2009年海南省高考数学试题及答案（文科）.pdf

-1-2009 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）数学（文史类）数学（文史类）一、选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。（1）已知集合,则 1,3,5,7,9,0,3,6,9,12ABAB (A)(B)3,53,6(C)(D)3,73,9（2）复数 3223ii（A）（B）（C）(D)11ii（3）对变量 有观测数据（，）（），得散点图 1；对变量有观测数据（，）,x y1x1y1,2,.,10i,u v1u1v（i=1,2,，10）,得散点图 2.由这两个散点图可以判断。（A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关（C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关（4）有四个关于三角函数的命题：xR,+=:,1p2sin2x2cos2x122p,x yRsin()sinsinxyxy:x,:3p0,1 cos2sin2xx4psincos2xyxy其中假命题的是（A），（B），（3），（4），1p4p2p4p1p3p2p3p（5）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 1C2(1)x2(1)y2C1C10 xy 2C（A）+=1 （B）+=1 2(2)x2(2)y2(2)x2(2)y（C）+=1 （D）+=1 2(2)x2(2)y2(2)x2(2)y（6）设满足则,x y24,1,22,xyxyxyzxy（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值（7）已知，向量与垂直，则实数的值为 3,2,1,0ab ab2ab（A）（B）（C）（D）17171616（8）等比数列的前 n 项和为，已知，,则 nanS2110mmmaaa2138mSm（A）38 （B）20 （C）10 （D）9（9）如图，正方体的棱线长为 1，线段1111ABCDABC D上 有 两 个 动 点11B DE，F，且，则下列结论中错误的是 12EF（A）ACBE（B）/EFABCD平面（C）三棱锥的体积为定值 ABEF（D）AEFBEF的面积与的面积相等（10）如果执行右边的程序框图，输入，那么输出2,0.5xh 的各个数的和等于（A）3 （B）3.5 （C）4 （D）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（A）（B）2cm48 12 24824 2（C）（D）36 12 23624 2-2-（12）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值。设()min 2,2,10 xf xxx(x0),则的最大值为 f x（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13 题）第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22 题）第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。（13）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。21xyxex（14）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若为2,2P的中点，则抛物线 C 的方程为 。AB（15）等比数列的公比,已知=1，则的前 4 项和=。na0q 2a216nnnaaana4S（16）已知函数的图像如图所示，则 。()2sin()f xx712f 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知，50ABm，于 A 处测得水深，于 B 处测得水深，于 C 处测得水深，求120BCm80ADm200BEm110CFmDEF 的余弦值。（18）（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 PABCPAB（）证明：ABPC（）若，且平面平面，求三棱锥体4PC PACPBCPABC积。（19）（本小题满分 12 分）某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？（）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1：生产能力分组 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150人数 4 8 x5 3 表 2：生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150人数 6 y 36 18（1）先确定，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度,x y与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）-3-(ii)分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据AB用该区间的中点值作代表）。（20）(本小题满分 12 分)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和CxOyx1（）求椭圆的方程 C（）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，PCMPxOPeOM（e 为椭圆 C 的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。M（21）（本小题满分 12 分）已知函数.3223()39f xxaxa xa(1)设，求函数的极值；1a f x(2)若，且当时，12a 恒成立，试确定的取值范围.14a 1,4xa)(xfa请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 41；几何证明选讲 如图，已知ABC 中的两条角平分线和相交于，ADCEHB=60，在F上，且。ACAEAF（1）证明：四点共圆；,B D H E（2）证明：CE 平分DEF。（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程。已知曲线 C：（t 为参数），C：（为参数）。14cos,3sin,xtyt 28cos,3sin,xy（1）化 C，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；12（2）若 C 上的点 P 对应的参数为，Q 为 C 上的动点，求中点到直线 12t2PQM （t 为参数）距离的最小值。332,:2xtCyt （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离，表O,A B MCOMxCy示到距离 4 倍与到距离的 6 倍的和.CACB（1）将表示为的函数；yx（2）要使的值不超过 70，应该在什么范围内取值？yx -4-参考答案参考答案 一、选择题一、选择题（1）D（2）C（3）C（4）A（5）B(6)B（7）A（8）C（9）D（10）B（11）A(12)C 二、填空题二、填空题(13)(14)(15)(16)0 31yx24yx152三、解答题三、解答题(17)解：作交 BE 于 N，交 CF 于 M/DMAC，22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN 6 分 2222()90120150EFBEFCBC在中，由余弦定理，DEF.12 分 2222221301501029816cos22 130 15065DEEFDFDEFDEEF（18）解：（）因为是等边三角形，PAB,90PACPBC 所以,可得。Rt PBCRt PACACBC如图，取中点，连结,ABDPDCD则,所以平面,PDABCDABAB PDC所以。6 分 ABPC（）作，垂足为，连结 BEPCEAE因为，所以，Rt PBCRt PACAEPCAEBE由已知，平面平面，故 8 分 PACPBC90AEB因为，所以都是等腰直角三角形。Rt AEBRt PEB,AEBPEBCEB由已知，得，的面积 4PC 2AEBEAEB2S 因为平面，所以三角锥的体积 PCAEBPABC 12 分 1833VSPC（19）解：（）类工人中和类工人中分别抽查 25 名和 75 名。4 分 AB（）()由，得，485325x 5x ，得。636 1875y15y 频率分布直方图如下 8 分 从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小。9 分 B（ii），485531051151251351451232525252525Ax ，6153618115125135145133.875757575Bx 2575123133.8131.1100100 x A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123，133.8 和 131.1.（20）解：（）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得-5-解得 a=4,c=3,所以椭圆 C 的方程为 17acac 221.167xy（）设 M（x,y）,P(x,),其中由已知得 1y4,4.x 222122.xyexy而，故 34e 2222116()9().xyxy由点 P 在椭圆 C 上得 2211127,16xy代入式并化简得所以点 M 的轨迹方程为轨迹是两条平行于 x 轴的线29112,y 4 7(44),3yx 段12 分（21）解：（）当 a=1 时，对函数求导数，得()f x2()369.fxxx令 12()0,1,3.fxxx 解得列表讨论的变化情况：(),()f xfx x(,1)1（-1，3）3 (3,)()fx+0 0+()f x 极大值 6 极小值-26 所以，的极大值是，极小值是()f x(1)6f(3)26.f（）的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称.22()369fxxaxa若上是增函数，从而 11,()4afx则在 1,4a上的最小值是最大值是()fx 在 1,4a2(1)369,faa2(4)15.faa由于是有 22|()|12,1236912,fxaaxaxaa得 22(1)36912,(4)1512.faaafaaa 且由 14(1)121,(4)120.35faafaaa 得由得所以 1141 4(,1,10,(,.4354 5aa即若 a1,则不恒成立.2|()|1212.1,4|()|12faaaxafxa故当时所以使恒成立的 a 的取值范围是|()|12(1,4)fxa xa1 4(,.4 5（22）解：（）在ABC 中，因为B=60，所以BAC+BCA=120.因为AD,CE 是角平分线，所以HAC+HCA=60，故AHC=120 ，于是EHD=AHC=120.因为EBD+EHD=180，所以 B,D,H,E 四点共圆。（）连结 BH，则 BH 为的平分线，得30 ABCHBD由（）知 B，D，H，E 四点共圆，所以30 CEDHBD 又60，由已知可得，可得30 AHEEBD EFADCEF所以 CE 平分 DEF（23）解：（）222212:(4)(3)1,:1649xyCxyC为圆心是，半径是 1 的圆。1C(4,3)为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆。2Cx（）当时，故 2t(4,4).(8cos,3sin)PQ3(24cos,2sin)2M 为直线，M 到的距离 3C270 xy3C5|4cos3sin13|5d从而当时，取得最小值 43cos,sin55 d8 55（24）解：-6-（）（）依题意，满足 4|10|6|20|,030yxxxx解不等式组，其解集为，所以 4|10|6|20|70,030 xxx9,239,23x