2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）（含解析版）.doc

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1（4分）是第四象限角，则sin=（）ABCD2（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）AB1CD23（4分）已知向量，则与（）A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向4（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）ABCD5（4分）设a，bR，集合1，a+b，a=0，b，则ba=（）A1B1C2D26（4分）下面给出的四个点中，到直线xy+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）7（4分）如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）ABCD8（4分）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）AB2CD49（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D既不充分也不必要的条件10（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A3B4C5D611（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A4BCD812（4分）函数f（x）=cos2x2cos2的一个单调增区间是（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种（用数字作答）14（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=15（5分）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为16（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为三、解答题（共6小题，满分82分）17（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）求cosA+sinC的取值范围18（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E19（14分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2，SA=SB=（）证明：SABC；（）求直线SD与平面SBC所成角的大小20（14分）设函数f（x）=exex（）证明：f（x）的导数f（x）2；（）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围21（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值22（16分）已知数列an中，a1=2，n=1，2，3，（）求an的通项公式；（）若数列bn中，b1=2，n=1，2，3，证明：，n=1，2，3，2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1（4分）（2007全国卷）是第四象限角，则sin=（）ABCD【分析】根据tan=，sin2+cos2=1，即可得答案【解答】解：是第四象限角，=，sin2+cos2=1，sin=故选D2（4分）（2007全国卷）设a是实数，且是实数，则a=（）AB1CD2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、bR）的形式，虚部等于0，可求得结果【解答】解设a是实数，=是实数，则a=1，故选B3（4分）（2007全国卷）已知向量，则与（）A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得【解答】解：向量，得，故选A4（4分）（2007全国卷）已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）ABCD【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得【解答】解已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A5（4分）（2007全国卷）设a，bR，集合1，a+b，a=0，b，则ba=（）A1B1C2D2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，集合，又a0，a+b=0，即a=b，b=1；故a=1，b=1，则ba=2，故选C6（4分）（2007全国卷）下面给出的四个点中，到直线xy+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【分析】要找出到直线xy+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论【解答】解给出的四个点中，（1，1），（1，1），（1，1）三点到直线xy+1=0的距离都为，但，仅有（1，1）点位于表示的平面区域内故选C7（4分）（2007全国卷）如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可【解答】解如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，A1BC1的余弦值为，故选D8（4分）（2007全国卷）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）AB2CD4【分析】因为a1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2alogaa=，即可得答案【解答】解a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，loga2alogaa=，a=4，故选D9（4分）（2008上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值【解答】解若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（x）=f（x），g（x）=g（x），h（x）=f（x）+g（x）=f（x）+g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10（4分）（2007全国卷）的展开式中，常数项为15，则n=（）A3B4C5D6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=315，当n=6时，C62=15，故选项为D11（4分）（2007全国卷）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A4BCD8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AKl，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AKl，垂足为K（1，2），AKF的面积是4故选C12（4分）（2007全国卷）函数f（x）=cos2x2cos2的一个单调增区间是（）ABCD【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误【解答】解函数=cos2xcosx1，原函数看作g（t）=t2t1，t=cosx，对于g（t）=t2t1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（2007全国卷）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可【解答】解从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有C31A42=343=36种14（5分）（2007全国卷）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（xR）【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，求解即可【解答】解函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，f（x）=3x（xR）故答案为：3x（xR）15（5分）（2007全国卷）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为16（5分）（2007全国卷）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF=90，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，斜边EF的长为2故答案为：2三、解答题（共6小题，满分82分）17（12分）（2007全国卷）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）求cosA+sinC的取值范围【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围【解答】解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得（）=由ABC为锐角三角形知，0A，0A，A，所以由此有，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）18（12分）（2007全国卷）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E【分析】（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果（2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望【解答】解：（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率P（=200）=P（=1）=0.4，P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2的分布列为 200250300P0.40.40.2E=2000.4+2500.4+3000.2=240（元）19（14分）（2007全国卷）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2，SA=SB=（）证明：SABC；（）求直线SD与平面SBC所成角的大小【分析】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，说明SO底面ABCD利用三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，设ADBC，连接SE说明ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为解法二：（）作SOBC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，通过证明，推出SABC（）.与的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，因为为平面SBC的法向量，利用与互余通过，推出直线SD与平面SBC所成的角为【解答】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD因为SA=SB，所以AO=BO，又ABC=45，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由，又，作DEBC，垂足为E，则DE平面SBC，连接SEESD为直线SD与平面SBC所成的角所以，直线SD与平面SBC所成的角为解法二：（）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD因为SA=SB，所以AO=BO又ABC=45，AOB为等腰直角三角形，AOOB如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，因为，又，所以，S（0，0，1），所以SABC（），.与的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，因为为平面SBC的法向量，所以与互余，所以，直线SD与平面SBC所成的角为20（14分）（2007全国卷）设函数f（x）=exex（）证明：f（x）的导数f（x）2；（）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围【分析】（）先求出f（x）的导函数，利用a+b2当且仅当a=b时取等号得到f（x）2；（）把不等式变形令g（x）=f（x）ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x0上求出a的取值范围即可【解答】解：（）f（x）的导数f（x）=ex+ex由于，故f（x）2（当且仅当x=0时，等号成立）（）令g（x）=f（x）ax，则g（x）=f（x）a=ex+exa，（）若a2，当x0时，g（x）=ex+exa2a0，故g（x）在（0，+）上为增函数，所以，x0时，g（x）g（0），即f（x）ax（）若a2，方程g（x）=0的正根为，此时，若x（0，x1），则g（x）0，故g（x）在该区间为减函数所以，x（0，x1）时，g（x）g（0）=0，即f（x）ax，与题设f（x）ax相矛盾综上，满足条件的a的取值范围是（，221（14分）（2007全国卷）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值【分析】（）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出（）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k26=0设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值【解答】证明：（）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，（）（）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k26=0设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=四边形ABCD的面积|BD|AC|=当k2=1时，上式取等号（）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4综上，四边形ABCD的面积的最小值为22（16分）（2007全国卷）已知数列an中，a1=2，n=1，2，3，（）求an的通项公式；（）若数列bn中，b1=2，n=1，2，3，证明：，n=1，2，3，【分析】（）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到（）用数学归纳法证明当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证【解答】解：（）由题设：=，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即an的通项公式为，n=1，2，3，（）用数学归纳法证明（）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立（）假设当n=k时，结论成立，即，也即当n=k+1时，=，又，所以=也就是说，当n=k+1时，结论成立根据（）和（）知，n=1，2，3，参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年2月4日