动的速率表示作匀速率运动的质点在任意一段时间内运动的快慢, 既是平均速率也是瞬时速率。
推论2: 质点作匀速率运动时, 路程与经过该路程所用时间的关系为

定义16: 设质点作曲线运动, 平均速率指质点在一段时间内的平均运动快慢。
质点在时间内经过的路程与的比值

叫做质点作曲线运动时在时间内的平均速率, 简称平均速率。平均速率表示质点在一段时间内的平均运动快慢。
定义17. 瞬时速率指质点在时刻的运动快慢。
质点在某时刻的瞬时速率等于从时刻起质点作匀速率运动的速率。
补充公理1: 瞬时速率等于平均速率在时的极限。

说明: 补充公理1可归入公理4。
推论3: 瞬时速度大小等于速率。

定理1: 质点在一段时间内的位移等于速度在这段时间内对时间的定积分

{}

推论3: 对匀速直线运动
, 有

定义18: 速度矢量在一段时间内的差叫做速度的改变量, 表示这段时间速度的改变。
定义19: 如果质点沿曲线运动, 且在任意相等的时间内速度的改变都相等, 则称质点作匀变速运动。
定义20: 质点作匀变速运动时的加速度, 简称匀变速运动的加速度, 指质点作匀变速运动时速度随时间的变化情况。
定义21: 设质点作匀变速运动, 质点在任意一段时间内速度的改变量与这段时间的比值叫做匀变速运动的加速度

说明: 由匀变速运动加速度的定义可知, 匀变速运动的加速度表示作匀变速运动的质点在任意一段时间内速度随时间的变化, 既是平均加速度也是瞬时加速度。
推论4: 质点作匀变速运动时, 速度的改变与时间的关系为

定义22: 平均加速度指质点在一段时间内速度随时间的平均变化情况。
定义23: 设质点作曲线运动, 则质点在时间内速度的改变与的比值

叫做质点作曲线运动时在时间内的平均加速度, 简称平均加速度。
说明: 一般情况下, 平均加速度表示质点速度随时间的平均变化情况, 如果质点沿一个方向运动, 则平均加速度表示质点速度( 速度数值、 速度矢量) 随时间变化的平均快慢和方向。
定义24: 瞬时加速度指质点在某时刻速度随时间变化的情况, 用物理量瞬时加速度表示, 质点在某时刻的瞬时加速度等于从时刻起质点作匀变速运动的加速度。
公理6: 加速度公理
瞬时加速度等于时平均加速度的极限。

定理2: 质点在一段时间内的速度改变, 等于这段时间内加速度对时间的定积分。
{}

推论5: 对匀变速直线运动
, 有

3.质点运动学矢量定理
由空间公理和以下描述质点运动的物理量的定义证明这些物理量是矢量, 并推出运动叠加原理。
定义1: 若一个量有大小和方向, 且加法服从三角形法则, 则该量为三维矢量, 简称矢量。
即若一个量有大小和方向, 且能分成两个有大小和方向的量, 表示这三个量的有向线段围成有向线段三角形( 简称三个有向线段围成三角形) , 则该量为矢量。特别的是一个矢量能够作正交分解。
判定法则: 一个有大小和方向的量如果能作正交分解, 则这个量为矢量。
定理一.如果物理空间是欧几里得空间, 则位移是矢量。
证明: 根据空间公理, 物理空间是欧几里得空间, 因此空间中任意三个点组成平面三角形。因此分位移组成三角形, 根据矢量的定义位移为矢量。证毕。
推论: 如果物理空间是欧几里得空间, 则位矢、 匀速直线运动的瞬时速度、 平均速度、 瞬时速度、 匀变速直线运动的加速度、 平均加速度和瞬时
加速度都是矢量。
证明: 因为位矢是特殊的位移, 因此位矢是矢量; 由匀速直线运动速度的定义知匀速直线运动的速度能够作正交分解, 因此匀速直线运动的速度是矢量; 由平均速度的定义知平均速度能够作正交分解, 因此平均速度是矢量; 由速度公理知瞬时速度为矢量; 由速度改变量的定义知速度改变量能够作正交分解, 因此速度改变量是矢量; 由匀变速运动加速度的定义知匀变速运动的加速度能够作正交分解, 因此匀变速运动的加速度是矢量; 由平均加速度的定义知平均加速度能够作正交分解, 因此平均加速度是矢量; 由加速度公理知瞬时加速度是矢量。
定理二.描述质点运动的矢量能够作正交分解, 等于相应分矢量的矢量和。
说明: 定理二即运动叠加原理。
证明: 因为位矢是矢量, 因此

因为位移是矢量, 因此

由匀速直线运动瞬时速度的定义得匀速直线运动的瞬时速度

由平均速度的定义得平均速度

由速度公理得瞬时速度

由匀变速运动加速度的定义得匀变速运动的加速度

由平均加速度的定义得平均加速度

由加速度公理得瞬时加速度

( 1) -( 8) 式即运动叠加原理。

4.质点运动学的两类问题
质点运动学的应用问题能够分为两类:
（1） 微分问题
已知运动函数, 求速度和加速度。
（2） 积分问题
已知加速度的变化规律和初始条件, 时、 , 求速度和位矢。
解微分问题的方法是求导, 解积分问题的方法是解微分方程( 积分) 。

5．描述质点运动的物理量在坐标系中的表示( 略)
1.直角坐标系

匀速直线运动的瞬时速度

匀变速直线运动的加速度

平均加速度

瞬时加速度
2.自然坐标系
（1） 弧坐标

（2） 速度

（3） 加速度

3.角坐标系( 圆周运动)
( 1) 角坐标

（3） 角位移

（4） 角速度

（5） 角加速度

6.相对运动(略)
设为静系, 为动系, 相对作平动, 则

相对作匀速直线运动时

( 1) -( 4) 式成立的前提是绝对时空观, 叫做伽利略变换。

五.质点动力学

定义１: 物体保持静止或匀速直线运动状态的属性叫做物体的惯性。
定义２: 物体之间的相互作用叫做物体对物体的作用力, 简称力。

运动公理1:
( 1) 任何物体都有惯性;
( 2) 如果物体不受力, 则物体处于静止或匀速直线运动状态;
( 3) 如果物体受力, 则物体不处于静止或匀速直线运动状态, 即获得加速度。
说明: 这里的表述与二.的表述形式不同, 内容相同。

定义３: 运动公理1( 牛顿第一定律) 在其中成立的参照系叫做惯性系。
推论１: 一个离其它物体足够远的物体( 质点) 确定了一个惯性系。
说明: 离其它物体足够远的物体( 质点) 能够认为不受力, 以该物体为原点和从该物体指向某恒星的直线为坐标轴而建立的参照系为惯性系。
推论2: 相对一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。
证明: 由加速度变换式知, 同一质点对相互作匀速直线运动的两个参照系的加速度相等, 因此自由质点对惯性系和相对惯性系作匀速直线运动的参照系的加速度相等都为零, 因此
相对一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。
推论3: 相对一惯性系不作匀速直线运动的参照系都不是惯性系。
证明: 由加速度变换式知, 自由质点对相对某一惯性系不作匀速直线运动的参照系的加速度都不等于零, 因此相对一惯性系不作匀速直线运动的参照系都不是惯性系。
在惯性系中, 由运动公理( 牛顿定律) 推出的结论都与实验符合。
一个参照系是否为惯性系可由实验确定, 先假设某参照系是惯性系, 运动公理( 牛顿定律) 成立, 如果由运动公理( 牛顿定律) 推出的所有结论都与实验符合, 则该参照系确为惯性系; 反之, 该参照系不是惯性系。
惯性系: 地面参照系( 近似) 、 地球参照系( 近似) 、 太阳参照系( 精确) 、 银河参照系( 很精确) 。
定义4: 对标准物体规定作用在标准物体上的力与标准物体所获得的加速度成正比。若分别以力和作用在标准物体上, 测量得标准物体的加速度分别为和, 则有

即 　　
规定当标准物体的加速度为时, 力
则
由此可确定作用标准物体上的力的大小。
将力经过轻弹簧施予标准物体, 作用力的大小与弹簧的形变量有一一对应关系, 由此建立弹簧测力器, 用弹簧测力器能够测量作用在任何物体上的力。
力的方向即力对物体作用的方向。
说明: 该定义中的测量是在惯性系中进行的。
定义5: 物体惯性大小的量度叫做惯性质量, 简称质量。用大小一定的力作用在物体上, 加速度大的物体惯性小, 加速度小的物体惯性大。
对于相同大小的力, 规定物体的质量与物体获得的加速度成反比。若以和分别表示两个物体的质量, 以和分别表示两物体在力作用下所获得的加速度的大小, 则有

规定其中一个物体的质量为质量单位, 则

上式中为单位质量物体的加速度。
实验1:
( １) 对任何物体;
( ２) 加速度与力的方向相同。
实验2:
( １) 对任何相同大小的力都有

( ２) 质量具有可加性。如果用上述方法测得两物体的质量
分别为和, 则把它们结合在一起时, 用上述方法测得的总质量等于与之和。
说明: 以上实验表明, 当外力的大小改变时, 尽管两物体的加速度的大小都随之变化, 但两者的比值却是恒量。这一方面说明, 质量是物体本身的性质, 与外力无关; 另一方面还说明, 加速度与质量成反比的关系具有普遍性。
由实验1、 实验2和力公理得运动公理2:
物体的加速度与作用在物体上的合外力的大小成正比, 与物体的质量成反比, 加速度的方向与合外力的方向相同, 即

在国际单位制中
　 ( 1) 　 或 ( 2)
说明: 实验表明, 当时有

上式为瞬时关系。
当为变力时, 可推测越小, 越接近恒力, 有

假设
( 3) 　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　( 3) 式即运动公理2。
说明: 运动公理2的几个性质
( 1) 瞬时性: 三者的关系为瞬时关系;
( 2) 矢量性: ( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 式为矢量方程 ;
( 3) 相对性: 运动公理2对惯性系适用;
( 4) 叠加性: 几个力的作用效果( 物体获得的加速度) 与它们合力的作用效果相同, 叫力的叠加原理。

定义6: 设物体对物体有作用力, 物体对物体也有作用力, 则物体对物体的力叫做作用力, 记作, 则物体对物体的作用力叫做反作用力, 记作。作用力与反作用力也叫做物体之间的相互作用力。
运动公理3: 两物体之间的作用是相互的, 有作用力就必有反作用力。两物体之间的作用力与反作用力大小相等、 方向相反, 作用在一条直线上。即

说明:
( 1) 运动公理3具有瞬时性、 矢量性和相对性;
( 2) 作用力与反作用力同性、 同时、 反向、 异体;
( 3) 相互作用的速度不是无限大时, 运动公理3( 牛顿第三定律) 不成立, 动量守恒定律依然成立。