2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 17 页）2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的.1（5 分）设集合 S=x|（x2）（x3）0，T=x|x0，则 ST=（）A2，3 B（，23，+）C3，+）D（0，23，+）2（5 分）若 z=1+2i，则=（）A1 B1 Ci Di 3（5 分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30 B45 C60 D120 4（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（）A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 5（5 分）若 tan=，则 cos2+2sin2=（）A B C1 D 6（5 分）已知 a=，b=，c=，则（）Abac Babc Cbca Dcab 7（5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（）A3 B4 C5 D6 8（5 分）在ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC，则 cosA 等于（）A B C D 9（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）第 2 页（共 17 页）A18+36 B54+18 C90 D81 10（5 分）在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（）A4 B C6 D 11（5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A B C D 12（5 分）定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意k2m，a1，a2，ak中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有（）A18 个 B16 个 C14 个 D12 个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为 14（5 分）函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=sinx+cosx 的图象至少向右平移 个单位长度得到 15（5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 16（5 分）已知直线 l：mx+y+3m=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|=2，则|CD|=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=1+an，其中 0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5=，求 第 3 页（共 17 页）18（12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646 参考公式：相关系数 r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（1）证明：MN平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 20（12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 第 4 页（共 17 页）21（12 分）设函数 f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中 a0，记|f（x）|的最大值为 A（）求 f（x）；（）求 A；（）证明：|f（x）|2A 请考生在第请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-1：几何证明选：几何证明选讲讲 22（10 分）如图，O 中的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点（1）若PFB=2PCD，求PCD 的大小；（2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OGCD 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin（+）=2（1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 第 5 页（共 17 页）2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的.1（5 分）设集合 S=x|（x2）（x3）0，T=x|x0，则 ST=（）A2，3 B（，23，+）C3，+）D（0，23，+）【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合【分析】求出 S 中不等式的解集确定出 S，找出 S 与 T 的交集即可【解答】解：由 S 中不等式解得：x2 或 x3，即 S=（，23，+），T=（0，+），ST=（0，23，+），故选：D 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2（5 分）若 z=1+2i，则=（）A1 B1 Ci Di 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1+2i，则=i 故选：C【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力 3（5 分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30 B45 C60 D120 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值【解答】解：，；又 0ABC180；ABC=30 故选：A【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角 4（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（）第 6 页（共 17 页）A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 【考点】F4：进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上，正确 B七月的平均温差大约在 10左右，一月的平均温差在 5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10，正确 D平均最高气温高于 20的月份有 7，8 两个月，故 D 错误，故选：D【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键 5（5 分）若 tan=，则 cos2+2sin2=（）A B C1 D 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2+sin2），再将“弦”化“切”即可得到答案【解答】解：tan=，cos2+2sin2=故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题 6（5 分）已知 a=，b=，c=，则（）Abac Babc Cbca Dcab 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】b=，c=，结合幂函数的单调性，可比较 a，b，c，进而得到答案【解答】解：a=，b=，c=，综上可得：bac，故选：A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档 第 7 页（共 17 页）7（5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（）A3 B4 C5 D6 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b，s，n 的值，当 s=20时满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 a，b，s 的值是解题的关键，属于基础题 8（5 分）在ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC，则 cosA 等于（）A B C D 【考点】HT：三角形中的几何计算菁优网版权所有【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形【分析】作出图形，令DAC=，依题意，可求得 cos=，sin=，利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解：设ABC 中角 A、B、C、对应的边分别为 a、b、c，ADBC 于 D，令DAC=，在ABC 中，B=，BC 边上的高 AD=h=BC=a，BD=AD=a，CD=a，在 RtADC 中，cos=，故 sin=，cosA=cos（+）=coscossinsin=故选：C【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC=，利用两角和的余弦求 cosA 是关键，也是亮点，属于中档题 第 8 页（共 17 页）9（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36 B54+18 C90 D81 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：36=18，侧面的面积为：（33+3）2=18+18，故棱柱的表面积为：182+18+18=54+18 故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键 10（5 分）在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（）A4 B C6 D 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】根据已知可得直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10 故三角形 ABC 的内切圆半径 r=2，又由 AA1=3，故直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为，此时 V 的最大值=，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键 11（5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 y=k（x+a），分别令 x=c，x=0，可得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设 F（c，0），A（a，0），B（a，0），第 9 页（共 17 页）设直线 AE 的方程为 y=k（x+a），令 x=c，可得 M（c，k（ac），令 x=0，可得 E（0，ka），设 OE 的中点为 H，可得 H（0，），由 B，H，M 三点共线，可得 kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为 a=3c，可得 e=另解：由AMFAEO，可得=，由BOHBFM，可得=，即有=即 a=3c，可得 e=故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题 12（5 分）定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意k2m，a1，a2，ak中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有（）A18 个 B16 个 C14 个 D12 个 【考点】8B：数列的应用菁优网版权所有【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法【分析】由新定义可得，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个 1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1共 14 个 故选：C【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的截距最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由得 D（1，），所以 z=x+y 的最大值为 1+；第 10 页（共 17 页）故答案为：【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：画出平面区域；分析目标函数，确定求最值的条件 14（5 分）函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到 【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质【分析】令 f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则 f（x）=2sin（x+），依题意可得 2sin（x+）=2sin（x），由=2k（kZ），可得答案【解答】解：y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinxcosx=2sin（x），f（x）=2sin（x+）（0），令 2sin（x+）=2sin（x），则=2k（kZ），即=2k（kZ），当 k=0 时，正数 min=，故答案为：【点评】本题考查函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin（x+）（A0，0）的图象，得到=2k（kZ）是关键，也是难点，属于中档题 15（5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是2x+y+1=0 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用【分析】由偶函数的定义，可得 f（x）=f（x），即有 x0 时，f（x）=lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得 f（x）=f（x），当 x0 时，f（x）=ln（x）+3x，即有 x0 时，f（x）=lnx3x，f（x）=3，可得 f（1）=ln13=3，f（1）=13=2，则曲线 y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为 y（3）=2（x1），即为 2x+y+1=0 故答案为：2x+y+1=0【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题 16（5 分）已知直线 l：mx+y+3m=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|=2，则|CD|=4 【考点】J8：直线与圆相交的性质菁优网版权所有 第 11 页（共 17 页）【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆【分析】先求出 m，可得直线 l 的倾斜角为 30，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，|AB|=2，圆心到直线的距离 d=3，=3，m=直线 l 的倾斜角为 30，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，|CD|=4 故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=1+an，其中 0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5=，求 【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）根据数列通项公式与前 n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可（2）根据条件建立方程关系进行求解就可【解答】解：（1）Sn=1+an，0 an0 当 n2 时，an=SnSn1=1+an1an1=anan1，即（1）an=an1，0，an010即 1，即=，（n2），an是等比数列，公比 q=，当 n=1 时，S1=1+a1=a1，即 a1=，an=（）n1（2）若 S5=，则若 S5=1+（）4=，即（）5=1=，则=，得=1【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据 n2 时，an=SnSn1的关系进行递推是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力 18（12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646 参考公式：相关系数 r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：第 12 页（共 17 页）=，=【考点】BK：线性回归方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计【分析】（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为 9，代入可预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：r=0.993，0.9930.75，故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系；（2）=0.103，=1.3310.10340.92，y 关于 t 的回归方程=0.10t+0.92，2016 年对应的 t 值为 9，故=0.109+0.92=1.82，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82 亿吨【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心 19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（1）证明：MN平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（1）法一、取 PB 中点 G，连接 AG，NG，由三角形的中位线定理可得 NGBC，且 NG=，再由已知得 AMBC，且 AM=BC，得到 NGAM，且 NG=AM，说明四边形 AMNG 为平行四边形，可得 NMAG，由线面平行的判定得到 MN平面 PAB；法二、证明 MN平面 PAB，转化为证明平面 NEM平面 PAB，在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂足为 E，连接 ME，由已知 PA底面 ABCD，可得 PANE，通过求解直角三角形得到 MEAB，由面面平行的判定可得平面 NEM平面 PAB，则结论得证；第 13 页（共 17 页）（2）连接 CM，证得 CMAD，进一步得到平面 PNM平面 PAD，在平面 PAD 内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角然后求解直角三角形可得直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【解答】（1）证明：法一、如图，取 PB 中点 G，连接 AG，NG，N 为 PC 的中点，NGBC，且 NG=，又 AM=，BC=4，且 ADBC，AMBC，且 AM=BC，则 NGAM，且 NG=AM，四边形 AMNG 为平行四边形，则 NMAG，AG平面 PAB，NM平面 PAB，MN平面 PAB；法二、在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂足为 E，连接 ME，在ABC 中，由已知 AB=AC=3，BC=4，得 cosACB=，ADBC，cos，则 sinEAM=，在EAM 中，AM=，AE=，由余弦定理得：EM=，cosAEM=，而在ABC 中，cosBAC=，cosAEM=cosBAC，即AEM=BAC，ABEM，则 EM平面 PAB 由 PA底面 ABCD，得 PAAC，又 NEAC，NEPA，则 NE平面 PAB NEEM=E，平面 NEM平面 PAB，则 MN平面 PAB；（2）解：在AMC 中，由 AM=2，AC=3，cosMAC=，得 CM2=AC2+AM22ACAMcosMAC=AM2+MC2=AC2，则 AMMC，PA底面 ABCD，PA平面 PAD，平面 ABCD平面 PAD，且平面 ABCD平面 PAD=AD，CM平面 PAD，则平面 PNM平面 PAD 在平面 PAD 内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角 在 RtPAC 中，由 N 是 PC 的中点，得 AN=，在 RtPAM 中，由 PAAM=PMAF，得 AF=，sin 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题 第 14 页（共 17 页）20（12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）连接 RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PQF，即可证明 ARFQ；（）利用PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求 AB 中点的轨迹方程【解答】（）证明：连接 RF，PF，由 AP=AF，BQ=BF 及 APBQ，得AFP+BFQ=90，PFQ=90，R 是 PQ 的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PQF，ARFQ（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为 x=，SPQF=|PQ|=|y1y2|，设直线 AB 与 x 轴交点为 N，SABF=|FN|y1y2|，PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即 N（1，0）设 AB 中点为 M（x，y），由得=2（x1x2），又=，=，即 y2=x1 AB 中点轨迹方程为 y2=x1 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题 21（12 分）设函数 f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中 a0，记|f（x）|的最大值为 A（）求 f（x）；（）求 A；（）证明：|f（x）|2A 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值【分析】（）根据复合函数的导数公式进行求解即可求 f（x）；（）讨论 a 的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f（x）|2A【解答】（I）解：f（x）=2asin2x（a1）sinx 第 15 页（共 17 页）（II）当 a1 时，|f（x）|=|acos2x+（a1）（cosx+1）|a|cos2x|+（a1）|（cosx+1）|a|cos2x|+（a1）（|cosx|+1）|a+2（a1）=3a2=f（0），因此 A=3a2 当 0a1 时，f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1）=2acos2x+（a1）cosx1，令 g（t）=2at2+（a1）t1，则 A 是|g（t）|在1，1上的最大值，g（1）=a，g（1）=3a2，且当 t=时，g（t）取得极小值，极小值为 g（）=1=，（二次函数在对称轴处取得极值）令11，得 a（舍）或 a 当 0a时，g（t）在（1，1）内无极值点，|g（1）|=a，|g（1）|=23a，|g（1）|g（1）|，A=23a，当a1 时，由 g（1）g（1）=2（1a）0，得 g（1）g（1）g（），又|g（）|g（1）|=0，A=|g（）|=，综上，A=（III）证明：由（I）可得：|f（x）|=|2asin2x（a1）sinx|2a+|a1|，当 0a时，|f（x）|1+a24a2（23a）=2A，当a1 时，A=+1，|f（x）|1+a2A，当 a1 时，|f（x）|3a16a4=2A，综上：|f（x）|2A【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，难度较大 请考生在第请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-1：几何证明选：几何证明选讲讲 22（10 分）如图，O 中的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点（1）若PFB=2PCD，求PCD 的大小；（2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OGCD 【考点】NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明【分析】（1）连接 PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得 E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD 的度数；（2）运用圆的定义和 E，C，D，F 共圆，可得 G 为圆心，G 在 CD 的中垂线上，即可得证【解答】（1）解：连接 PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，由O 中的中点为 P，可得4=5，在EBC 中，1=2+3，又D=3+4，2=5，即有2=4，则D=1，则四点 E，C，D，F 共圆，第 16 页（共 17 页）可得EFD+PCD=180，由PFB=EFD=2PCD，即有 3PCD=180，可得PCD=60；（2）证明：由 C，D，E，F 共圆，由 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G 可得 G 为圆心，即有 GC=GD，则 G 在 CD 的中垂线，又 CD 为圆 G 的弦，则 OGCD 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin（+）=2（1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1的普通方程，运用 x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标 另外：设 P（cos，sin），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和 P 的坐标【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2+sin2=1，即有椭圆 C1：+y2=1；曲线 C2的极坐标方程为 sin（+）=2，即有（sin+cos）=2，由 x=cos，y=sin，可得 x+y4=0，即有 C2的直角坐标方程为直线 x+y4=0；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值 设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，联立可得 4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t216（3t23）=0，解得 t=2，显然 t=2 时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=，此时 4x212x+9=0，解得 x=，即为 P（，）另解：设 P（cos，sin），第 17 页（共 17 页）由 P 到直线的距离为 d=，当 sin（+）=1 时，|PQ|的最小值为，此时可取=，即有 P（，）【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用【分析】（1）当 a=2 时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式 f（x）6 的解集（2）由 f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，得|x|+|x|，由此能求出 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式 f（x）6 的解集为x|1x3（2）g（x）=|2x1|，f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，2|x|+2|x|+a3，|x|+|x|，当 a3 时，成立，当 a3 时，|x|+|x|a1|0，（a1）2（3a）2，解得 2a3，a 的取值范围是2，+）【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用