2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）（含解析版）.pdf

2007 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷（全国卷）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 48 分）分）1（4 分）是第四象限角，则 sin=（）A B C D 2（4 分）设 a 是实数，且是实数，则 a=（）A B1 C D2 3（4 分）已知向量，则 与（）A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向 4（4 分）已知双曲线的离心率为 2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A B C D 5（4 分）设 a，bR，集合1，a+b，a=0，b，则 ba=（）A1 B1 C2 D2 6（4 分）下面给出的四个点中，到直线 xy+1=0 的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）7（4 分）如图，正棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为（）A B C D 8（4 分）设 a1，函数 f（x）=logax 在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则 a=（）A B2 C D4 9（4 分）f（x），g（x）是定义在 R 上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件 B充分而不必要的条件 C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件 10（4 分）的展开式中，常数项为 15，则 n=（）A3 B4 C5 D6 11（4 分）抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是（）A4 B C D8 12（4 分）函数 f（x）=cos2x2cos2的一个单调增区间是（）A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种（用数字作答）14（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=log3x（x0）的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=15（5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为 16（5 分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 82 分）分）17（12 分）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsinA（）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围 18（12 分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元，表示经销一件该商品的利润（）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P（A）；（）求 的分布列及期望 E 19（14 分）四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2，SA=SB=（）证明：SABC；（）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小 20（14 分）设函数 f（x）=exex（）证明：f（x）的导数 f（x）2；（）若对所有 x0 都有 f（x）ax，求 a 的取值范围 21（14 分）已知椭圆的左右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线交椭圆于 B、D 两点，过 F2的直线交椭圆于 A、C 两点，且 ACBD，垂足为 P（）设 P 点的坐标为（x0，y0），证明：；（）求四边形 ABCD 的面积的最小值 22（16 分）已知数列an中，a1=2，n=1，2，3，（）求an的通项公式；（）若 数 列 bn中，b1=2，n=1，2，3，证 明：，n=1，2，3，2007 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷（全国卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 48 分）分）1（4 分）（2007全国卷）是第四象限角，则 sin=（）A B C D【分析】根据 tan=，sin2+cos2=1，即可得答案【解答】解：是第四象限角，=，sin2+cos2=1，sin=故选 D 2（4 分）（2007全国卷）设 a 是实数，且是实数，则 a=（）A B1 C D2【分析】复数分母实数化，化简为 a+bi（a、bR）的形式，虚部等于 0，可求得结果【解答】解设 a 是实数，=是实数，则 a=1，故选 B 3（4 分）（2007全国卷）已知向量，则与（）A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得【解答】解：向量，得，故选 A 4（4 分）（2007全国卷）已知双曲线的离心率为 2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A B C D【分析】根据焦点坐标求得 c，再根据离心率求得 a，最后根据 b=求得 b，双曲线方程可得【解答】解已知双曲线的离心率为 2，焦点是（4，0），（4，0），则 c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选 A 5（4 分）（2007全国卷）设 a，bR，集合1，a+b，a=0，b，则ba=（）A1 B1 C2 D2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得 a+b=0，进而分析可得a、b 的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，集合，又a0，a+b=0，即 a=b，b=1；故 a=1，b=1，则 ba=2，故选 C 6（4 分）（2007全国卷）下面给出的四个点中，到直线 xy+1=0 的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【分析】要找出到直线 xy+1=0 的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论【解答】解给出的四个点中，（1，1），（1，1），（1，1）三点到直线xy+1=0 的距离都为，但，仅有（1，1）点位于表示的平面区域内 故选 C 7（4 分）（2007全国卷）如图，正棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为（）A B C D【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中 A1BC1用余弦定理求解即可【解答】解如图，连接 BC1，A1C1，A1BC1是异面直线 A1B 与 AD1所成的角，设 AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，A1BC1的余弦值为，故选 D 8（4 分）（2007全国卷）设 a1，函数 f（x）=logax 在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则 a=（）A B2 C D4【分析】因为 a1，函数 f（x）=logax 是单调递增函数，最大值与最小值之分别为 loga2a、logaa=1，所以 loga2alogaa=，即可得答案【解答】解a1，函数 f（x）=logax 在区间a，2a上的最大值与最小值之分别为 loga2a，logaa，loga2alogaa=，a=4，故选 D 9（4 分）（2008上海）f（x），g（x）是定义在 R 上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件 B充分而不必要的条件 C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值【解答】解若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有 f（x）=f（x），g（x）=g（x），h（x）=f（x）+g（x）=f（x）+g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取 f（x）=x2+x，g（x）=2x，h（x）=x2+2 是偶函数，而 f（x），g（x）均不是偶函数”，故选 B 10（4 分）（2007全国卷）的展开式中，常数项为 15，则 n=（）A3 B4 C5 D6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 求出常数项，据 n 的特点求出 n 的值【解答】解：的展开式中，常数项为 15，则，所以 n 可以被 3 整除，当 n=3 时，C31=315，当 n=6 时，C62=15，故选项为 D 11（4 分）（2007全国卷）抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是（）A4 B C D8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过 F 且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得 A 的坐标，再由 AKl，垂足为 K，可求得 K 的坐标，根据三角形面积公式可得到答案【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0），准线为 l：x=1，经过 F 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A（3，2），AKl，垂足为 K（1，2），AKF 的面积是 4 故选 C 12（4 分）（2007全国卷）函数 f（x）=cos2x2cos2的一个单调增区间是（）A B C D【分析】化简函数为关于 cosx 的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误【解答】解函数=cos2xcosx1，原函数看作 g（t）=t2t1，t=cosx，对于 g（t）=t2t1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx 减函数，且，原函数此时是单调增，故选 A 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）（2007全国卷）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员，再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员，写出即可【解答】解从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员，再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有 C31A42=343=36 种 14（5 分）（2007全国卷）函数 y=f（x）的图象与函数 y=log3x（x0）的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=3x（xR）【分析】由题意推出 f（x）与函数 y=log3x（x0）互为反函数，求解即可【解答】解函数 y=f（x）的图象与函数 y=log3x（x0）的图象关于直线 y=x对称，则 f（x）与函数 y=log3x（x0）互为反函数，f（x）=3x（xR）故答案为：3x（xR）15（5 分）（2007全国卷）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【分析】先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用 a1和 q分别表示出 S1，S2和 S3，代入即可求得 q【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又 4S2=S1+3S3，即 4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解 故答案为 16（5 分）（2007全国卷）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为2【分析】由于正三棱柱的底面 ABC 为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边 EF 上的中线 DG 的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形 DEF 的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可【解答】解：一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF=90，已知正三棱柱的底面边长为 AB=2，则该三角形的斜边 EF 上的中线 DG=，斜边 EF 的长为 2 故答案为：2 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 82 分）分）17（12 分）（2007全国卷）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsinA（）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围【分析】（1）先利用正弦定理求得 sinB 的值，进而求得 B（2）把（1）中求得 B 代入 cosA+sinC 中利用两角和公式化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的性质求得 cosA+sinC 的取值范围【解答】解：（）由 a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，所以，由ABC 为锐角三角形得（）=由ABC 为锐角三角形知，0A，0A，A，所以 由此有，所以，cosA+sinC 的取值范围为（，）18（12 分）（2007全国卷）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元，表示经销一件该商品的利润（）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P（A）；（）求 的分布列及期望 E【分析】（）由题意知购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款的对立事件是购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款，根据对立事件的概率公式得到结果（2）根据顾客采用的付款期数 的分布列对应于 的可能取值为 200 元，250元，300 元得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望【解答】解：（）由题意知购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款的对立事件是购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款，设 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”，（）根据顾客采用的付款期数 的分布列对应于 的可能取值为 200 元，250元，300 元 得到变量对应的事件的概率 P（=200）=P（=1）=0.4，P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2 的分布列为 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E=2000.4+2500.4+3000.2=240（元）19（14 分）（2007全国卷）四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2，SA=SB=（）证明：SABC；（）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小 【分析】解法一：（1）作 SOBC，垂足为 O，连接 AO，说明 SO底面ABCD利用三垂线定理，得 SABC（）由（）知 SABC，设 ADBC，连接 SE说明ESD 为直线 SD 与平面SBC 所成的角，通过，求出直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 解法二：（）作 SOBC，垂足为 O，连接 AO，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系 Oxyz，通过证明，推出 SABC（）.与的夹角记为，SD 与平面 ABC 所成的角记为，因为为平面SBC 的法向量，利用 与 互余通过，推出直线 SD 与平面 SBC 所成的角为【解答】解法一：（1）作 SOBC，垂足为 O，连接 AO，由侧面 SBC底面 ABCD，得 SO底面 ABCD 因为 SA=SB，所以 AO=BO，又ABC=45，故AOB 为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得 SABC （）由（）知 SABC，依题设 ADBC，故 SAAD，由，又，作 DEBC，垂足为 E，则 DE 平 面 SBC，连 接 SE ESD 为 直 线 SD 与 平 面 SBC 所 成 的 角 所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 解法二：（）作 SOBC，垂足为 O，连接 AO，由侧面 SBC底面 ABCD，得 SO平面 ABCD 因为 SA=SB，所以 AO=BO 又ABC=45，AOB 为等腰直角三角形，AOOB 如图，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系 Oxyz，因为，又，所以，S（0，0，1），所以 SABC （），.与的夹角记为，SD 与平面 ABC 所成的角记为，因为为平面 SBC 的法向量，所以 与 互余，所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 20（14 分）（2007全国卷）设函数 f（x）=exex（）证明：f（x）的导数 f（x）2；（）若对所有 x0 都有 f（x）ax，求 a 的取值范围【分析】（）先求出 f（x）的导函数，利用 a+b2当且仅当 a=b 时取等号得到 f（x）2；（）把不等式变形令 g（x）=f（x）ax 并求出导函数令其=0 得到驻点，在 x0 上求出 a 的取值范围即可【解答】解：（）f（x）的导数 f（x）=ex+ex 由于，故 f（x）2（当且仅当 x=0 时，等号成立）（）令 g（x）=f（x）ax，则 g（x）=f（x）a=ex+exa，（）若 a2，当 x0 时，g（x）=ex+exa2a0，故 g（x）在（0，+）上为增函数，所以，x0 时，g（x）g（0），即 f（x）ax（）若 a2，方程 g（x）=0 的正根为，此时，若 x（0，x1），则 g（x）0，故 g（x）在该区间为减函数 所以，x（0，x1）时，g（x）g（0）=0，即 f（x）ax，与题设 f（x）ax相矛盾 综上，满足条件的 a 的取值范围是（，2 21（14 分）（2007全国卷）已知椭圆的左右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线交椭圆于 B、D 两点，过 F2的直线交椭圆于 A、C 两点，且 ACBD，垂足为 P（）设 P 点的坐标为（x0，y0），证明：；（）求四边形 ABCD 的面积的最小值 【分析】（）椭圆的半焦距，由 ACBD 知点 P 在以线段 F1F2为直径的圆上，故 x02+y02=1，由此可以证出（）设 BD 的方程为 y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k26=0 设 B（x1，y1），D（x2，y2），由 题 意 知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形 ABCD 的面积的最小值【解答】证明：（）椭圆的半焦距，由 ACBD 知点 P 在以线段 F1F2为直径的圆上，故 x02+y02=1，所以，（）（）当 BD 的斜率 k 存在且 k0 时，BD 的方程为 y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k26=0 设 B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为 AC 与 BD 相交于点 P，且 AC 的斜率为，所以，|AC|=四边形ABCD 的面积|BD|AC|=当 k2=1 时，上式取等号（）当 BD 的斜率 k=0 或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 S=4 综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为 22（16 分）（2007全国卷）已知数列an中，a1=2，n=1，2，3，（）求an的通项公式；（）若 数 列 bn中，b1=2，n=1，2，3，证 明：，n=1，2，3，【分 析】（）先 对进 行 整 理 可 得 到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到（）用数学归纳法证明当 n=1 时可得到 b1=a1=2 满足条件，然后假设当 n=k时 满 足 条 件 进 而 得 到当n=k+1 时 再 对进 行 整 理 得 到=，进 而 可 得证【解答】解：（）由题设：=，所 以，数 列是 首 项 为，公 比 为的 等 比 数 列，即 an的通项公式为，n=1，2，3，（）用数学归纳法证明（）当 n=1 时，因，b1=a1=2，所以，结论成立（）假设当 n=k 时，结论成立，即，也即 当n=k+1 时，=，又，所以=也就是说，当 n=k+1 时，结论成立 根据（）和（）知，n=1，2，3，参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后）菁优网菁优网 2017 年年 2 月月 4 日日