动物数量按年龄段预测问题.doc

案例1
动物数量按年龄段预测问题
适用章节：第二章第二节 矩阵的基本运算（苏德矿 裘哲勇主编《线性代数》）
一、 问题提出：
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁。该动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3。第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为和。假设农场现有三个年龄段的该动物各100头，问15年后农场三个年龄段的该动物各有多少头？
二、 问题的应用背景：
研究动物各年龄段发展的情况，建立农场的规划方案。
三、 涉及知识点：
矩阵的乘法运算法则
四、 解题思路：
本题是矩阵计算的题目，学生需要通过分析找到不同时期不同年龄组的动物之间的数量变化关系，然后转化成矩阵形式来进行计算。
五、 解答过程：
第1步：建立关系式。
因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年。15年后就经过了3个时间周期。设表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数量（k=1，2，3；i=1，2，3）。
因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有

又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有

于是我们得到递推关系式：

第2 步：转化成矩阵的形式
用矩阵表示

则

其中

则有

第3步：类推得到所需结果。

结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%。
六、问题延伸：无
七、参考文献：