2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 16 页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的要求的 1（5 分）已知集合 M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，则 MN=（）A2，1，0，1 B3，2，1，0 C2，1，0 D3，2，1 2（5 分）=（）A2 B2 C D1 3（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x3y 的最小值是（）A7 B6 C5 D3 4（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则ABC 的面积为（）A2+2 B C22 D1 5（5 分）设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点 PF2F1F2，PF1F2=30，则 C 的离心率为（）A B C D 6（5 分）已知 sin2=，则 cos2（+）=（）A B C D 7（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=（）A1+B1+C1+D1+8（5 分）设 a=log32，b=log52，c=log23，则（）Aacb Bbca Ccab Dcba 9（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A B 第 2 页（共 16 页）C D 10（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（）Ay=x1 或 y=x+1 By=（x1）或 y=（x1）Cy=（x1）或 y=（x1）Dy=（x1）或 y=（x1）11（5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）=0 B函数 y=f（x）的图象是中心对称图形 C若 x0是 f（x）的极小值点，则 f（x）在区间（，x0）上单调递减 D若 x0是 f（x）的极值点，则 f（x0）=0 12（5 分）若存在正数 x 使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是（）A（，+）B（2，+）C（0，+）D（1，+）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分分 13（4 分）从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 14（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则=15（4 分）已知正四棱锥 OABCD 的体积为，底面边长为，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 16（4 分）函数 y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数 y=sin（2x+）的图象重合，则=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且 a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求 a1+a4+a7+a3n2 18（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点（）证明：BC1平面 A1CD；（）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥 CA1DE 的体积 第 3 页（共 16 页）19（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品以 X（单位：t，100X150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （）将 T 表示为 X 的函数；（）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率 20（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2，在 y 轴上截得线段长为 2（）求圆心 P 的轨迹方程；（）若 P 点到直线 y=x 的距离为，求圆 P 的方程 21（12 分）已知函数 f（x）=x2ex（）求 f（x）的极小值和极大值；（）当曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围 第 4 页（共 16 页）选做题请考生在第选做题请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号时请写清题号 22【选修 41 几何证明选讲】如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAE=DCAF，B、E、F、C 四点共圆（1）证明：CA 是ABC 外接圆的直径；（2）若 DB=BE=EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值 23已知动点 P、Q 都在曲线（为参数）上，对应参数分别为=与=2（02），M 为 PQ 的中点（1）求 M 的轨迹的参数方程；（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 24（14 分）【选修 45；不等式选讲】设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（）（）第 5 页（共 16 页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的要求的 1（5 分）已知集合 M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，则 MN=（）A2，1，0，1 B3，2，1，0 C2，1，0 D3，2，1 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】找出集合 M 与 N 的公共元素，即可求出两集合的交集【解答】解：集合 M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，MN=2，1，0 故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2（5 分）=（）A2 B2 C D1 【考点】A8：复数的模菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【解答】解：=故选：C【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力 3（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x3y 的最小值是（）A7 B6 C5 D3 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数 z=2x3y 的最小值【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点 A（3，4）取最小值 z=2334=6 故选：B 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解 第 6 页（共 16 页）4（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则ABC 的面积为（）A2+2 B C22 D1 【考点】%H：三角形的面积公式；HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】由 sinB，sinC 及 b 的值，利用正弦定理求出 c 的值，再求出 A 的度数，由 b，c 及 sinA 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积【解答】解：b=2，B=，C=，由正弦定理=得：c=2，A=，sinA=sin（+）=cos=，则 SABC=bcsinA=22=+1 故选：B【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 5（5 分）设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点 PF2F1F2，PF1F2=30，则 C 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|PF2|=x，在直角三角形 PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2=30，|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c 2a=3x，2c=x，C 的离心率为：e=故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题 6（5 分）已知 sin2=，则 cos2（+）=（）A B C D 【考点】GE：诱导公式；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：sin2=，cos2（+）=1+cos（2+）=（1sin2）=（1）=故选：A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键 7（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=（）第 7 页（共 16 页）A1+B1+C1+D1+【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】27：图表型【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用 S+的值代替 S 得到新的 S，并用 k+1 代替 k，直到条件不能满足时输出最后算出的 S 值，由此即可得到本题答案【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行 第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1+，第四次：S=1+此时 k=5 时，符合 kN=4，输出 S 的值 S=1+故选：B 【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题 8（5 分）设 a=log32，b=log52，c=log23，则（）Aacb Bbca Ccab Dcba 【考点】4M：对数值大小的比较菁优网版权所有 第 8 页（共 16 页）【专题】11：计算题【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可【解答】解：由题意可知：a=log32（0，1），b=log52（0，1），c=log231，所以 a=log32，b=log52=，所以 cab，故选：C【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查 9（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A B C D 【考点】L7：简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以 zOx 平面为投影面，则得到正视图即可【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以 zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选：A 【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力 10（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（）Ay=x1 或 y=x+1 By=（x1）或 y=（x1）Cy=（x1）或 y=（x1）Dy=（x1）或 y=（x1）【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，可得抛物线焦点为 F（1，0），由此设直线 l 方程为 y=k（x1），与抛物线方程联解消去 x，得yk=0再设 A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于 y1、y2和 k 的方程组，解之可得 k 值，从而得到直线 l 的方程【解答】解：抛物线 C 方程为 y2=4x，可得它的焦点为 F（1，0），设直线 l 方程为 y=k（x1）由消去 x，得yk=0 第 9 页（共 16 页）设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y2=，y1y2=4（*）|AF|=3|BF|，y1+3y2=0，可得 y1=3y2，代入（*）得2y2=且3y22=4，消去 y2得 k2=3，解之得 k=直线 l 方程为 y=（x1）或 y=（x1）故选：C 【点评】本题给出抛物线的焦点弦 AB 被焦点 F 分成 1：3 的两部分，求直线 AB 的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题 11（5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）=0 B函数 y=f（x）的图象是中心对称图形 C若 x0是 f（x）的极小值点，则 f（x）在区间（，x0）上单调递减 D若 x0是 f（x）的极值点，则 f（x0）=0 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用【分析】对于 A，对于三次函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，由于当 x时，y，当 x+时，y+，故在区间（，+）肯定存在零点；对于 B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于 C：采用取特殊函数的方法，若取 a=1，b=1，c=0，则 f（x）=x3x2x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若 x0是 f（x）的极值点，根据导数的意义，则 f（x0）=0，正确【解答】解：A、对于三次函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，A：由于当 x时，y，当 x+时，y+，故x0R，f（x0）=0，故 A 正确；B、f（x）+f（x）=（x）3+a（x）2+b（x）+c+x3+ax2+bx+c=+2c，f（）=（）3+a（）2+b（）+c=+c，f（x）+f（x）=2f（），点 P（，f（）为对称中心，故 B 正确 C、若取 a=1，b=1，c=0，则 f（x）=x3x2x，对于 f（x）=x3x2x，f（x）=3x22x1 由 f（x）=3x22x10 得 x（，）（1，+）由 f（x）=3x22x10 得 x（，1）函数 f（x）的单调增区间为：（，），（1，+），减区间为：（，1），故 1 是 f（x）的极小值点，但 f（x）在区间（，1）不是单调递减，故 C 错误；D：若 x0是 f（x）的极值点，根据导数的意义，则 f（x0）=0，故 D 正确 由于该题选择错误的，故选：C 第 10 页（共 16 页）【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算 12（5 分）若存在正数 x 使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是（）A（，+）B（2，+）C（0，+）D（1，+）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】转化不等式为，利用 x 是正数，通过函数的单调性，求出 a 的范围即可【解答】解：因为 2x（xa）1，所以，函数 y=是增函数，x0，所以 y1，即 a1，所以 a 的取值范围是（1，+）故选：D【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分分 13（4 分）从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是0.2 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为 5 的情形，由古典概型的概率公式可得答案【解答】解：从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数共有=10 种情况，和为 5 的有（1，4）（2，3）两种情况，故所求的概率为：=0.2 故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题 14（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则=2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果【解答】解：已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则=0，故=（）（）=（）（）=+=4+00=2，故答案为 2【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题 15（4 分）已知正四棱锥 OABCD 的体积为，底面边长为，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为24 【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积菁优网版权所有 第 11 页（共 16 页）【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 OABCD 的高，再利用直角三角形求出正四棱锥 OABCD 的侧棱长 OA，最后根据球的表面积公式计算即得【解答】解：如图，正四棱锥 OABCD 的体积 V=sh=（）OH=，OH=，在直角三角形 OAH 中，OA=所以表面积为 4r2=24；故答案为：24 【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题 16（4 分）函数 y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数 y=sin（2x+）的图象重合，则=【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题；57：三角函数的图像与性质【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为 y=cos2（x）+的图象，即 y=cos（2x+）的图象结合题意得函数 y=sin（2x+）=的图象与 y=cos（2x+）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出 的值【解答】解：函数 y=cos（2x+）（）的图象向右平移 个单位后，得平移后的图象的函数解析式为 y=cos2（x）+=cos（2x+），而函数 y=sin（2x+）=，由函数 y=cos（2x+）（）的图象向右平移 个单位后，与函数 y=sin（2x+）的图象重合，得 2x+=，解得：=符合 故答案为【点评】本题给出函数 y=cos（2x+）的图象平移，求参数 的值着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数 y=Asin（x+）的图象变换等知识，属于基础题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且 a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求 a1+a4+a7+a3n2 【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】（I）设等差数列an的公差为 d0，利用成等比数列的定义可得，再利用等差数列的通项公式可得，化为 d（2a1+25d）=0，解出 d 即可得到通项公式 an；（II）由（I）可得 a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以 25 为首项，6 为公差的等差数列利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1+a4+a7+a3n2【解答】解：（I）设等差数列an的公差为 d0，由题意 a1，a11，a13成等比数列，化为 d（2a1+25d）=0，第 12 页（共 16 页）d0，225+25d=0，解得 d=2 an=25+（n1）（2）=2n+27（II）由（I）可得 a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以 25 为首项，6 为公差的等差数列 Sn=a1+a4+a7+a3n2=3n2+28n【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式是解题的关键 18（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点（）证明：BC1平面 A1CD；（）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥 CA1DE 的体积 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 DF 为三角形 ABC1的中位线，故 DFBC1再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC1平面 A1CD（）由题意可得此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形，由 D 为 AB 的中点可得 CD平面ABB1A1求得 CD 的值，利用 勾股定理求得 A1D、DE 和 A1E 的值，可得 A1DDE进而求得的值，再根据三棱锥CA1DE 的体积 为CD，运算求得结果【解答】解：（）证明：连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点 直棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点，故 DF 为三角形 ABC1的中位线，故 DFBC1 由于 DF平面 A1CD，而 BC1不在平面 A1CD 中，故有 BC1平面 A1CD （）AA1=AC=CB=2，AB=2，故此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形 由 D 为 AB 的中点可得 CD平面 ABB1A1，CD=A1D=，同理，利用勾股定理求得 DE=，A1E=3 再由勾股定理可得+DE2=，A1DDE=，=CD=1【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题 19（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品以 X（单位：t，100X第 13 页（共 16 页）150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （）将 T 表示为 X 的函数；（）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率 【考点】B8：频率分布直方图菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（I）由题意先分段写出，当 X100，130）时，当 X130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可（II）由（I）知，利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120X150再由直方图知需求量 X120，150的频率为 0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于57000 元的概率的估计值【解答】解：（I）由题意得，当 X100，130）时，T=500X300（130X）=800X39000，当 X130，150时，T=500130=65000，T=（II）由（I）知，利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120X150 由直方图知需求量 X120，150的频率为 0.7，所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义 20（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2，在 y 轴上截得线段长为 2（）求圆心 P 的轨迹方程；（）若 P 点到直线 y=x 的距离为，求圆 P 的方程 【考点】J1：圆的标准方程；J3：轨迹方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点 P 的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；（）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点 P 的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点 P 的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆 P 的方程【解答】解：（）设圆心 P（x，y），由题意得圆心到 x 轴的距离与半径之间的关系为2=y2+r2，同理圆心到 y 轴的距离与半径之间的关系为 3=x2+r2，由两式整理得 x2+3=y2+2，整理得 y2x2=1 即为圆心 P 的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（）由 P 点到直线 y=x 的距离为得，=，即|xy|=1，即 x=y+1 或 y=x+1，分别代入y2x2=1 解得 P（0，1）或 P（0，1）若 P（0，1），此时点 P 在 y 轴上，故半径为，所以圆 P 的方程为（y+1）2+x2=3；若 P（0，1），此时点 P 在 y 轴上，故半径为，所以圆 P 的方程为（y1）2+x2=3；综上，圆 P 的方程为（y+1）2+x2=3 或（y1）2+x2=3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程 21（12 分）已知函数 f（x）=x2ex（）求 f（x）的极小值和极大值；（）当曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围 第 14 页（共 16 页）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用【分析】（）利用导数的运算法则即可得出 f（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与 x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可【解答】解：（）f（x）=x2ex，f（x）=2xexx2ex=ex（2xx2），令 f（x）=0，解得 x=0 或 x=2，令 f（x）0，可解得 0 x2；令 f（x）0，可解得 x0 或 x2，故函数在区间（，0）与（2，+）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数 x=0 是极小值点，x=2 极大值点，又 f（0）=0，f（2）=故 f（x）的极小值和极大值分别为 0，（）设切点为（），则切线方程为 y=（xx0），令 y=0，解得 x=，曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为负数，（0，x00 或 x02，令，则=当 x00 时，0，即 f（x0）0，f（x0）在（，0）上单调递增，f（x0）f（0）=0；当 x02 时，令 f（x0）=0，解得 当时，f（x0）0，函数 f（x0）单调递增；当时，f（x0）0，函数 f（x0）单调递减 故当时，函数 f（x0）取得极小值，也即最小值，且=综上可知：切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是（，0）【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力 选做题请考生在第选做题请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号时请写清题号 22【选修 41 几何证明选讲】如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAE=DCAF，B、E、F、C 四点共圆（1）证明：CA 是ABC 外接圆的直径；（2）若 DB=BE=EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值 【考点】NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】（1）已知 CD 为ABC 外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB=A，及第 15 页（共 16 页）BCAE=DCAF，可知CDBAEF，于是CBD=AFE 利用 B、E、F、C 四点共圆，可得CFE=DBC，进而得到CFE=AFE=90即可证明 CA 是ABC外接圆的直径；（2）要求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值只需求出其外接圆的直径的平方之比即可由过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE，及 DB=BE，可得 CE=DC，利用切割线定理可得 DC2=DBDA，CA2=CB2+BA2，都用 DB 表示即可【解答】（1）证明：CD 为ABC 外接圆的切线，DCB=A，BCAE=DCAF，CDBAEF，CBD=AFE B、E、F、C 四点共圆，CFE=DBC，CFE=AFE=90 CBA=90，CA 是ABC 外接圆的直径；（2）连接 CE，CBE=90，过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE，由 DB=BE，得 CE=DC，又 BC2=DBBA=2DB2，CA2=4DB2+BC2=6DB2 而 DC2=DBDA=3DB2，故过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 面积的外接圆的面积比值=【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键 23已知动点 P、Q 都在曲线（为参数）上，对应参数分别为=与=2（02），M 为 PQ 的中点（1）求 M 的轨迹的参数方程；（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 【考点】QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：（1）依题意有 P（2cos，2sin），Q（2cos2，2sin2），因此 M（cos+cos2，sin+sin2）M 的轨迹的参数方程为为参数，02）（2）M 点到坐标原点的距离 d=（02）当=时，d=0，故 M 的轨迹过坐标原点【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 24（14 分）【选修 45；不等式选讲】设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（）（）【考点】R6：不等式的证明菁优网版权所有【专题】14：证明题；16：压轴题【分析】（）依题意，由 a+b+c=1（a+b+c）2=1a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得 3（ab+bc+ca）1，从而得证；（）利用基本不等式可证得：+b2a，+c2b，+a2c，三式累加即可证得结论【解答】证明：（）由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca 得：a2+b2+c2ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2=1，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以 3（ab+bc+ca）1，即 ab+bc+ca 第 16 页（共 16 页）（）因为+b2a，+c2b，+a2c，故+（a+b+c）2（a+b+c），即+a+b+c 所以+1【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题