2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分本试卷满分 150 分分.2.作答时，将答案写在答题卡上作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.已知集合 U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，则（）()UABA.2，3 B.2，2，3 C.2，1，0，3 D.2，1，0，2，3【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则.1,0,1,2AB U2,3AB 故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若 为第四象限角，则（）A.cos20 B.cos20 D.sin2b0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且22221xyab与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|=|AB|.43（1）求 C1的离心率；（2）设 M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准方程.【答案】（1）；（2），.12221:13627xyC22:12Cyx【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；ABCD43CDABac1C（2）由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的1C2222143xycc1C2CM定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.5MF c1C2C【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，,0F cABx1CAB则直线的方程为，ABxc联立，解得，则，22222221xcxyababc2xcbya 22bABa 抛物线的方程为，联立，2C24ycx24xcycx解得，2xcyc 4CDc，即，43CDAB2843bca223bac即，即，222320caca22320ee，解得，因此，椭圆的离心率为；01eQ12e 1C12（2）由（1）知，椭圆的方程为，2ac3bc1C2222143xycc联立，消去并整理得，222224143ycxxyccy22316120 xcxc解得或（舍去），23xc6xc 由抛物线的定义可得，解得.25533cMFcc3c 因此，曲线的标准方程为，1C2213627xy曲线的标准方程为.2C212yx【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.（1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.1010【解析】【分析】（1）由分别为，的中点，根据条件可得，可证，要证平面,M NBC11BC1/MN CC11/AABB1MN AA/平面，只需证明平面即可；11EBC F1A AMNEF 1A AMN（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由NPONPAEP11BC1BQEP（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案.BC1A AMNQPN1B E1A AMN【详解】（1）分别为，的中点，,M NBC11BC 1/MN BB又 11/AABB 1/MN AA在中，为中点，则 ABCMBCBCAM又侧面为矩形，11BBC C 1BCBB 1/MN BB MNBC由，平面 MNAMM,MN AM 1A AMN平面 BC1A AMN又，且平面，平面，11/BCBC11BC ABCBC ABC平面 11/BCABC又平面，且平面平面 11BC 11EBC F11EBC F ABCEF 11/BCEF/EF BC又平面 BC 1A AMN平面 EF 1A AMN平面 EF 11EBC F平面平面 11EBC F1A AMN（2）连接 NP 平面，平面平面/AO11EBC FAONP11EBC FNP/AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面 1ANMAABCAM1ANMA1111ABCAN/ON AP故：四边形是平行四边形 ONPA设边长是()ABC6m0m 可得：，ONAP6NPAOABm为的中心，且边长为 O111A BC111A BC6m 16 sin6033ONm 故：3ONAPm/EF BC APEPAMBM 333 3EP解得：EPm在截取，故 11BC1BQEPm2QNm且 1BQEP1/BQ EP四边形是平行四边形，1BQPE 1/B E PQ由（1）平面 11BC 1A AMN故为与平面所成角 QPN1B E1A AMN在，根据勾股定理可得：RtQPN2222262 10PQQNPNmmm 210sin102 10QNmQPNPQm直线与平面所成角的正弦值：.1B E1A AMN1010【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性；（2）证明：；3 3()8f x（3）设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx.34nn【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，0,3x 0,fxf x2,33x 0,fxf x当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.2,3x 0,fxf x【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数 2222123sinsinsin2sin 2 sin4sin 2sin2sin 2nnnf xxxxxxxxx的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：32sincosf xxx 2242 3sincossinfxxxx2222sin3cossinxxx，222sin4cos1xx22sin2cos12cos1xxx在上的根为：，0fx 0,x122,33xx当时，单调递增，0,3x 0,fxf x当时，单调递减，2,33x 0,fxf x当时，单调递增.2,3x 0,fxf x(2)注意到，22sinsin 2sinsin2f xxxxxf x故函数是周期为的函数，f x结合(1)的结论，计算可得：，00ff，2333 33228f22333 33228f 据此可得：，max3 38f x min3 38f x 即.3 38f x(3)结合(2)的结论有：2222sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx 233333sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx 2222123sinsinsin2sin 2 sin4sin 2sin2sin 2nnnxxxxxxxx 2323 33 33 3sinsin 2888nxx.233 38n34n【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1：（为参数），C2：（t 为参数）.224cos4sinxy，1,1xttytt （1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）；（2）.1:4Cxy222:4Cxy17cos5【解析】【分析】（1）分别消去参数和 即可得到所求普通方程；t（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标P方程.【详解】（1）由得的普通方程为：；22cossin11C4xy由得：，两式作差可得的普通方程为：.11xttytt 2222221212xttytt2C224xy（2）由得：，即；2244xyxy5232xy5 3,2 2P设所求圆圆心的直角坐标为，其中，,0a0a 则，解得：，所求圆的半径，22253022aa1710a 1710r 所求圆的直角坐标方程为：，即，22217171010 xy22175xyx所求圆的极坐标方程为.17cos5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数.2()|21|f xxaxa（1）当时，求不等式的解集；2a()4f x（2）若，求 a 的取值范围.()4f x【答案】（1）或；（2）.32x x112x,13,【解析】【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；3x 34x4x（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.21f xa【详解】（1）当时，.2a 43f xxx当时，解得：；3x 43724f xxxx 32x当时，无解；34x 4314f xxx 当时，解得：；4x 43274f xxxx112x综上所述：的解集为或.4f x 32x x112x（2）（当且仅当 22222121211f xxaxaxaxaaaa 时取等号），221axa，解得：或，214a1a 3a 的取值范围为.a,13,【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.