2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）卷）理科数学理科数学 一、选择题 1已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则 MN 等于()Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3 答案C 解析Nx|2x3，Mx|4x2，MNx|2x2，故选 C.2设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y1)21 答案C 解析z 在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选 C.3已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc Bacb Ccab Dbca 答案B 解析alog20.21，c0.20.3(0,1)，ac0，排除 C；f(1)，且 sin 1cos 1，f(1)1，排除 B，故选 D.6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是()A.B.C.D.516113221321116答案A 解析由 6 个爻组成的重卦种数为 2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的种数为20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率 P.故选 A.6脳5脳4620645167已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.B.C.D.答案B 解析设 a 与 b 的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos|b|2，又|a|2|b|，cos ，0，故选 B.128如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()12+12+12 AA BA2 12+1CA DA1 11+212答案A 解析A，k1,12 成立，执行循环体；A，k2,22 成立，执行循环体；A，k3,32 不成12立，结束循环，输出 A.故空白框中应填入 A.故选 A.12+9记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSn n22n 12答案A 解析设等差数列an的公差为 d，解得 ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选 A.n(1)2 10已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为()A.y21 B.1 222322C.1 D.1 24232524答案B 解析由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接 F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得 m，故|F2A|a|F1A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点令OAF2(O 为坐标原a2点)，则 sin .在等腰三角形 ABF1中，cos 2，因为 cos 212sin2，所以 1c1131322，得 a23.又 c21，所以 b2a2c22，椭圆 C 的方程为 1，故选 B.11关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间上单调递增；f(x)在，上有 4 个零点；f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()A B C D 答案C 解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当 x0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交2222于 A，B 两点若，0，则 C 的离心率为_ 答案2 解析因为0，所以 F1BF2B，如图 F1B F2B 因为，所以点 A 为 F1B 的中点，又点 O 为 F1F2的中点，所以 OABF2，所以 F1BOA，所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tanBOF2，tanBF1O.ba因为 tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以 b23a2，b所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 e 2.c三、解答题 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A；(2)若ab2c，求 sin C.2解(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc，由余弦定理得 cos A，12因为 0A180，所以 A60.(2)由(1)知 B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos C sin C2sinC，12可得 cos(C60).由于 0C0，得 t0，g0；当 x时，g(x)0.所以 g(x)在(1，)上单调递增，在上单调递减，故 g(x)在上存在唯一极大值点，即 f(x)在上存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)当 x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)上单调递增而 f(0)0，所以当 x(1,0)时，f(x)0，故 f(x)在(1,0)上单调递减又 f(0)0，从而 x0 是 f(x)在(1,0上的唯一零点；当 x时，由(1)知，f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减，而 f(0)0，f0；当 x时，f(x)0，所以当 x时，f(x)0.从而，f(x)在上没有零点；当 x时，f(x)0，f()1，所以 f(x)0，从而 f(x)在(，)上没有零点 综上，f(x)有且仅有 2 个零点 21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设 0.5，0.8.()证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；()求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性(1)解X 的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以 X 的分布列为 (2)()证明由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1.因此 pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即 pi1pi4(pipi1)又因为 p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)为公比为 4，首项为 p1的等比数列()解由()可得 p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于 p81，故 p1，所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.1257p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p40.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合1257理 22选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为(t 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极=1 21+2,=41+2轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos sin 110.3(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值 解(1)因为11，且 x2221，所以 C 的直角坐标方程为 x21(x1)l 的直角坐标方程为 2xy110.(2)由(1)可设 C 的参数方程为(为参数，)C 上的点到 l 的距离为.当 时，4cos11 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为.23选修 45：不等式选讲 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)a2b2c2；111(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且 abc1，故有 a2b2c2abbcca .ab+bc+ca111所以 a2b2c2.111(2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)33 3(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.