2013年安徽高考数学真题（文科）解析版（word版）.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2013年安徽，文1，5分】设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】，所以，故选D．
【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题．
（2）【2013年安徽，文2，5分】知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】，，，故选A．
【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题．
（3）【2013年安徽，文3，5分】如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】；；；
，输出，故选C．
【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题．
（4）【2013年安徽，文4，5分】“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，故选B．
【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题．
（5）【2013年安徽，文5，5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率，故选D．
【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题．
（6）【2013年安徽，文6，5分】直线被圆截得的弦长为（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）
【答案】C
【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以弦长为，故选C．
【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题．
（7）【2013年安徽，文7，5分】设为等差数列的前项和，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】，，，，故选A．
【点评】考查等差数列通项公式和前项公式的应用，以及数列基本量的求解．
（8）【2013年安徽，文8，5分】函数的图像如图所示，在区间上可找到个
不同的数，使得，则的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】表示到原点的斜率；表示
与原点连线的斜率，而在曲线图像
上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B．
【点评】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识．
（9）【2013年安徽，文9，5分】设的内角所对边的长分别为，若，则角（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】由正弦定理，所以；因为，所以，
，所以，故选B．
【点评】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度．
（10）【2013年安徽，文10，5分】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】，是方程的两根，由，
则又两个使得等式成立，，，其函数图象如下：
如图则有3个交点，故选A．
【点评】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
（11）【2013年安徽，文11，5分】函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】，求交集之后得的取值范围．
【点评】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0．
（12）【2013年安徽，文12，5分】若非负数变量满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过时，，
取得最大值．
【点评】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时取最大．
（13）【2013年安徽，文13，5分】若非零向量满足，则夹角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】等式平方得：则，即，
得．
【点评】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简．
（14）【2013年安徽，文14，5分】定义在上的函数满足．若当时．，则当时， ．
【答案】
【解析】当，则，故，又，
所以．
【点评】考查抽象函数解析式的求解．
（15）【2013年安徽，文15，5分】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）
①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，与的交点满足；④当时，为六边形；⑤当时，的面积为．
【答案】①②③⑤
【解析】（1），等腰梯形，②正确，图（1）如下；（2），是菱形，面积为，⑤
正确，图（2）如下；（3），画图（3）如下：，③正确；
（4），如图（4）是五边形，④不正确；（5），如下图（5），是四边形，故①正确．

图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）
【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面．
三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定
区域内．
（16）【2013年安徽，文16，12分】设函数．
（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；
（2）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到．
解：（1）
，当时，，
此时，，所以，的最小值为，此时的集合
．
（2）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得； 然后向左平移个单位，
得．
【点评】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换．考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度．
（17）【2013年安徽，文17，12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：
甲

乙
7
5 3 3 2
5 5 4 3 3 3 1 0 0
8 6 6 2 2 1 1 0 0
7 5 4 4 2
2 0
4
5
6
7
8
9
5
3 3 8
0 6 9 1 1 2 2 3 3 5
0 0 2 2 2 3 3 6 6 9
1 1 5 5 8
0
（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这
次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值．
解：（1）设甲校高三年级学生总人数为．由题意知，，即．样本中甲校高三年级学生数学成
绩不及格人数为5．据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为．
（2）设甲、乙两校样本平均数分别为，．根据样本茎叶图可知，

．因此．故的估计值为0.5分．
【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力．
（18）【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，．已知．
（1）证明：；
（2）若为的中点，求三菱锥的体积．
解：（1）连接，交于点，连接．因为底面是菱形，，．
由知，．再由知，面，因此．
（2）因为是的中点，所以．由
知，．因为，所以， ，．
又，，即，故．
由（1）知，面，因此．
【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力．
（19）【2013年安徽，文19，13分】设数列满足，，且对任意，函数 满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）由，，，
，， 所以
是等差数列．而，，，．
（2），
．
【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解．并考查逻辑推理能力和运算能力．
（20）【2013年安徽，文20，13分】设函数，其中，区间．
（1）求的长度（注：区间的长度定义为；
（2）给定常数，当时，求长度的最小值．
解：（1）因为方程有两个实根，，故的解集为，
因此区间，区间长度为．
（2）设，则，令，得．由于，当时，，
单调递增；当时，，单调递减．因此当时，的最
小值必定在或处取得．而，故．
因此当时，在区间上取得最小值．
【点评】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．
（21）【2013年安徽，文21，13分】已知椭圆的焦距为4，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，
过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线
是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由．
解：（1）因为焦距为4，所以．又因为椭圆过点，所以，故，，
从而椭圆的方程为．
（2）由题意，点坐标为．设，则，．
再由知，，即．由于，故．
因为点是点关于轴的对称点，所以点．故直线的斜率．
又因在上，所以①从而．故直线的方程为②
将②代入C方程，得．③再将①代入③，化简得．
解得，，即直线与椭圆一定有唯一的公共点．
【点评】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力．
6