2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 13 页）2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）函数的定义域为（）Ax|x0 Bx|x1 Cx|x10 Dx|0 x1 2（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（）A B C D 3（5 分）在ABC 中，=，=若点 D 满足=2，则=（）A B C D 4（5 分）设 aR，且（a+i）2i 为正实数，则 a=（）A2 B1 C0 D1 5（5 分）已知等差数列an满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（）A138 B135 C95 D23 6（5 分）若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=（）Ae2x2 Be2x Ce2x+1 De2x+2 7（5 分）已知曲线 y=在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a 的值为（）A2 B C D2 8（5 分）为得到函数的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 9（5 分）设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式0 的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）10（5 分）若直线=1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则（）Aa2+b21 Ba2+b21 C D 11（5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A B C D 12（5 分）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（）A96 B84 C60 D48 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为 14（5 分）已知抛物线 y=ax21 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的第 2 页（共 13 页）三角形面积为 15（5 分）在ABC 中，AB=BC，若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e=16（5 分）等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 CABD 的余弦值为，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 acosBbcosA=c（）求的值；（）求 tan（AB）的最大值 18（12 分）四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE，BC=2，AB=AC（）证明：ADCE；（）设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45，求二面角 CADE 的大小 19（12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+1lnx（）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数 a 的取值范围 20（12 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求 的期望 第 3 页（共 13 页）21（12 分）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l2，经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1，l2于 A，B 两点已知|、|、|成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 22（12 分）设函数 f（x）=xxlnx数列an满足 0a11，an+1=f（an）（）证明：函数 f（x）在区间（0，1）是增函数；（）证明：anan+11；（）设 b（a1，1），整数证明：ak+1b 第 4 页（共 13 页）2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）函数的定义域为（）Ax|x0 Bx|x1 Cx|x10 Dx|0 x1 【考点】33：函数的定义域及其求法菁优网版权所有【分析】偶次开方的被开方数一定非负x（x1）0，x0，解关于 x 的不等式组，即为函数的定义域【解答】解：由 x（x1）0，得 x1，或 x0 又因为 x0，所以 x1，或 x=0；所以函数的定义域为x|x10 故选：C【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为 0，对数函数的真数一定要大于 0，指数和对数的底数大于 0 且不等于 1另外还要注意正切函数的定义域 2（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（）A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】16：压轴题；31：数形结合【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程 s看作时间 t 的函数，我们可以根据实际分析函数值 S（路程）与自变量 t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变 故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有 A 答案满足要求，故选：A【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变 3（5 分）在ABC 中，=，=若点 D 满足=2，则=（）A B C D 【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有 第 5 页（共 13 页）【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求本题也可以根据 D 点把 BC 分成一比二的两部分入手【解答】解：由，故选：A【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的 4（5 分）设 aR，且（a+i）2i 为正实数，则 a=（）A2 B1 C0 D1 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【分析】注意到 a+bi（a，bR）为正实数的充要条件是 a0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai1）i=2a+（a21）i0，a=1故选 D【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围 5（5 分）已知等差数列an满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（）A138 B135 C95 D23 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前 n 项和，根据 a2+a4=4，a3+a5=10 我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前 n 项和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+=95 故选：C【点评】在求一个数列的通项公式或前 n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式 6（5 分）若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=（）Ae2x2 Be2x Ce2x+1 De2x+2 【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数 y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数 y=ln中反解出 x，后再进行 x，y 互换，即得反函数的解析式【解答】解：，x=（ey1）2=e2y2，改写为：y=e2x2 答案为 A【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法 7（5 分）已知曲线 y=在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a 的值为（）A2 B C D2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用 第 6 页（共 13 页）【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到 a 的值【解答】解：y=，y=，曲线 y=在点（3，2）处的切线的斜率 k=，曲线 y=在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，直线 ax+y+1=0 的斜率 k=a=1，即 a=2 故选：D【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用 8（5 分）为得到函数的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案【解答】解：，只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象 故选：A【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移属基础题 9（5 分）设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式0 的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】首先利用奇函数定义与得出 x 与 f（x）异号，然后由奇函数定义求出 f（1）=f（1）=0，最后结合 f（x）的单调性解出答案【解答】解：由奇函数 f（x）可知，即 x 与 f（x）异号，而 f（1）=0，则 f（1）=f（1）=0，又 f（x）在（0，+）上为增函数，则奇函数 f（x）在（，0）上也为增函数，当 0 x1 时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当 x1 时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；当1x0 时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当 x1 时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；所以 x 的取值范围是1x0 或 0 x1 故选：D【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性 10（5 分）若直线=1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则（）Aa2+b21 Ba2+b21 C D 【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果 第 7 页（共 13 页）【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：dr，故选：D【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题 11（5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A B C D 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角【分析】法一：由题意可知三棱锥 A1ABC 为正四面体，设棱长为 2，求出 AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点 A1到底面的距离 A1D 的长度，即知点 B1到底面的距离 B1E 的长度，再求出 AE 的长度，在直角三角形 AEB1中求 AB1与底面 ABC 所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦【解答】解：（法一）因为三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，设为 D，所以三棱锥 A1ABC 为正四面体，设棱长为 2，则AA1B1是顶角为 120等腰三角形，所以 AB1=22sin60=2，A1D=，所以 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为=；（法二）由题意不妨令棱长为 2，点 B1到底面的距离是 B1E，如图，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，设为 D，故 DA=，由勾股定理得 A1D=故 B1E=，如图作 A1SAB 于中点 S，过 B1 作 AB 的垂线段，垂足为 F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形 B1AF 中用勾股定理得：AB1=2，所以 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值 sinB1AE=故选：B 【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力 12（5 分）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（）第 8 页（共 13 页）A96 B84 C60 D48 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果【解答】解：分三类：种两种花有 A42种种法；种三种花有 2A43种种法；种四种花有 A44种种法 共有 A42+2A43+A44=84 故选：B【点评】本题也可以这样解：按 ABCD 顺序种花，可分 A、C 同色与不同色有 43（13+22）=84 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为9 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题【分析】首先作出可行域，再作出直线 l0：y=2x，将 l0平移与可行域有公共点，直线 y=2xz 在 y轴上的截距最小时，z 有最大值，求出此时直线 y=2xz 经过的可行域内的点的坐标，代入z=2xy 中即可【解答】解：如图，作出可行域，作出直线 l0：y=2x，将 l0平移至过点 A 处时，函数 z=2xy 有最大值 9 【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想 14（5 分）已知抛物线 y=ax21 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2 【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据抛物线 y=ax21 的焦点坐标为坐标原点，求得 a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案【解答】解：由抛物线 y=ax21 的焦点坐标为坐标原点得，则 与坐标轴的交点为（0，1），（2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为 故答案为 2【点评】本题主要考查抛物线的应用考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力 15（5 分）在ABC 中，AB=BC，若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e=【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题 第 9 页（共 13 页）【分析】设 AB=BC=1，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率【解答】解：设 AB=BC=1，则，答案：【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算 16（5 分）等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 CABD 的余弦值为，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于 【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可【解答】解：设 AB=2，作 CO面 ABDE，OHAB，则 CHAB，CHO 为二面角 CABD 的平面角，结合等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故 EM，AN 所成角的余弦值故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 acosBbcosA=c（）求的值；（）求 tan（AB）的最大值 【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（）由 正 弦 定 理 的 边 角 互 化，我 们 可 将 已 知 中，进 行 转 化 得 到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值（）由（）的结论，结合角 A，B，C 为ABC 的内角，我们易得 tanA=4tanB0，则 tan（AB）可化为，再结合基本不等式即可得到 tan（AB）的最大值【解答】解：（）在ABC 中，由正弦定理得 即 sinAcosB=4cosAsinB，则；（）由得 tanA=4tanB0 当且仅当时，等号成立，故当时，第 10 页（共 13 页）tan（AB）的最大值为【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式 18（12 分）四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE，BC=2，AB=AC（）证明：ADCE；（）设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45，求二面角 CADE 的大小 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（1）取 BC 中点 F，证明 CE面 ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的（2）在面 AED 内过点 E 作 AD 的垂线，垂足为 G，由（1）知，CEAD，则CGE 即为所求二面角的平面角，CGE 中，使用余弦定理求出此角的大小【解答】解：（1）取 BC 中点 F，连接 DF 交 CE 于点 O，AB=AC，AFBC 又面 ABC面 BCDE，AF面 BCDE，AFCE 再根据，可得CED=FDC 又CDE=90，OED+ODE=90，DOE=90，即 CEDF，CE面 ADF，CEAD（2）在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线，垂足为 G CGAD，CEAD，AD面 CEG，EGAD，则CGE 即为所求二面角的平面角 作 CHAB，H 为垂足 平面 ABC平面 BCDE，矩形 BCDE 中，BEBC，故 BE平面 ABC，CH平面 ABC，故 BECH，而 ABBE=B，故 CH平面 ABE，CEH=45为 CE 与平面 ABE 所成的角 CE=，CH=EH=直角三角形 CBH 中，利用勾股定理求得 BH=1，AH=ABBH=AC1；直角三角形 ACH 中，由勾股定理求得 AC2=CH2+AH2=3+（AC1）2，AB=AC=2 由面 ABC面 BCDE，矩形 BCDE 中 CDCB，可得 CD面 ABC，故ACD 为直角三角形，AD=，故 CG=，DG=，又，则，即二面角 CADE 的大小 【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题 19（12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+1lnx 第 11 页（共 13 页）（）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数 a 的取值范围 【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于 0 即可（2）已知 f（x）在区间（0，）上是减函数，即 f（x）0 在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可【解答】解：（）当 a=3 时，f（x）=x2+3x+1lnx 解 f（x）0，即：2x23x+10 函数 f（x）的单调递增区间是 （）f（x）=2x+a，f（x）在上为减函数，x时2x+a0 恒成立 即 a2x+恒成立 设，则 x时，4，g（x）0，g（x）在上递减，g（x）g（）=3，a3【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强 20（12 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求 的期望 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果【解答】解：（）若乙验两次时，有两种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），乙只用两次的概率为 若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为 第 12 页（共 13 页）甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（）表示依方案乙所需化验次数，的期望为 E=20.6+30.4=2.4【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响 21（12 分）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l2，经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1，l2于 A，B 两点已知|、|、|成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）由 2 个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的 2 个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将 AB 方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，渐近线的倾斜角范围为（0，），渐近线斜率为：，|、|、|成等差数列，|OB|+|OA|=2|AB|，|AB|2=（|OB|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|OA|）2|AB|，可得：，而在直角三角形 OAB 中，注意到三角形 OAF 也为直角三角形，即 tanAOB=，而由对称性可知：OA 的斜率为 k=tan，2k2+3k2=0，；，（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为=1，c=b 由于 AB 的倾斜角为+AOB，故 AB 的斜率为 tan（+AOB）=cot（AOB）=2，AB 的直线方程为 y=2（xb），代入双曲线方程得：15x232bx+84b2=0，x1+x2=，x1x2=，4=，即 16=112b2，b2=9，所求双曲线方程为：=1【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是 2 渐近线的夹角的正切值，属于中档题 22（12 分）设函数 f（x）=xxlnx数列an满足 0a11，an+1=f（an）（）证明：函数 f（x）在区间（0，1）是增函数；（）证明：anan+11；第 13 页（共 13 页）（）设 b（a1，1），整数证明：ak+1b 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令 f（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而 进行证明（2）由题意数列an满足 0a11，an+1=f（an），求出 an+1=ananlnan，然后利用归纳法进行证明；（3）由题意 f（x）=xxlnx，an+1=f（an）可得 ak+1=akbak，然后进行讨论求解【解答】解：（）证明：f（x）=xxlnx，f（x）=lnx，当 x（0，1）时，f（x）=lnx0 故函数 f（x）在区间（0，1）上是增函数；（）证明：（用数学归纳法）（i）当 n=1 时，0a11，a1lna10，a2=f（a1）=a1a1lna1a1，函数 f（x）在区间（0，1）是增函数且函数 f（x）在 x=1 处连续，f（x）在区间（0，1是增函数，a2=f（a1）=a1a1lna11，即 a1a21 成立，（）假设当 x=k（kN+）时，akak+11 成立，即 0a1akak+11，那么当 n=k+1 时，由 f（x）在区间（0，1是增函数，0a1akak+11，得 f（ak）f（ak+1）f（1），而 an+1=f（an），则 ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1ak+21，也就是说当 n=k+1 时，anan+11 也成立，根据（）、（）可得对任意的正整数 n，anan+11 恒成立（）证明：由 f（x）=xxlnx，an+1=f（an）可得 ak+1=akaklnak=，1）若存在某 ik，满足 aib，则由（）知：ak+1baib0，2）若 对 任 意 i k，都 有 ai b，则 ak+1=akaklnak=a1b1ka1lnb=0，即 ak+1b 成立【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题