2013年安徽高考数学真题（文科）解析版（word版）.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2013年安徽，文1，5分】设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，所以，故选D【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题（2）【2013年安徽，文2，5分】知，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题（3）【2013年安徽，文3，5分】如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】； ，输出，故选C【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题（4）【2013年安徽，文4，5分】“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故选B【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题（5）【2013年安徽，文5，5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率，故选D【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题（6）【2013年安徽，文6，5分】直线被圆截得的弦长为（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以弦长为，故选C【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题（7）【2013年安徽，文7，5分】设为等差数列的前项和，则（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】，故选A【点评】考查等差数列通项公式和前项公式的应用，以及数列基本量的求解（8）【2013年安徽，文8，5分】函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】表示到原点的斜率；表示与原点连线的斜率，而在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B 【点评】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识（9）【2013年安徽，文9，5分】设的内角所对边的长分别为，若，则角（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由正弦定理，所以；因为，所以，所以，故选B【点评】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度（10）【2013年安徽，文10，5分】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A【点评】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置（11）【2013年安徽，文11，5分】函数的定义域为 【答案】【解析】，求交集之后得的取值范围【点评】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0（12）【2013年安徽，文12，5分】若非负数变量满足约束条件，则的最大值为 【答案】【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过时，取得最大值【点评】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时取最大（13）【2013年安徽，文13，5分】若非零向量满足，则夹角的余弦值为 【答案】【解析】等式平方得：则，即，得【点评】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简（14）【2013年安徽，文14，5分】定义在上的函数满足若当时，则当时， 【答案】【解析】当，则，故，又，所以【点评】考查抽象函数解析式的求解（15）【2013年安徽，文15，5分】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）当时，为四边形；当时，为等腰梯形；当时，与的交点满足；当时，为六边形；当时，的面积为【答案】【解析】（1），等腰梯形，正确，图（1）如下；（2），是菱形，面积为，正确，图（2）如下；（3），画图（3）如下：，正确；（4），如图（4）是五边形，不正确；（5），如下图（5），是四边形，故正确图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面三、解答题：本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定区域内（16）【2013年安徽，文16，12分】设函数（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （2）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到解：（1），当时，此时，所以，的最小值为，此时的集合（2）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得； 然后向左平移个单位，得【点评】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度（17）【2013年安徽，文17，12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： 甲 乙7 5 3 3 25 5 4 3 3 3 1 0 0 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 5 4 4 2 2 0 45678953 3 80 6 9 1 1 2 2 3 3 50 0 2 2 2 3 3 6 6 91 1 5 5 80（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值 解：（1）设甲校高三年级学生总人数为由题意知，即样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为（2）设甲、乙两校样本平均数分别为，根据样本茎叶图可知，因此故的估计值为0.5分【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力（18）【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，已知（1）证明：；（2）若为的中点，求三菱锥的体积解：（1）连接，交于点，连接因为底面是菱形，由知，再由知，面，因此 （2）因为是的中点，所以由知，因为，所以， ，又，即，故由（1）知，面，因此 【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力（19）【2013年安徽，文19，13分】设数列满足，且对任意，函数 满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和解：（1）由， ， 所以 是等差数列而， （2），【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解并考查逻辑推理能力和运算能力（20）【2013年安徽，文20，13分】设函数，其中，区间（1）求的长度（注：区间的长度定义为；（2）给定常数，当时，求长度的最小值解：（1）因为方程有两个实根，故的解集为，因此区间，区间长度为（2）设，则，令，得由于，当时，单调递增；当时，单调递减因此当时，的最小值必定在或处取得而，故因此当时，在区间上取得最小值【点评】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力（21）【2013年安徽，文21，13分】已知椭圆的焦距为4，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为取点，连接，过点作的垂线交轴于点点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由解：（1）因为焦距为4，所以又因为椭圆过点，所以，故，从而椭圆的方程为（2）由题意，点坐标为设，则，再由知，即由于，故因为点是点关于轴的对称点，所以点故直线的斜率又因在上，所以从而故直线的方程为将代入C方程，得再将代入，化简得解得，即直线与椭圆一定有唯一的公共点【点评】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力6