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平面最多分割空间问题
祁阳一中　　　　王勇波
高一学了立几后，学生就把思维的灵光扩大到我们所生活的空间，总有同学问我n个平面最多能把空间分成几部分，我跟他们说，这是切西瓜的问题，几个平面即是几刀去切一个大西瓜，三刀以下学生很好理解，四刀以上就搞不定了。要弄清这个问题先要学习“数列”“推理证明”等相关的知识点。
一、 首先要弄清直线分割平面的问题
直线要最多分割平面的前提条件是：任两条直线都要相交，任何三条直线都不能交于同一点。
设n条直线最多分割平面为f（n）部分,一条直线分平面为二部分，即f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝7，…，接下来我们要弄清f（n＋1）与f（n）的内在联系（这个我们初中是接触过的）。
我们来看增加的第n＋1条直线，按照题目的意思知道，没有任何三条直线交于同一点，这样第n＋1条直线与前面n条直线有n个交点，而这n个交点把第n＋1条直线分成n＋1段，而这n＋1段把它所在的区域一分为二，这由n条直线到n＋1条直线平面就增加了n＋1个区域，即f（n＋1）＝f（n）＋n＋1，故有：
f（1）＝2　　　　　　　　 (1)
f（2）＝f（1）＋2 (2)
f（3）＝f（2）＋3 (3)
…………
f（n）＝f（n－1）＋n (n)
上述n个式子相加即有
f（n）＝2＋2＋3＋4＋…＋n=　　 f（1）＝2也适合式子　
故f（n）＝2＋2＋3＋4＋…＋n=（此结论后面有用的）
二、 平面最大分割空间
这里首先要明白平面最大分割空间要满足什么条件，即是所有平面都相交，任何三个平面都不能交于同一条直线。
我们也仿照上面直线分割平面的方法来处理这个问题。
设n个平面最多分割空间为F（n）个区域,一条直线分平面为二部分，即F（1）＝2，F（2）＝4，F（3）＝8，…，接下来我们要弄清F（n＋1）与F（n）的内在联系。
考察第n＋1个平面，前面的n个平面与这个平面相交得n条直线,易知这n条直线两两相交且没有任何三条直线交于同一点，由上面的结论知这n条直线把第n＋1个平面分成　　f（n）部分，而这f（n）部分把它们所在的空间一分为二，这样F（n＋1）＝F（n）＋f（n），故有：
F（1）＝2 (1)
F（2）＝F（1）＋f（1）＝F（1）＋ (2)
F（3）＝F（2）＋f（2）＝F（2）＋ (3)
F（4）＝F（3）＋f（3）＝F（3）＋ (4)
………
F（n）＝F（n－1）＋f（n－1）＝F（n－1）＋ (n)
上述上述n个式子相加即有
F（n）＝2＋＋＋＋…＋
＝n+1+
＝n+1+
＝　　F（1）＝2也适合式子
故F（n）＝
这样n个不同平面最多分割空间为部分。
这个问题实际上是个数学递推的问题，关键要弄清相邻两部分的内在联系，这种方法我们以后会经常用到，还有就是空间问题平面化的化归思想我们要下意识地训练。

2011-12-31