2020年海南省新高考数学试题及答案.pdf

2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（海南）数学（海南）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）题目要求的）1.设集合 A2，3，5，7，B=1，2，3，5，8，则=（）ABA.1，3，5，7 B.2，3 C.2，3，5 D.1，2，3，5，7，8 2.=（）(12)(2)iiA.B.C.D.45i5i-5i23i3.在中，D 是 AB 边上的中点，则=（）ABCCB A.B.C.D.2CDCA 2CDCA 2CDCA 2CDCA 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40，则晷针与点 A 处的水平面所成角为（）A.20 B.40 C.50 D.90 5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%6.要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2 种 B.3 种 C.6 种 D.8 种 7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）2()lg(45)f xxx(,)a aA.B.C.D.(2,)2,)(5,)5,)8.若定义在的奇函数 f(x)在单调递减，且 f(2)=0，则满足的 x 的取值范围是（）R(,0)(10)xf xA.B.)1,13,3,1,0 1C.D.1,01,)1,01,3二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A.这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C.第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%;D.第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量;10.已知曲线.（）22:1C mxnyA.若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B.若 m=n0，则 C是圆，其半径为 nC.若 mn0，则 C 是两条直线 11.下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=（）A.B.C.D.sin(3x）sin(2)3xcos(26x）5cos(2)6x12.已知 a0，b0，且 a+b=1，则（）A.B.2212ab122a bC.D.22loglog2ab 2ab三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A-NMD1的体积为_ 14.斜率为的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则=_ 3AB15.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_ 16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中35/BH DG阴影部分的面积为_cm2 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存3ac sin3cA 3cb在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 c问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?ABC,A B C,a b csin3sinAB=6C注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.已知公比大于 的等比数列满足 1na24320,8aaa（1）求的通项公式；na（2）求.112231(1)nnna aa aa a 19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的100PM2.5和浓度（单位：），得下表：2SO3g/m（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；PM2.5752SO150（2）根据所给数据，完成下面的列联表：22 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？99%PM2.52SO附：，22()()()()()n adbcKab cd ac bd 20.如图，四棱锥 PABCD的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l（1）证明：平面 PDC；l（2）已知 PDAD1，Q 为 上的点，QB=，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值 l221.已知椭圆 C：过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为，22221(0)xyabab12（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值.22.已知函数 1()elnlnxf xaxa（1）当时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；ae（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（海南）数学（海南）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）题目要求的）1.设集合 A2，3，5，7，B=1，2，3，5，8，则=（）ABA.1，3，5，7 B.2，3 C.2，3，5 D.1，2，3，5，7，8【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为 A2，3，5，7，B=1，2，3，5，8，所以 2,3,5AB 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2.=（）(12)(2)iiA.B.C.D.45i5i-5i23i【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】2(12)(2)2425iiiiii 故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3.在中，D 是 AB 边上的中点，则=（）ABCCB A.B.C.D.2CDCA 2CDCA 2CDCA 2CDCA 【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】222CBCAABCAADCACDCACDCA 故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40，则晷针与点 A 处的水平面所成角为（）A.20 B.40 C.50 D.90【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.AA【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知CDlA；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，OAlABm根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得./m CDABm由于，所以，40,/AOCm CD40OAGAOC 由于，90OAGGAEBAEGAE 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.40BAEOAG A40BAE故选：B 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为AB事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式ABA B()P A B可得结果.()()()P AP BP AB【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或AB游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，ABA B则，()0.6P A()0.82P B 0.96P AB所以()P A B()()()P AP BP AB0.60.820.960.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.46%故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6.要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2 种 B.3 种 C.6 种 D.8 种【答案】C【解析】【分析】首先将 3 名学生分成两个组，然后将 2 组学生安排到 2 个村即可.【详解】第一步，将 3 名学生分成两个组，有种分法 12323C C 第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有种安排方法 222A 所以，不同的安排方法共有种 3 26故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）2()lg(45)f xxx(,)a aA.B.C.D.(2,)2,)(5,)5,)【答案】D【解析】【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.f x2()lg(45)f xxx【详解】由得或 2450 xx5x 1x 所以的定义域为 f x,1(5,)因为在上单调递增 245yxx(5,)所以在上单调递增 2()lg(45)f xxx(5,)所以 5a 故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8.若定义在的奇函数 f(x)在单调递减，且 f(2)=0，则满足的 x 的取值范围是（）R(,0)(10)xf xA.B.)1,13,3,1,0 1C.D.1,01,)1,01,3【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化()f x为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，R()f x(,0)(2)0f所以在上也是单调递减，且，()f x(0,)(2)0f(0)0f所以当时，当时，(,2)(0,2)x ()0f x(2,0)(2,)x()0f x 所以由可得：(10)xf x或或 0210 xx 0012xx 0 x 解得或，10 x 13x所以满足的的取值范围是，(10)xf xx 1,01,3故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A.这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C.第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%;D.第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定 A 错误；注意考查第 1 天和第 11 天的复工复产指数的差的大小，可判定 B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定 CD 正确.【详解】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 复工指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第 11 天的复产指标与复工指标的差，所以这 11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故 B 错误;由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确;由图可知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故 D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.10.已知曲线.（）22:1C mxnyA.若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B.若 m=n0，则 C 是圆，其半径为 nC.若 mn0，则 C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，0mn0mn0mn 0,0mn时表示两条直线.【详解】对于 A，若，则可化为，0mn221mxny22111xymn因为，所以，0mn11mn即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故 A 正确；Cy对于 B，若，则可化为，0mn221mxny221xyn此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故 B 不正确；Cnn对于 C，若，则可化为，0mn 221mxny22111xymn此时曲线表示双曲线，C由可得，故 C 正确；220mxnymyxn 对于 D，若，则可化为，0,0mn221mxny21yn，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故 D 正确；nyn Cx故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=（）A.B.C.D.sin(3x）sin(2)3xcos(26x）5cos(2)6x【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选 A,22362T222T当时，2536212x1y 5322122kkZ解得：，223kkZ即函数的解析式为：.2sin 22sin 2cos 2sin236263yxkxxx而 5cos 2cos(2)66xx 故选：BC.【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)由 即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x02T0(或 x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12.已知 a0，b0，且 a+b=1，则（）A.B.2212ab122a bC.D.22loglog2ab 2ab【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.1ab【详解】对于 A，222221221abaaaa21211222a当且仅当时，等号成立，故 A 正确；12ab对于 B，所以，故 B 正确；211aba 11222a b对于 C，2222221logloglogloglog224ababab 当且仅当时，等号成立，故 C 不正确；12ab对于 D，因为，21212ababab 所以，当且仅当时，等号成立，故 D 正确；2ab12ab故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A-NMD1的体积为_【答案】13【解析】【分析】利用计算即可.11A NMDDAMNVV【详解】因为正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点 所以 111111 1 2323A NMDDAMNVV 故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.14.斜率为的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则=_ 3AB【答案】163【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】抛物线的方程为，抛物线的焦点 F 坐标为，24yx(1,0)F又直线 AB 过焦点 F 且斜率为，直线 AB 的方程为：33(1)yx代入抛物线方程消去 y 并化简得，231030 xx解法一：解得 121,33xx所以 212116|1|1 3|3|33ABkxx 解法二：10036640 设，则,1122(,),(,)A x yB xy12103xx过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.,A B1x ,C D 12|11ABAFBFACBDxx 1216+2=3xx 故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_【答案】232nn【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等21n32n差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，21n数列是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，32n所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，na所以的前项和为，nan2(1)16322n nnnn 故答案为：.232nn【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中35/BH DG阴影部分的面积为_cm2 【答案】542【解析】【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角3tan5ODCABAOBOAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设，由题意，所以，OBOAr7AMAN12EF 5NF 因为,所以，5AP 45AGP因为，所以，/BHDG45AHO因为与圆弧相切于点，所以，AGABAOAAG即为等腰直角三角形；OAH在直角中，OQD252OQr272DQr因为，所以，3tan5OQODCDQ3 25 2212522rr解得；2 2r 等腰直角的面积为；OAH112 22 242S 扇形的面积，AOB22132 2324S所以阴影部分的面积为.1215422SS故答案为：.542【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存3ac sin3cA 3cb在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 c问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?ABC,A B C,a b csin3sinAB=6C注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.c解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分tanA,A B C析判断和求解.【详解】解法一：解法一：由可得：，sin3sinAB=3ab不妨设，3,0am bm m则：，即.22222232cos3232cababCmmm mm cm选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：，此时.2333acm mm1m1cm选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：，222222231cos222bcammmAbcm 则：，此时：，则：.213sin122A 3sin32cAm2 3cm选择条件选择条件的解析：的解析：可得，1cmbmcb与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.3cb解法二：,3,6sinAsinB CBAC,3sin3sin6sinAACA，313sin3322sinAACsinAcosA,3sinAcosA 3tanA 23A6BC若选，,c=1;3ac 33abc233c 若选，,则,;3csinA 332c2 3c 若选,与条件矛盾.3cb【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 18.已知公比大于 的等比数列满足 1na24320,8aaa（1）求的通项公式；na（2）求.112231(1)nnna aa aa a【答案】（1）；（2）2nna 2382(1)55nn【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n 项和即可.111nnna a【详解】(1)设等比数列的公比为 q(q1)，则，na32411231208aaa qa qaa q整理可得：，22520qq，11,2,2qqa数列的通项公式为：.12 22nnna(2)由于：，故：1121111122112nnnnnnnna a 112231(1)nnna aa aa a 35791212222(1)2nn.3223221282(1)5512nnn 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的100PM2.5和浓度（单位：），得下表：2SO3g/m（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；PM2.5752SO150（2）根据所给数据，完成下面的列联表：22 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？99%PM2.52SO附：，22()()()()()n adbcKab cd ac bd 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.0.64【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得列联表；22（3）计算出，结合临界值表可得结论.2K【详解】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的浓度不超过 75，且浓度不超过 150 的天数有2.5PM2SO天，326 18864所以该市一天中，空气中的浓度不超过 75，且浓度不超过 150 的概率为；2.5PM2SO640.64100（2）由所给数据，可得列联表为：22 2SO 2.5PM 0,150 150,475合计 0,7564 16 80 75,11510 10 20 合计 74 26 100 （3）根据列联表中的数据可得 22，222()100(64 10 16 10)()()()()80 20 74 26n adbcKab cd ac bd36007.48446.635481因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.99%2.5PM2SO【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.2220.如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l（1）证明：平面 PDC；l（2）已知 PDAD1，Q 为 上的点，QB=，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值 l2【答案】（1）证明见解析；（2）.63【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从/AD lAD PDC而得到平面；l PDC（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向(,0,1)Q mQCD量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值.PB cos,n PB PBQCD【详解】（1）证明：在正方形中，ABCD/AD BC因为平面，平面，AD PBCBC PBC所以平面，/ADPBC又因为平面，平面平面，AD PADPADPBCl所以，/AD l因为在四棱锥中，底面是正方形，所以 PABCDABCD,ADDClDC 且平面，所以 PD ABCD,ADPDlPD 因为 CDPDD所以平面；l PDC（2）如图建立空间直角坐标系，Dxyz 因为，则有，1PDAD(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB设，则有，(,0,1)Q m(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB 因为 QB=，所以有 2222(1)(0 1)(1 0)21mm设平面的法向量为，QCD(,)nx y z则，即，00DC nDQ n00yxz令，则，所以平面的一个法向量为，则 1x 1z QCD(1,0,1)n 2222221 0 126cos,.32310(1)111n PBn PBn PB 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于 6|cos,|3n PBr uur所以直线与平面所成角的正弦值为.PBQCD63【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21.已知椭圆 C：过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为，22221(0)xyabab12（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值.【答案】（1）；（2）18.2211612xy【解析】【分析】(1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为：，即.13(2)2yx24 xy当 y=0 时，解得，所以 a=4，4x 椭圆过点 M(2，3)，可得，2222:10 xyCabab249116b解得 b2=12.所以 C 的方程：.2211612xy(2)设与直线 AM 平行的直线方程为：，2xym如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时AMN 的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，2xym2211612xy可得：，2232448myy化简可得：，2216123480ymym所以，即 m2=64，解得 m=8，221444 16 3480mm 与 AM 距离比较远的直线方程：，28xy直线 AM 方程为：，24 xy点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，8412 5514d由两点之间距离公式可得.22|(24)33 5AM 所以AMN 的面积的最大值：.112 53 51825【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 22.已知函数 1()elnlnxf xaxa（1）当时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；ae（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围【答案】（1）（2）21e1,)【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当 a=1 时由得 f x fx 10f,符合题意；当 a1 时，可证，从而存在零点，使得 11minf xf1()(1)0ffa fx00 x，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证01001()0 xfxaexmin()f x得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.1x 01a f 1解法二：利用指数对数的运算可将,111lna xlnxf xelnaxelnx 转化为令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为 xg xex1g lnaxg lnx g x，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a 的对数1lnalnxx 1h xlnxx maxh x不等式，解得 a 的取值范围.【详解】（1），.()ln1xf xexQ1()xfxex(1)1kfe，切点坐标为(1,1+e),(1)1feQ函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,1(1)(1)yeex 12yex切线与坐标轴交点坐标分别为,2(0,2),(,0)1e所求三角形面积为;1222|=211ee（2）解法一：,1()lnlnxf xaexaQ，且.11()xfxaex0a 设,则()()g xfx121()0,xg xaexg(x)在上单调递增，即在上单调递增，(0,)()fx(0,)当时，,成立.1a()01f 11minf xf 1f x 当时，,1a 11a111ae111()(1)(1)(1)0affa eaa存在唯一，使得，且当时，当时，00 x 01001()0 xfxaex0(0,)xx()0fx0(,)xx()0fx，0101xaex00ln1lnaxx 因此 01min00()()lnlnxf xf xaexa1,000011ln1ln2ln122ln1axaaxaxx 恒成立；1,f x 1f x 当时，不是恒成立.01a(1)ln1,faaa(1)1,()1ff x综上所述，实数 a 的取值范围是1,+).解法二：等价于 111xlna xf xaelnxlnaelnxlna,11lna xlnxelnaxlnxxelnx 令,上述不等式等价于,xg xex1g lnaxg lnx显然为单调增函数，又等价于，即，g x1lnaxlnx 1lnalnxx令,则 1h xlnxx 111xh xxx 在上 h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上 h(x)0,h(x)单调递减，0,1,10maxh xh，a 的取值范围是1,+).01lnaa，即【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.