2003年湖南高考文科数学真题及答案.doc

2003年湖南高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）直线y2x关于x轴对称的直线方程为（）ABCy2xDy2x2（5分）已知x（，0），cosx，则tan2x等于（）ABCD3（5分）抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为（）ABC8D84（5分）等差数列an中，已知a1，a2+a54，an33，则n为（）A48B49C50D515（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（）ABCD6（5分）设函数若f（x0）1，则x0的取值范围是（）A（1，1）B（1，+）C（，2）（0，+）D（，1）（1，+）7（5分）已知f（x5）lgx，则f（2）（）Alg2Blg32CD8（5分）函数ysin（x+）（0）是R上的偶函数，则（）A0BCD9（5分）已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+30的距离为1，则a（）ABCD10（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（）A2R2BCD11（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tg（）ABCD112（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D6二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）不等式的解集是 14（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）15（4分）在平面几何里，有勾股定理“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ”16（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB1，AA12，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离18（12分）已知复数z的辐角为60，且|z1|是|z|和|z2|的等比中项求|z|19（12分）已知数列an满足a11，an3n1+an1（n2）（）求a2，a3；（）证明20（12分）已知函数f（x）2sinx（sinx+cosx）（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数yf（x）在区间上的图象21（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22（14分）已知常数a0，在矩形ABCD中，AB4，BC4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2003年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）直线y2x关于x轴对称的直线方程为（）ABCy2xDy2x【解答】解：直线yf（x）关于x对称的直线方程为yf（x），直线y2x关于x对称的直线方程为：y2x故选：C2（5分）已知x（，0），cosx，则tan2x等于（）ABCD【解答】解：cosx，x（，0），sinxtanxtan2x故选：D3（5分）抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为（）ABC8D8【解答】解：抛物线yax2的标准方程是x2y，则其准线方程为y2，所以a故选：B4（5分）等差数列an中，已知a1，a2+a54，an33，则n为（）A48B49C50D51【解答】解：设an的公差为d，a2+a54，d4d4，即5d4，解得dan（n1），令an33，即33，解得n50故选：C5（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（）ABCD【解答】解：根据双曲线对称性可知OMF260，tanOMF2，即cb，ab，e故选：B6（5分）设函数若f（x0）1，则x0的取值范围是（）A（1，1）B（1，+）C（，2）（0，+）D（，1）（1，+）【解答】解：当x00时，则x01，当x00时，则x01，故x0的取值范围是（，1）（1，+），故选：D7（5分）已知f（x5）lgx，则f（2）（）Alg2Blg32CD【解答】解：令x52，得x，f（x5）lgx，f（2）lglg2故选：D8（5分）函数ysin（x+）（0）是R上的偶函数，则（）A0BCD【解答】解：当0时，ysin（x+）sinx为奇函数不满足题意，排除A；当时，ysin（x+）sin（x）为非奇非偶函数，排除B；当时，ysin（x+）cosx，为偶函数，满足条件当时，ysin（x+）sinx，为奇函数，故选：C9（5分）已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+30的距离为1，则a（）ABCD【解答】解：由点到直线的距离公式得：，a0，a故选：C10（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（）A2R2BCD【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，所以圆柱的全面积为：s2故选：B11（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tg（）ABCD1【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tg故选：C12（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D6【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径则球的半径R，球的表面积为3，故选：A二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）不等式的解集是（2，4【解答】解：x0，x0，不等式，两边平方得，4xx2x2，2x24x0，解得，x2，x0（舍去），4xx20，0x4，综上得：不等式的解集为：（2，4，故答案为（2，414（4分）在的展开式中，x3的系数是（用数字作答）【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1C99rx9r（）r（）rC99rx92r，令92r3，可得r3，当r3时，有T4x3，故答案15（4分）在平面几何里，有勾股定理“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则SABC2+SACD2+SADB2SBCD2”【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：SABC2+SACD2+SADB2SBCD2故答案为：SABC2+SACD2+SADB2SBCD216（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72种（以数字作答）【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43A3324种4色全用时涂色方法：C21A4448种所以不同的着色方法共有72种故答案为：72三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB1，AA12，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离【解答】解：（1）取BD中点M连接MC，FMF为BD1中点，FMD1D且FMD1D又ECCC1且ECMC，四边形EFMC是矩形EFCC1又FM面DBD1EF面DBD1BD1面DBD1EFBD1故EF为BD1与CC1的公垂线（）解：连接ED1，有VEDBD1VD1DBE由（）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d则AA12，AB1，故点D1到平面DBE的距离为18（12分）已知复数z的辐角为60，且|z1|是|z|和|z2|的等比中项求|z|【解答】解：设z（rcos60+rsin60i），则复数z的实部为由题设|z1|2|z|z2|，即：（z1）（1）|z|r2r+1r，整理得r2+2r10解得r1，r1（舍去）即|z|119（12分）已知数列an满足a11，an3n1+an1（n2）（）求a2，a3；（）证明【解答】解：（）a11，a23+14，a332+413；（）证明：由已知anan13n1，n2故an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1n2当n1时，也满足上式所以20（12分）已知函数f（x）2sinx（sinx+cosx）（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数yf（x）在区间上的图象【解答】解：（1）f（x）2sin2x+2sinxcosx1cos2x+sin2x 所以函数的最小正周期为，最大值为；（2）由（1）列表得：x y11111故函数yf（x）在区间上的图象是：21（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为 令（x，y）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（xx）2+（yy）2r（t）2，其中r（t）10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0x）2+（0y）2（10t+60）2，即，即t236t+2880，解得12t24答：12小时后该城市开始受到台风侵袭22（14分）已知常数a0，在矩形ABCD中，AB4，BC4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值按题意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）设k（0k1），由此有E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）直线OF的方程为：2ax+（2k1）y0，直线GE的方程为：a（2k1）x+y2a0 从，消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y22ay0，整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/8/13 16:20:20；用户：黄熠；邮箱：huangyi12388；学号：716378