刚性构件组成的二自由机械系统动力学.pptx

单自由度机械系统的刚性动单自由度机械系统的刚性动力学分析，采用的是等效力学模力学分析，采用的是等效力学模型方法。多自由度系统分析，本型方法。多自由度系统分析，本章主要介绍基于拉格朗日方程的章主要介绍基于拉格朗日方程的两自由度机械系统分析方法。两自由度机械系统分析方法。自由度和广义坐标自由度和广义坐标1、自由度、自由度 完全确定一个物体在空间位置所需要完全确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目，称为这个物体的自的独立坐标数目，称为这个物体的自由度。由度。系统自由度常用的简化方法：系统自由度常用的简化方法：集中质量法、广义坐标法、有限单元法集中质量法、广义坐标法、有限单元法集中质量法集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点把连续分布的质量集中为几个质点-最直接、最直接、最朴素的一种简化自由度的方法。最朴素的一种简化自由度的方法。对于一个实际动力学问题，应该同时兼顾计算精度和对于一个实际动力学问题，应该同时兼顾计算精度和计算工作量，在不改变所研究问题的本质并保证足够计算工作量，在不改变所研究问题的本质并保证足够的计算精度的前提下，作出合理的假设，尽量减少自的计算精度的前提下，作出合理的假设，尽量减少自由度数简化计算。由度数简化计算。若不计定滑轮的质量，则本系若不计定滑轮的质量，则本系统的两个集中质量统的两个集中质量m1、m2在在任一时刻的位置可分别用它们任一时刻的位置可分别用它们在竖直方向的位移在竖直方向的位移y1（t）和）和y2（t）来确定，系统的自由）来确定，系统的自由度为度为2。若考虑滑轮的质量，由于定滑若考虑滑轮的质量，由于定滑轮做刚体定轴转动，只需用其轮做刚体定轴转动，只需用其转过的角度转过的角度q q(t)就能描述其上就能描述其上所有质点在任何时刻的位置。所有质点在任何时刻的位置。而在绳子不打滑的前提下，而在绳子不打滑的前提下，q q(t)不是独立参量不是独立参量q q(t)=y1(t)/r集中质量法例题集中质量法例题广义坐标法：广义坐标法：广义坐标法是将质量连续分布的动力学系统的位移表广义坐标法是将质量连续分布的动力学系统的位移表达为满足位移边界条件的基函数的线形分布，这些达为满足位移边界条件的基函数的线形分布，这些组合系数就成为广义坐标。组合系数就成为广义坐标。如对长为如对长为l、质量连续分布的简支梁，设在、质量连续分布的简支梁，设在t时刻，时刻，x点点的坐标为的坐标为y（x，t），可将它表示为），可将它表示为在一般情况下，只需用前面有限的在一般情况下，只需用前面有限的n项叠加就项叠加就有足够的精度有足够的精度有限单元法 将实际动力学系统用由有限个仅在节点处相互连接的单元组成的离散系统来代替，对每个单元定义插值函数，用节点的位移来表示单元内任一点的位移，然后将每个单元内各个相应节点的位移叠加，从而建立系统的求解方程。这样，一个无限自由度系统的振动问题，就转化为以节点位移为自由度的有限自由度动力学问题。系统的约束及其分类系统的约束及其分类限制质点系的各个质点的位置和运动的条件称为约束。限制质点系的各个质点的位置和运动的条件称为约束。将约束条件用数学公式表示，就得到相应的约束方程。将约束条件用数学公式表示，就得到相应的约束方程。根据约束方程的形式和所含的变量，约束通常有三种根据约束方程的形式和所含的变量，约束通常有三种分类方法。分类方法。一、定常约束和非定常约束一、定常约束和非定常约束各约束方程中都不显含时间各约束方程中都不显含时间t为定常约束，显含时间为定常约束，显含时间t为非定常约束。为非定常约束。质点受固定曲面约束，约束方程为质点受固定曲面约束，约束方程为单摆的约束方程为单摆的约束方程为铰链四杆机构的约束方程为铰链四杆机构的约束方程为定定常常约约束束非定常约束例为非定常约束例为摆长摆长l随时间变化的单摆，设单摆的原长为随时间变化的单摆，设单摆的原长为l0，拉动绳子的速度拉动绳子的速度v0为常数，则其约束方程为为常数，则其约束方程为二、固执约束和非固执约束二、固执约束和非固执约束单摆借助于不可伸长的柔索或刚杆都可实现质点沿圆周单摆借助于不可伸长的柔索或刚杆都可实现质点沿圆周运动。但柔索只能限制质点向圆周外运动，而不能限制运动。但柔索只能限制质点向圆周外运动，而不能限制质点向圆内运动，其约束方程应写为质点向圆内运动，其约束方程应写为三、完整约束和非完整约束三、完整约束和非完整约束长为长为l不计质量的定不计质量的定长杆连接两个同质量长杆连接两个同质量质点质点,限定中点限定中点C的速的速度度vc必须沿杆的方向必须沿杆的方向两质点距离不变写出方程两质点距离不变写出方程由点由点c速度方向必须沿杆的方向的条件写出方程速度方向必须沿杆的方向的条件写出方程含有坐标导数的方程不能积分成有限形式，即不能归结为只含有坐标导数的方程不能积分成有限形式，即不能归结为只含坐标的方程，这种约束为非完整约束。只包含坐标的（有含坐标的方程，这种约束为非完整约束。只包含坐标的（有时还有时间），成为完整约束。时还有时间），成为完整约束。集中参数系统的自由度和广义坐标是与系统的约集中参数系统的自由度和广义坐标是与系统的约束有连带关系的两个概念。束有连带关系的两个概念。广义坐标具有两个特性，一是完备性，二是独立广义坐标具有两个特性，一是完备性，二是独立性。性。在完整约束的条件下在完整约束的条件下,用来确定质点系在空间的位置所用来确定质点系在空间的位置所需需独立坐标的个数独立坐标的个数,称为质点的自由度或自由度称为质点的自由度或自由度.或写成投影形式：或写成投影形式：i=1,2,3n 广义坐标用广义坐标用qi表示表示,对于定常约束情况而言对于定常约束情况而言如图所示双摆，可用如图所示双摆，可用A、B的坐标来的坐标来描述其运动，但描述其运动，但A、B坐标并不独立，坐标并不独立，满足约束条件：满足约束条件：两个摆角就可以完全描述双摆的运动两个摆角就可以完全描述双摆的运动广义坐标广义坐标自由度自由度机构如图机构如图,轮轮C C作纯滚作纯滚动动3.3.约束方程约束方程(在点在点O 建立直建立直角坐标角坐标)1.1.刚体数目刚体数目 3;3;2.2.定轴转动刚体定轴转动刚体 OA ;平面运动刚体平面运动刚体 AB及轮及轮C ;结论结论:8个约束方程个约束方程4.广义坐标广义坐标5.自由度计算自由度计算广义坐标数为:3n-s=1,即:自由度约束方程数或刚体数n=3选广义坐标为选广义坐标为:自由度恒等于广义坐标数自由度恒等于广义坐标数总总 结结(1)检查刚体检查刚体(质点质点)数目数目 n n。(2)检查各刚体的运动形式检查各刚体的运动形式。(3)(3)列写出约束方程。列写出约束方程。(4)(4)计算自由度计算自由度,确定广义坐标确定广义坐标。(a)空间刚体系空间刚体系 k k=6=6n n-s s,空间质点系空间质点系 k k=3=3n-sn-s(b)平面刚体系平面刚体系 k k=3=3n-sn-s,平面质点系平面质点系 k k=2=2n-sn-s 广义坐标1、两个质点自由度的变化M1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)zxyo六个坐标x1，x2，y1，y2，z1，z2(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2=l2六个坐标x1，x2，y1，y2，z1，z2五个坐标自由自由度为五zM1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)xyo用一杆限制：构成曲柄连杆机构yM1(x1,y1)M2(x2,y2)xoM1(x1,y1)M2(x2,y2)xoyzM1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)xyoyxoM1(x1,y1)M2(x2,y2)约束方程z1=0z2=0y2=0 x12+y12=R2(x2-x1)2+y12=l2质点系只有一个自由度。n个质点的质点系的自由度没有受到约束：3n受到l个约束：r=3n-l工程问题：约束多，自由度数目较少。r=3n-l 不方便。工程的改进方法适当选择独立变量独立变量描述质点系的位置广义坐标：独立变量独立变量三、广义坐标应用x1=Rcosy1=Rsinz1=0y2=0z2=0yxoM1(x1,y1)M2(x2,y2)1、曲柄连杆机构2、双摆锤oyxa bM1(x1,y1)M2(x2,y2)3、小结n个质点l个约束广义坐标：q1、q2、qr任意一点直角坐标(xi,yi,zi)为广义坐标的函数xi=xi(q1,q2,qr)yi=yi(q1,q2,qr)zi=zi(q1,q2,qr)i=1,2,n;r=1,2,3n-l质量为质量为m的小环的小环P被限制在一个被限制在一个半径为半径为R的光滑大圆环上的光滑大圆环上,大圆大圆环绕过大环中心的铅垂轴以环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动的角速度均匀转动,以小环为系以小环为系统统,试确定其自由度试确定其自由度.质点在球坐标系中用质点在球坐标系中用r,描述描述非定常约束非定常约束练习练习虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移M实位移实位移：在无限小时间间隔在无限小时间间隔d dt t内内,系统的真实运动所产生的位移系统的真实运动所产生的位移所谓真实运动所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此条件的系统运动。因此,在任意时刻在任意时刻,系统的实位移是惟一的。系统的实位移是惟一的。虚位移与实位移虚位移与实位移虚位移不惟一虚位移不惟一虚位移可以是线位移，也可以是角位移虚位移可以是线位移，也可以是角位移虚位移原理虚位移原理与广义力与广义力（1 1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。（2 2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关，）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关，实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间有关。以是有限值，而且与时间有关。虚位移与实位移的区别与联系虚位移与实位移的区别与联系（4 4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 ，在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。（3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。虚位移与实位移区别与联系 无限小的位移 无限小或有限位移有多种不同方向 有确定的方向 仅与约束有关 与约束、所受力及运动情况有关虚位移实位移二、虚位移的分析方法二、虚位移的分析方法 1 1、几何法、几何法（虚速度法）自由度：k322211在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系。等同于各点之间的虚速度的关系。2 2、解析法、解析法(i=1,n)2 1BAabxyn个质点自由度为k取广义坐标：自由度：2取广义坐标：1，2虚位移原理虚位移原理 一、虚功一、虚功理想约束力的虚功：理想约束力的虚功：理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。(a)即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等；(b)即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等.(c)即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；(d)即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。主动力的虚功：主动力的虚功：计算方法与力的元功计算一样。二、虚位移原理（虚功原理）二、虚位移原理（虚功原理）具具有有双双侧侧、定定常常、理理想想约约束束的的质质点点系系，在在给给定定位位置置平平衡衡的的充充要要条条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。解析式解析式矢量形式的虚位移原理：矢量形式的虚位移原理：直角坐标形式的虚位移原理：直角坐标形式的虚位移原理：例例1：已知已知 OA=L，试求试求系统在图示位置平衡时，系统在图示位置平衡时，力偶矩力偶矩M与力与力F的关系的关系（不计摩擦）。（不计摩擦）。ABO基本步骤：基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 ABO解：解：例例2:图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆A、B长为长为l,，杆重和摩擦力不计杆重和摩擦力不计，试求试求:在图示位置平在图示位置平衡时主动力衡时主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。xyO 1.几何法几何法2.解析法解析法解：解：xyO rB rA例3.图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力 ，此力位于平面 内。作用线平分 。设 ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。虚功方程解：取机构为研究对象，受力如图建立图示坐标系，以 角为自变量其中力和虚位移都是代数值，、正向为正如两点的虚位移为，根据虚位移原理，有代入虚功方程得对坐标变分写出B点和C点的坐标能否用虚位移原理求约束反力？例4：多跨静定梁所受荷载如图所示。试求链杆D的约束反力。图中长度单位为米。解：去除D点的约束，用约束反力 代替，将 作为主动力给系统一虚位移，则由几何关系虚功方程如何求虚位移间的关系结束语：虚位移原理与达朗伯原理相结合，又为非自由质点系动力学问题建立了普遍方程，是分析力学的基础。几何静力学平衡条件只是刚体平衡的充分必要条件，虚位移原理是质点系平衡的充分必要条件。用几何静力学平衡条件求一些机构的平衡问题极不方便，虚位移原理是求解静力平衡问题有效而普遍的方法。广义力广义力 可得：可得：交换求和次序，有交换求和次序，有 记：记：为广义力为广义力 则：广义力的求法广义力的求法1、用公式直接计算、用公式直接计算对于保守系统，如果主动力是有势力，则势能对于保守系统，如果主动力是有势力，则势能V已知时，主动已知时，主动力和势能的关系为：力和势能的关系为：广义力可表示为：广义力可表示为：由于广义坐标变分由于广义坐标变分d dqj的任意性，因此要使方程恒能满足，则所的任意性，因此要使方程恒能满足，则所有有 qj前的系数都应等于零，即前的系数都应等于零，即具有固执、定长理想约束的完整系统，平衡的必要和充分条件为：具有固执、定长理想约束的完整系统，平衡的必要和充分条件为：对应于每一广义坐标的广义力都等于零。对应于每一广义坐标的广义力都等于零。2、利用虚位移原理间接计算、利用虚位移原理间接计算 给给qj一个增量一个增量qj，而其他广义坐标保持不变，即虚位，而其他广义坐标保持不变，即虚位移是相互独立的，可令移是相互独立的，可令主动力元功之和为因而有例例 如图所示，在螺旋压榨机的手柄如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在上作用一在水平面内的力偶水平面内的力偶 ，其力偶矩，其力偶矩 M=2Fl，螺杆的，螺杆的导程为导程为h。求：机构平衡时加在被压物体上的力。求：机构平衡时加在被压物体上的力。解：给虚位移解：给虚位移满足如下关系：满足如下关系：例例 图中所示结构，各杆自重不计，在图中所示结构，各杆自重不计，在点作用一铅直点作用一铅直向上的力向上的力，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求：支座求：支座的水平约束力。的水平约束力。解解:解除解除B B 端水平约束端水平约束,以力以力FBx 代替代替,如图如图 (b)(b)。带入虚功方程带入虚功方程 在弹簧处也代之以力，如图，其中在弹簧处也代之以力，如图，其中 如图在如图在CG间加一弹簧，刚度间加一弹簧，刚度K，且已有伸长量，且已有伸长量0，仍求，仍求 FBx。解得解得例题例题3 如图所示如图所示,匀质杆匀质杆OA,质量为质量为m1,长为长为l1,能在能在竖直平面内绕固定的光滑铰链竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动转动,此杆的此杆的 A端用端用光滑铰链与另一根质量为光滑铰链与另一根质量为m2,长为长为l2的匀质杆的匀质杆 AB相连相连.在在 B端有一水平作用力端有一水平作用力 .求处于静平衡时求处于静平衡时,两杆与两杆与铅垂线的夹角铅垂线的夹角1和和 2.Al1Bl2Oxy1、判断约束类型、判断约束类型是否完整约束是否完整约束?是否理想约束是否理想约束?2、判断自由度、判断自由度3、分析受力、分析受力(主动力主动力)ABOxy4、由虚功原理、由虚功原理5、建立坐标系、建立坐标系(必须是静止坐标系必须是静止坐标系)6、转化成广义坐标、转化成广义坐标广义力广义力广义力广义力广义平衡方程广义平衡方程 可求出系统处于静平衡时可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程所满足的方程:所以所以 法二法二 先求出广义力先求出广义力,再写出平衡方程再写出平衡方程s=2,所以有所以有2个广义力个广义力 虚功原理主要用于求解：虚功原理主要用于求解：(1)(1)系统的静平衡位置；系统的静平衡位置；(2)(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系关系.应用虚功原理解题的主要步骤是：应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求看是否满足虚功原理所要求的条件；的条件；(2)正确判断系统的自由度正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；分析并图示系统受到的主动力；(4)通过坐标变换方程通过坐标变换方程,将虚功原理化成将虚功原理化成 的形式的形式,进而得出广义平衡方程进而得出广义平衡方程 对有势系对有势系,求出系统的势能求出系统的势能V 后，后，可通过可通过 得广义平衡方程得广义平衡方程;(5)求解广义平衡方程求解广义平衡方程.达朗贝尔原理与动力学普遍方程达朗贝尔原理与动力学普遍方程达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，故又称为动静法。它借助于的质点和质点系虚加惯性力，动静法在形式上将动力学问题化为静力平衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。设质点系由设质点系由n n个质点组成，其中第个质点的个质点组成，其中第个质点的 质量为质量为 。它在主动力它在主动力 和约束反力和约束反力 作用下运动，其加速度为作用下运动，其加速度为 。则。则点虚加的惯性力点虚加的惯性力 ，相应地有，相应地有（145）对整个质点系而言，这样的零力系共有对整个质点系而言，这样的零力系共有n个，它们综合在个，它们综合在一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程。例：如图所示例：如图所示,电动机定子电动机定子及其外壳总质量为及其外壳总质量为m1,质心质心位于位于O 处处.转子的质量为转子的质量为m2,质心位于质心位于 处处,偏心矩偏心矩e,图示平面为转子的质图示平面为转子的质量对称面量对称面.电动机用地角螺电动机用地角螺钉固定于水平基础上钉固定于水平基础上,转转O与水平基础间的距离为与水平基础间的距离为h.运运动开始时动开始时,转子质心转子质心位于位于最低位置最低位置,转子以匀角速度转子以匀角速度 转动转动.求求:基础与地角螺钉给基础与地角螺钉给电动机总的约束力电动机总的约束力.解解:因因动力学普遍方程和拉格朗日方程动力学普遍方程和拉格朗日方程 动力学普遍方程和拉格朗日方程是分析动动力学普遍方程和拉格朗日方程是分析动力学的内容。分析动力学是把系统作为一个整力学的内容。分析动力学是把系统作为一个整体来考察，并利用动能、势能这类标量函数来体来考察，并利用动能、势能这类标量函数来描述这个系统。对这些函数进行一定的运算，描述这个系统。对这些函数进行一定的运算，就可了解系统的运动特性和获得系统的运动方就可了解系统的运动特性和获得系统的运动方程。程。应用于振动力学、结构动力学、天体力学应用于振动力学、结构动力学、天体力学以及其他机械系统动力学以及其他机械系统动力学动力学普遍方程动力学普遍方程达朗伯原理与虚位移原理结合而得达朗伯原理与虚位移原理结合而得在动力学普遍方程的基础上，通过使用广义坐标，导出适用于在动力学普遍方程的基础上，通过使用广义坐标，导出适用于完整系统的拉格朗日方程。完整系统的拉格朗日方程。达朗伯原理以静力学形式来处理动力学问题。即作用在质点上的达朗伯原理以静力学形式来处理动力学问题。即作用在质点上的主动力、约束反力和假想的惯性力在形式上构成平衡力系。主动力、约束反力和假想的惯性力在形式上构成平衡力系。设质点系由设质点系由n个质点组成，对每一个质点有个质点组成，对每一个质点有系统受的是理想约束，因而有写成解析式，有动力学普遍方程：动力学普遍方程：由虚位移原理，有由虚位移原理，有由于由于上式可写为上式可写为上式是由达朗伯原理和虚位移原理结合而得到上式是由达朗伯原理和虚位移原理结合而得到的结果，称为动力学普遍方程。这个方程是动的结果，称为动力学普遍方程。这个方程是动力学最普遍的方程，任何其它动力学方程都可力学最普遍的方程，任何其它动力学方程都可以作为它的特殊情况推导出来。以作为它的特殊情况推导出来。例：离心调速器由两重球例：离心调速器由两重球A和和B、套筒、套筒C、弹簧以及、弹簧以及4根根连杆所组成。重球连杆所组成。重球A、B各重各重P1，套筒，套筒C重重P2并可沿调速并可沿调速器心轴上下滑移，连杆长均器心轴上下滑移，连杆长均为为l，各连杆的铰链到转轴中，各连杆的铰链到转轴中心的距离为心的距离为a，弹簧的弹簧，弹簧的弹簧常数为常数为k，其上端紧接在转，其上端紧接在转动轴上，下端压住套筒。静动轴上，下端压住套筒。静止时止时(a=0)(a=0)，弹簧为原长不受，弹簧为原长不受力。当调速器以匀角速力。当调速器以匀角速w w转转动时，试求动时，试求w w与重球张开所与重球张开所产生的偏角产生的偏角a a的关系。不计的关系。不计弹簧和各杆重量。弹簧和各杆重量。取系统整体为研究对象，所受主动力有：重力P1、P1、P2；弹簧的弹性力A、B、C三点的坐标为根据动力学普遍方程式，有根据动力学普遍方程式，有将动力学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可以得到与广义将动力学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可以得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程。这就是著名的拉格朗日坐标数目相同的一组独立的微分方程。这就是著名的拉格朗日方程。方程。拉格朗日方程拉格朗日方程在动力学普遍方程中，第一项为主动力虚功，也可用广义坐在动力学普遍方程中，第一项为主动力虚功，也可用广义坐标的形式表示：标的形式表示：第二项是惯性力虚功，也可以用广义坐标的形式表示：第二项是惯性力虚功，也可以用广义坐标的形式表示：代入动力学普遍方程的：代入动力学普遍方程的：由于广义虚位移由于广义虚位移qj都是独立的，因此可以任意选取，为使上都是独立的，因此可以任意选取，为使上式恒成立，必须有式恒成立，必须有当系统为保守系统时，主动力为有势力，可得保守系统的拉格当系统为保守系统时，主动力为有势力，可得保守系统的拉格朗日方程：朗日方程：拉格朗日方程拉格朗日方程系统的动能E与势能V的差可以用拉格朗日函数（或称动势）来表示，即势能与广义速度无关，所以保守系统的拉格朗日方程式可以势能与广义速度无关，所以保守系统的拉格朗日方程式可以写为：写为：系统除受有势力外，还会受到其他非有势力的作用，如果把系统除受有势力外，还会受到其他非有势力的作用，如果把所有非有势力的虚功记为所有非有势力的虚功记为即得：举例举例利用拉格朗日方程建立两自由度机械系统的运动微分的步骤为利用拉格朗日方程建立两自由度机械系统的运动微分的步骤为:(1)选取适当的广义坐标选取适当的广义坐标q1、q2来表示系统的运动状态。来表示系统的运动状态。（2）计算系统的动能）计算系统的动能E，并将动能用广义坐标和广义速度表示。，并将动能用广义坐标和广义速度表示。（3）计算对应于两个广义坐标）计算对应于两个广义坐标q1、q2的广义力的广义力Q1和和Q2。当主动。当主动 力是有势力时，建立用广义坐标表示的势能力是有势力时，建立用广义坐标表示的势能V的表达式，利用势的表达式，利用势能和广义力的关系的关系求广义力。对于非有势力，根据实际问能和广义力的关系的关系求广义力。对于非有势力，根据实际问题所给出的条件，选用公式计算。题所给出的条件，选用公式计算。（4）将求得的）将求得的E、V和和Qj代入两自由度系统的拉格朗日方程中，代入两自由度系统的拉格朗日方程中，并进行运算和简化，即可得到系统的运动微分方程。并进行运算和简化，即可得到系统的运动微分方程。两自由度系统的拉格朗日方程为：两自由度系统的拉格朗日方程为：体系为完整保守平衡系统：例例：一水平的固定光滑钉子：一水平的固定光滑钉子M与光滑铅直墙面的距离为与光滑铅直墙面的距离为d，一长为，一长为l的均匀棒的均匀棒AB搁在钉子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙的夹角搁在钉子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙的夹角解：以解：以M点为原点建立直角坐标系，有点为原点建立直角坐标系，有即1)2)由图由虚功为零即任意，例：用拉格朗日方程推导由质量例：用拉格朗日方程推导由质量m1和和m2通过长通过长l1及及l2的两个无重的两个无重杆杆铰接而成的双摆的运动微分方程。铰接而成的双摆的运动微分方程。例：用拉格朗日方程推导由质量例：用拉格朗日方程推导由质量m1和和m2通过长通过长l1及及l2的两个无重杆的两个无重杆铰接而成的双摆的运动微分方程。铰接而成的双摆的运动微分方程。解：系统的总动能为解：系统的总动能为式中，vA为定轴转动杆件OA端点A的速度；vB为定轴转动杆件AB端点B的速度系统的总动能为系统的总动能为该系统为一保守系统。取平衡位置为零势能位置，则在任意位该系统为一保守系统。取平衡位置为零势能位置，则在任意位置系统的势能为置系统的势能为可求得广义力为可求得广义力为将动能的表达式进行相关的计算，得将动能的表达式进行相关的计算，得将动能的表达式进行相关的计算，得将动能的表达式进行相关的计算，得将上述结果及广义力的表达式代入两自由度系统的拉格朗日方将上述结果及广义力的表达式代入两自由度系统的拉格朗日方程，经整理得到双摆系统的运动微分方程组为程，经整理得到双摆系统的运动微分方程组为简化为：两自由度机械系统动力学方程两自由度机械系统动力学方程（1）选取适当的广义坐标）选取适当的广义坐标q1、q2来表示系统的运动状态。来表示系统的运动状态。（2）计算系统的动能）计算系统的动能E，并将动能用广义坐标和广义速度表示，并将动能用广义坐标和广义速度表示（3）计算对应于两个广义坐标）计算对应于两个广义坐标q1、q2的广义力的广义力Q1和和Q2。当主动。当主动力是有势力时，建立用广义坐标表示的势能力是有势力时，建立用广义坐标表示的势能V的表达式，利用势的表达式，利用势能和广义力的关系求得广义力。对于非有势力，根据实际问题所能和广义力的关系求得广义力。对于非有势力，根据实际问题所给出的条件，选用前述公式计算（给出的条件，选用前述公式计算（53）。）。（4）将求得的）将求得的E、V和和Qi代入两自由度系统的拉格朗日方程中，代入两自由度系统的拉格朗日方程中，并进行计算和简化，即可得到系统的运动微分方程。并进行计算和简化，即可得到系统的运动微分方程。两自由度系统的拉格朗日方程为两自由度系统的拉格朗日方程为系统动能的确定系统动能的确定构件构件i的动能：的动能：具有具有N个运动构个运动构件的平面机构件的平面机构具有的动能具有的动能:1.位移分析位移分析2、速度分析、速度分析各构件质心速度各构件质心速度3、系统总动能的计算式、系统总动能的计算式4、等效转动惯量、等效转动惯量系数系数I11、I22和和I12具有转动惯量的量纲，类似于具有转动惯量的量纲，类似于单自由度系统等效力学模型单自由度系统等效力学模型I11、I22和和I12也可称也可称为二自由度系统的等效转动惯量。为二自由度系统的等效转动惯量。I11、I22和和I12是系统的几何参数、惯性参数和广是系统的几何参数、惯性参数和广义坐标义坐标q1、q2的函数，与广义速度无关。的函数，与广义速度无关。I11、I22和和I12均与两个主动构件同时有关。因而均与两个主动构件同时有关。因而可以理解，对二自由度机械系统不能用将共和可以理解，对二自由度机械系统不能用将共和能量都折算到某一等效构件上去的方法进行动能量都折算到某一等效构件上去的方法进行动力分析。力分析。广义力的确定：广义力的确定：广义力的可根据虚功原理来确定广义力的可根据虚功原理来确定广义力的虚功：广义力的虚功：运动微分方程：运动微分方程：二自由度机械系统的运动微分方程二自由度机械系统的运动微分方程运动微分方程的求解运动微分方程的求解采用四阶龙格采用四阶龙格库塔法，将上式作降阶处理，改写为如下形式：库塔法，将上式作降阶处理，改写为如下形式：引入两个新的自变量引入两个新的自变量经过降阶处理，将一个二元二阶微分方程组变成了一个四元一经过降阶处理，将一个二元二阶微分方程组变成了一个四元一阶微分方程组。这样，就可以套用龙格阶微分方程组。这样，就可以套用龙格库塔法的标准求解库塔法的标准求解格式了。格式了。广义力广义力Q1、Q2和等效转动和等效转动I11、I12、I22，以及方程中的，以及方程中的系数系数A0、B0、A11、B11、A12、B12、A22、B22等均为广等均为广义坐标义坐标q1、q2的函数，因而也均为时间的函数，因而也均为时间t的函数。为求的函数。为求解方程解方程，必须给出初始条件：，必须给出初始条件：根据初始条件可求得根据初始条件可求得t1=t0+h时的广义坐标值时的广义坐标值q11、q21和广义速度值和广义速度值然后再以上述值为初始条件求得然后再以上述值为初始条件求得t2=t1+h时的相应值，时的相应值，依次类推，即可求得所有各分隔点对应时刻的广义依次类推，即可求得所有各分隔点对应时刻的广义坐标值和广义速度值。坐标值和广义速度值。四阶龙格四阶龙格-库塔法的递推公式为库塔法的递推公式为如图所示为一均匀如图所示为一均匀圆柱体沿水平直线圆柱体沿水平直线轨道做无滑动的滚轨道做无滑动的滚动，有一均质杆，动，有一均质杆，长为长为3r，质量为，质量为m，以光滑铰链与圆柱以光滑铰链与圆柱体中心连接，圆柱体中心连接，圆柱体质量为体质量为m，试建立，试建立系统的振动微分方系统的振动微分方程。程。质量为质量为m，半径为的两个完全相同的圆盘做无滑动，半径为的两个完全相同的圆盘做无滑动的滚动，试建立系统的运动微分方程的滚动，试建立系统的运动微分方程建立系统的振动微分方程建立系统的振动微分方程如图所示为如图所示为5弹簧弹簧3质量所组成的系统，试用拉质量所组成的系统，试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。格朗日方程建立系统的运动微分方程。图示五杆机构为一个两自由度系统，各个杆件的长度分别为图示五杆机构为一个两自由度系统，各个杆件的长度分别为l1、l2、l3、l4和和l5，其中，其中l5为机架，四个活动构件均为均质杆，质量为机架，四个活动构件均为均质杆，质量分别为分别为m1、m2、m3和和m4，各个活动杆件的质心位置是，各个活动杆件的质心位置是s1、s2、s3和和s4，杆，杆1和杆和杆4上受到的外力矩分别为上受到的外力矩分别为M1和和M2，杆，杆1杆杆4的的转动角度分别用转动角度分别用q q1 1、q q2 2、q q3 3和和q q4 4表示。用拉格朗日方程来建立表示。用拉格朗日方程来建立此五杆机构的运动微分方程。此五杆机构的运动微分方程。解：解：1、选取广义坐标、选取广义坐标2、位移分析、位移分析式式对对q q1 1求偏导数，得求偏导数，得3、速度分析、速度分析 q q2 2和和q q3 3对时间求导，可得杆对时间求导，可得杆2和杆和杆3转动角速度关于杆转动角速度关于杆1和杆和杆4转动角速度的表达式，即转动角速度的表达式，即四个活动杆件的质心位置为四个活动杆件的质心位置为质心位置对时间求导，可以求出各杆质心速度的表达式，即质心位置对时间求导，可以求出各杆质心速度的表达式，即四个活动构件的转动惯量为四个活动构件的转动惯量为4、计算系统动能、计算系统动能系统的总动能为系统的总动能为系统的势能为系统的势能为建立系统的运动微分方程建立系统的运动微分方程由由便可得到系统总动能的表达式，提取系统总动能表达便可得到系统总动能的表达式，提取系统总动能表达式中的同类项系数，并定义当量转动惯量式中的同类项系数，并定义当量转动惯量I11、I14、I44，即，即由此得到动能表达式：由此得到动能表达式：将所有杆件的势能相加得到系统的总势能为将所有杆件的势能相加得到系统的总势能为因为五杆机构除了受到有势力作用外，还受到非有势力因为五杆机构除了受到有势力作用外，还受到非有势力M1和和M2的作用，可以得到五杆机构的运动微分方程组的作用，可以得到五杆机构的运动微分方程组图示为一差动轮系。已知各轮齿数分别为图示为一差动轮系。已知各轮齿数分别为z1、z2、z3和和z4；中心轮；中心轮1、4对其中心的转动惯量分别为对其中心的转动惯量分别为J1和和J4；固连的行星轮；固连的行星轮2、3齿轮组的质量为齿轮组的质量为m23，它，它们绕自身轴线的转动惯量为们绕自身轴线的转动惯量为J2；系杆；系杆H对中心轴对中心轴线线O1O4的转动惯量为的转动惯量为JH。设作用在轮。设作用在轮1、4和系杆和系杆上的力矩分别上的力矩分别M1、M4和和MH，它们可能为各种运，它们可能为各种运动参数（如转角、角速度或时间）的函数。试列动参数（如转角、角速度或时间）的函数。试列出差动轮系在上述力矩作用下的运动微分方程。出差动轮系在上述力矩作用下的运动微分方程。（3）计算广义力）计算广义力二自由度机械手的动力学问题二自由度机械手的动力学问题图中的二杆机械手由上臂图中的二杆机械手由上臂AB、下臂、下臂BC和手部和手部C组成。在回转副组成。在回转副A处，在机座上安装有伺服电处，在机座上安装有伺服电机（连同减速装置，下同），它产生控制力矩机（连同减速装置，下同），它产生控制力矩M1带动整个机械手动作。在回转副带动整个机械手动作。在回转副B处，在上处，在上臂的端部安装有伺服电机，产生控制力矩臂的端部安装有伺服电机，产生控制力矩M2带带动下臂相对上臂转动。设动下臂相对上臂转动。设AB、BC两臂的长度两臂的长度分别为分别为l1和和l2，B处伺服电机和减速装置的质量处伺服电机和减速装置的质量为为m1，手部，手部C握持的重物质量为握持的重物质量为m2。为简化分。为简化分析，假定此二杆机械手只能在铅垂平面内运动，析，假定此二杆机械手只能在铅垂平面内运动，且臂的自重忽略不计。且臂的自重忽略不计。该系统为一个二自由度系统，广义坐标该系统为一个二自由度系统，广义坐标q q1 1,q,q2 2。q q1,q q2描述描述了关节处电动机的运动，称为关节坐标。手部的运动用了关节处电动机的运动，称为关节坐标。手部的运动用C点的坐标点的坐标xc,yc来描述，称为手部坐标。来描述，称为手部坐标。系统的动能为系统的动能为系统的势能系统的势能将上述各式代入拉格朗日方程，经整理后引入几个简化记号可将上述各式代入拉格朗日方程，经整理后引入几个简化记号可得到如下的二杆机械手动力学微分方程得到如下的二杆机械手动力学微分方程此式中各系数具有一定的物理意义，现分述如下此式中各系数具有一定的物理意义，现分述如下（1）有