2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）.pdf

绝密绝密启用前启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则 2 1,0,1,21ABx x，AB A B C D 1,0,10,11,10,1,22若，则 z=(1 i)2izA B C D 1 i 1+i1 i1+i3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 4（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A12 B16 C20 D24 5已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16 B 8 C4 D 2 6已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 elnxyaxxA Ba=e，b=1 C D，e1ab，1e1ab，1ea1b 7函数在的图象大致为 3222xxxy6,6A B C D 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出的值等于 s A.B.C.D.412251226122712210双曲线 C：=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若，则2242xy=POPFPFO 的面积为 A B C D 3 243 222 23 211设是定义域为 R 的偶函数，且在单调递减，则 f x0,A（log3）（）（）f14f322f232B（log3）（）（）f14f232f322C（）（）（log3）f322f232f14D（）（）（log3）f232f322f1412设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f x5x f x0,2在（）有且仅有 3 个极大值点 f x0,2在（）有且仅有 2 个极小值点 f x0,2在（）单调递增 f x0,10的取值范围是)12 295 10，其中所有正确结论的编号是 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若，则_.25cabcos,a c14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，则_.12103aaa，105SS15设为椭圆 C:的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则12FF，22+13620 xy12MFFM 的坐标为_.16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥1111ABCDABC DOEFGH 后 所 得 几 何 体，其 中 O 为 长 方 体 的 中 心，E，F，G，H 分 别 为 所 在 棱 的 中 点，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料16cm4cmAB=BC=,AA=的质量为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 sinsin2ACabA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.20（12 分）已知函数.32()2f xxaxb（1）讨论的单调性；()f x（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为 1？若存在，求出的所有值；若,a b()f x0,11,a b不存在，说明理由.21已知曲线 C：y=，D 为直线 y=上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.22x12（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积.52（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，弧，所在圆的圆(2,0)A(2,)4B(2,)4C(2,)DABBCCD心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.(1,0)(1,)2(1,)1MAB2MBC3MCD（1）分别写出，的极坐标方程；1M2M3M（2）曲线由，构成，若点在 M 上，且，求 P 的极坐标.M1M2M3MP|3OP 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设，且.,x y zR1xyz（1）求的最小值；222(1)(1)(1)xyz（2）若成立，证明：或.2221(2)(1)()3xyza3a 1a 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）参考答案参考答案 一、选择题 1A 2D 3C 4A 5C 6D 7B 8B 9C 10A 11C 12D 二、填空题 13 144 15 16118.8 23(3,15)三、解答题 17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得 sinsinsinsin2ACABA因为sinA0，所以 sinsin2ACB由，可得，故 180ABCsincos22ACBcos2sincos222BBB因为，故，因此B=60 cos02B1sin22B（2）由题设及（1）知ABC的面积 34ABCSa由正弦定理得 sin 120sin31sinsin2tan2CcAaCCC由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90，由（1）知A+C=120，所以30C0，则 当时，；当时，故在(,0),3ax()0fx0,3ax()0fx()f x单调递增，在单调递减；(,0),3a0,3a若 a=0，在单调递增；()f x(,)若 a0，则 当时，；当时，故在,(0,)3ax()0fx,03ax()0fx()f x单调递增，在单调递减.,(0,)3a,03a（2）满足题设条件的 a，b 存在.（i）当 a0 时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大()f x()f x(0)=fb值为.此时 a，b 满足题设条件当且仅当，即 a=0，(1)2fab1b 21ab1b （ii）当 a3 时，由（1）知，在0，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最()f x()f x(0)=fb小值为此时 a，b 满足题设条件当且仅当，b=1，即 a=4，b=1(1)2fab21ab（iii）当 0a3 时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为 b 或()f x3327aafb 2ab若，b=1，则，与 0a3 矛盾.3127ab 33 2a 若，则或或 a=0，与 0a3 矛盾 3127ab 21ab3 3a 3 3a 综上，当且仅当 a=0，或 a=4，b=1 时，在0，1的最小值为1，最大值为 1 1b ()f x21解：（1）设，则.111,2D tA x y2112xy由于，所以切线DA的斜率为，故.yx1x11112yxxt整理得 1122+1=0.txy设，同理可得.22,B xy2222+1=0txy故直线AB的方程为.2210txy 所以直线AB过定点.1(0,)2（2）由（1）得直线AB的方程为.12ytx由，可得.2122ytxxy2210 xtx 于是，2121212122,1,121xxtx xyyt xxt .2222121212|11421ABtxxtxxx xt设分别为点D，E到直线AB的距离，则.12,d d212221,1dtdt因此，四边形ADBE的面积.22121|312SABddtt设M为线段AB的中点，则.21,2M t t由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或EMAB 2,2EMt t AB(1,)t220ttt.1t 当=0时，S=3；当时，.t1t 4 2S 因此，四边形ADBE的面积为3或.4 222.解：（1）由 题 设 可 得，弧所 在 圆 的 极 坐 标 方 程 分 别 为，,AB BC CD2cos2sin.2cos 所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的1M2cos042M32sin443M极坐标方程为.32cos4（2）设，由题设及（1）知(,)P 若，则，解得；042cos36若，则，解得或；3442sin3323若，则，解得.342cos356综上，P的极坐标为或或或.3,63,323,353,623解：（1）由于 2(1)(1)(1)xyz 222(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx，2223(1)(1)(1)xyz故由已知得，2224(1)(1)(1)3xyz当且仅当x=，y=，时等号成立 531313z 所以的最小值为.222(1)(1)(1)xyz43（2）由于 2(2)(1)()xyza 222(2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x，2223(2)(1)()xyza故由已知，2222(2)(2)(1)()3axyza当且仅当，时等号成立 43ax13ay223az因此的最小值为 222(2)(1)()xyza2(2)3a由题设知，解得或 2(2)133a3a 1a 绝密绝密启用前启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）答案解析版答案解析版 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。合题目要求的。1.已知集合，则（）21,0,1,21ABx x，ABA.B.C.D.1,0,10,11,10,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出集合 B 再求出交集.【详解】由题意得，则故选 A 11Bxx 1,0,1AB【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若，则（）(1i)2izz A.B.C.D.1 i 1+i1 i1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】故选 D()(2i2i1 i1 i1 i1 i 1 i)()z【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题 3.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.B.C.D.0.50.60.70.8【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70100=07故选 C【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题 4.（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A.12 B.16 C.20 D.24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得 x3的系数为，故选 A 314424 812CC【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 5.已知各项均为正数的等比数列的前 4 项和为 15，且，则（）na53134aaa3a A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值 1,aq1,aq3a【详解】设正数的等比数列an的公比为，则，q2311114211115,34aa qa qa qa qa qa解得，故选 C 11,2aq2314aa q【点睛】应用等比数列前 项和公式解题时，要注意公比是否等于 1，防止出错 n 6.已知曲线在点处的切线方程为，则（）elnxyaxx1,ae2yxbA.B.C.D.,1ae b,1ae b1,1aeb1,1aeb【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得 b【详解】详解：/ln1,xyaex/11|12xkyaeae 将代入得，故选 D(1,1)2yxb21,1bb【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求 7.函数在的图像大致为 3222xxxy6,6A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果(4)f【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于32()22xxxyf x332()2()()2222xxxxxxfxf x ()f x原点成中心对称，排除选项 C又排除选项 D；，排除选项 A，故选3442 4(4)0,22f3662 6(6)722fB【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查 8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，NABCDECDECD,ABCD MED则（）A.，且直线是相交直线 BMEN,BM ENB.，且直线是相交直线 BMEN,BM ENC.，且直线是异面直线 BMEN,BM END.，且直线是异面直线 BMEN,BM EN【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】，为中点为中点，共面相交，选项 C，D 为错作BDENBDMDEBMENEOCD于，连接，过作于 OONMMFODF连，平面平面 BFCDE ABCD平面，平面，平面，,EOCD EOCDEEOABCDMF ABCE与均为直角三角形 MFBEON设正方形边长为2，易知，3,012EONEN 2395324,2724244MFBFBM，故选 B BMEN【点睛】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系.9.执行如图所示的程序框图，如果输入的 为，则输出 的值等于（）0.01s A.B.C.D.4122512261227122【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】不成立 11.0,01,0.01?2xSSx不成立 1101,0.01?24Sx 成立 611101,0.00781250.01?22128Sx 输出，故选 D 76711111212 1122212S【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点 10.双曲线 C：=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若，则2242xy=POPFPFO 的面积为 A.B.C.D.3 243 2212xx3 2【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题【详解】由 222,2,6,abcab，6,2PPOPFx又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在上，byxa，故选 A 1133 262224PFOPSOFy【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积 11.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）f xR0,A.233251log224fffB.233281log224fffC.23325122log4fffD.23325122log4fff【答案】C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小 233231log,2,24fff 【详解】是 R 的偶函数，f x 331loglog 44ff ，又在(0，+)单调递减，3023log 4122 f x 23323log 422fff ，故选 C 23323122log4fff【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力 12.设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f x5x f x0,2在（）有且仅有 3 个极大值点 f x0,2在（）有且仅有 2 个极小值点 f x0,2在（）单调递增 f x0,10的取值范围是)12 29510，其中所有正确结论的编号是 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查数形结合思想【详 解】，在有 且 仅 有5 个 零 点，()sin(0)5f xwxw0,2 02x，正确如图为极大值点为 3 个，正确；极小值点为 2 个12555wxw 1229510w213,x x x或 3 个不正确 当时，当时，010 x5105wwxf2910w 2920491051001001002w正确，故选 D【点睛】极小值点个数动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13.已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若，则_.25cabcos,a c【答案】.23【解析】【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.2|c|c【详解】因为，25cab0a b所以，225a caa b 2，所以，222|4|4 55|9caa bb|3c 所以 cos,a c 221 33a ca c【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案 14.记 Sn为等差数列an的前 n 项和，则_.12103aaa，105SS【答案】4.【解析】【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.1ad【详解】因，所以，即，213aa113ada12ad所以 105SS111110 910100245 42552adaaad【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案 15.设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则12FF，22:+13620 xyCMC12MF F的坐标为_.M【答案】3,15【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.12MFMF、MM【详解】由已知可得，2222236,36,16,4abcabc 11228MFFFc 122212,4MFMFaMF设点的坐标为，则，M0000,0,0 xyxy1 21200142MF FSFFyy又，解得，1 222014824 15,44 152MF FSy 015y，解得（舍去），2201513620 x03x 03x 的坐标为 M3,15【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 16.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥3D1111ABCDABC D后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，OEFGHO,E F G H，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料16cm4cmAB=BC=,AA=3D30.9/g cm的质量为_.g【答案】1188【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，四棱锥 O-EFGH 的底面积为，其高为点 O 到底面的214 642 3122cm 11BBCC距 离 为 3cm，则 此 四 棱 锥 的 体 积 为 又 长 方 体的 体 积 为21112 3123Vcm1111ABCDABC D，所以该模型体积为，其质量为 224 6 6144Vcm 221144 12132VVVcm0.9 132118.8g【点睛】此题牵涉到的是 3D 打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成两组，每组 100,A B只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相AB同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.C5.5 P C0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；,a b（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)，；(2)，.0.35a 0.10b 4.056【解析】【分析】(1)由可解得和 的值；(2)根据公式求平均数.()0.70P C b【详解】(1)由题得，解得，由，解得0.200.150.70a0.35a 0.050.151()10.70bP C .0.10b(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，0.15 20.20 30.30 40.20 50.10 60.05 74.05 乙离子残留百分比的平均值为 0.05 30.10 40.15 50.35 60.20 70.15 86 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18.的内角的对边分别为，已知 ABC,A B C,a b csinsin2ACabA（1）求；B（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围 ABC1c ABC【答案】(1);(2).3B33(,)82【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得.(2)根据3B三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三1sin2ABCSacB1225ABCSCVABC角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.2C()ABCSC【详解】(1)根据题意由正弦定理得，因为，故sinsin2ACabAsinsinsinsin2ACABA0A，消去得。sin0Asin Asinsin2ACB，因为故或者，而根据题意，故0 B02AC2ACB2ACBABC不成立，所以，又因为，代入得，所以.2ACB2ACBABC3B 3B(2)因为是锐角三角形，又由前问，得到，故VABC3B,62A CABC23AC又应用正弦定理，由三角形面积公式有62CsinsinacAC1225222sin()111sin33sinsinsin222sin4sinABCCaASacBcBcBcCC.又因,故22sincoscossin33223333(sincotcos)cot4sin43388CCCCC62C，故.333333cotcot88288682ABCS3382ABCS故的取值范围是 ABCS33(,)82【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.VABC 19.图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 BCGA 的大小.【答案】(1)见详解；(2).30【解析】【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依ABEDRt ABCBFGC/ADBE/BFCG然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到EFABBCGEBCGA对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此BGCACG思路即证.【详解】(1)证：，又因为和粘在一起./ADBE/BFCGEF，A，C，G，D 四点共面./ADCG又.,ABBE ABBC平面 BCGE，平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证.ABAB(2)过 B 作延长线于 H，连结 AH，因为 AB平面 BCGE，所以 BHGCABGC而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的BHGCGC HABAHGCBHGCBHABCGA平面角，而在中，又因为故，所以.BHC90BHC60FBC60BCHsin603BHBC而在中,，即二面角的度数为.ABH90ABH1arctanarctan303ABBHABHBCGA30【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。20.已知函数.32()2f xxaxb（1）讨论的单调性；()f x（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为 1？若存在，求出的所有值；若不存,a b()f x0,11,a b在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2)或.01ab 41ab【解析】【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值()f x和最小值的判断，最终得出,的值.b【详解】(1)对求导得.所以有 32()2f xxaxb2()626()3afxxaxx x当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；0a(,)3a(,0)3a(0,)当时，区间上单调递增；0a(,)当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.0a(,0)(0,)3a(,)3a(2)若在区间有最大值 1 和最小值-1，所以()f x0,1若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；0a(,)3a(,0)3a(0,)此时在区间上单调递增，所以，代入解得，与矛盾，所以不成0,1(0)1f(1)1f1b 0a 0a 0a 立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.0a(,)0,1(0)1f(1)1f01ab 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.02a(,0)(0,)3a(,)3a即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为()f x(0,)3a(,1)3a0,1()3af而，故所以区间上最大值为.(0),(1)2(0)fb fabf0,1(1)f即相减得，即，又因为，所以无解.)3)2332(121aaabab 32227aa(3 3)(3 3)0a aa02a若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.23a(,0)(0,)3a(,)3a即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为()f x(0,)3a(,1)3a0,1()3af而，故所以区间上最大值为.(0),(1)2(0)fb fabf0,1(0)f即相减得，解得，又因为，所以无解.)3)2332(11aaabb 3227a33 2x 23a若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.3a(,0)(0,)3a(,)3a所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为()f x0,10,1(0)f(1)f即解得.121bab 41ab综上得或.01ab 41ab【点睛】1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。21.已知曲线 C：y=，D 为直线 y=上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.22x12（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积.52【答案】(1)见详解；(2)3 或.4 2【解析】【分析】可用解析法和几何法证明。解析法可设 A，B 两点的坐标分别为，然后求出 A，B 两点处的切11(,)x y22(,)x y线，两条切线交于直线之上，所以交点的纵坐标为 12y 12联立方程可解和的关系。之后用两点式求出直线方程，最后根据直线方程求出它所过的定点.(2)1x2xABAB应用四边形面积公式，代入化简出关于和的对称式。然后分情况讨论求解。如果不知道四面下面积公式1x2x则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和，但会稍微麻烦一些。（此题若用向量积的概念则更为容易）【详解】(1)证明：设 A，B 两点的坐标分别为，因为，所以，11(,)x y22(,)x y212yx yx则切线 DA 为：-，切线 DB 为：-，111()yyx xx222()yyxxx代入得，得，因为212yx22111222221212yxx xxyxx xx21xx2112121()()02xx yx xxx故消去得交点的纵坐标，120 xx1212yx x因为 DA 和 DB 的交点 D 为直线上的动点，所以有，12y 121122yx x 1 21x x 直线 AB 为，点 A，B 在曲线上，则有，整理得112121yyxxyyxx22xy 211222121222xyxxxxxx，即.当，21121121212111()()()()2222xyxxxxx xxx xxx x 121()()02xxxy0 x 时无论,取何值时，此等式均成立。因此直线 AB 过定点，得证。12y 1x2x1(0,)2(2)设 AB 的中点为 G，由题得 G 点坐标为，则，又1212(,)22xxyy12125(0,)222xxyyEG.由题意知，即即.1212(,)BAxxyy EGBA0EG BA 121212125()()()()0222xxyyxxyy代入得整理得.212yx222222121212151()()()02422xxxxxx22121212()()(6)0 xxxxxx因，故.所以或.120 xx221212()(6)0 xxxx120 xx221260 xx由第一问中，为这里的为 D 点坐标,然而,故 22111222221212yxx xxyxx xx(,)x y12y，所以，又因为.所以221111122xx xx1111()2xxx1 21x x 。即 D 坐标为.121112111111()()()222x xxxxxxxx1211(),)22xx那么,.1212(,)BAxxyy 121(),3)2EDxx 设 为与的夹角，那么有 BA ED 22222222222121212121212111sin(1cos)()222111()()()9()()3()242ADBESBA EDBAEDBAEDBA EDxxyyxxxxxxyy 四边形代入进行化简有 212yx422121212()1()93()216ADBExxSxxxx四边形若，则.120 xx2212121213()9()4322ADBESxxxxx x四边形若，则,221260 xx22212121 2()24xxxxx x22212121 2()28xxxxx x代入有.21348(94)4 22216ADBES 四边形所以四边形 ADBE 的面积为 3 或.4 2【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小。（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。22.如图，在极坐标系中，弧，所在圆的Ox(2,0)A(2,)4B(2,)4C(2,)DABBCCD圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.(1,0)(1,)2(1,)1MAB2MBC3MCD（1）分别写出，的极坐标方程；1M2M3M（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标.M1M2M3MPM|3OP P【答案】(1),2cos(0,)4 32sin(,)44 32cos(,)4 (2),.(3,)6(3,)32(3,)35(3,)6【解析】【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中 的取值范围.(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.3P【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是 2，并且都过原点.，1:2cos(0,)4M,.23:2cos()2sin(,)244M 33:2cos()2cos(,)4M (2)解方程得，此时 P 的极坐标为 2cos3(0,)46(3,)6解方程得或，此时 P 的极坐标为或 32sin3(,)443 23(3,)32(3,)3解方程得，此时 P 的极坐标为 32cos3(,)4565(3,)6故 P 的极坐标为,.(3,)6(3,)32(3,)35(3,)6【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23.设，且.,x y zR1xyz（1）求的最小值；222(1)(1)(1)xyz（2）若成立，证明：或.2221(2)(1)()3xyza3a1a 【答案】(1)；(