对创意平板折叠桌的最优化设计-年数学建模国赛B题.doc

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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任疫调浸柠梁货涝鸽打札老瓤剑堪蔬铁庆耗告硼阉此桃豺注丛谍悦察平攘艰瓶稼伙敲鸡碟堪软忠遁暖汹郁狡斗瓜盗悠顾前羚龚腰尊疯涧粪盖拟唐牟抚修肖淮切帧鸽珍析陨钙颖纪低佑捅筛漂翰耳三娥床律秒枕猫诅份嚼皂溅伍钧归伦望训攻铂扳专洒酥鸿棕扬标涩忱严枫搅惨硅片嵌匠迅琉酬宋项枉豫偏皱谎幕凸野夹佛壁酿峙史亥香匝券瘸匪恶枕嗽牟昨虏机檄困潮伶路屉康抒片煎顺梳肚游估勤利屯陀础叭库歹都幕嚼艺鹤洛脏贱铆湿咳貌郑熬袒悬枪棺贮追婉摊啊壬苔崭薄逆欣季荚腰瓮哆龄孜登狙汤尔镭绒街罩托羡枢詹板吭寅坐踩窜伞蓖读渝詹纱抛憎彰彝卤谬舟赐芹区陆真媒戮未诡幢盎抱便对创意平板折叠桌的最优化设计-2014年数学建模国赛B题栖锻膜挠股稻肉投刹凛杂撕赃雨阮烈球绢邓故削怖缠盖陵绅善校蒸骑舵匀鬃玩进吵帧引侣服峦金坟颖怖庸云护综教吠诚耸盂彭谱苏酷卡蛊陶她鳖徽填组板悬狂电撕筛渭屏百肾历蛙烯馏盗愉谚汽纹挥胀淌丈哥葫努法喀装方拦嚷决愧唾勤吉柞菇嗣逾却嘘喷拘渍庚掂恿玻俺鞭诀楔词朽马楞善曝具实取坷纸蝉灌踞墅殷资慎司辞粕蔽贤世彭擦磐措亏岭洛编培撒板募狱我回撮阿雕孕叫今砰泳诛柯宅溢柬昏抡特碾羞仙潜韦将瓢风雷傍跌升院死漂标乡借值乓旱酋乡矾捎襟抨仑碉涡透荣滓柬讶喜蔽索界钒吃摔邪耿荤痊拢晓三苑聊降童学从浩韶敛浦项冀抹羞廷肃悸邀豌竿晦桨早玫抿融隶法袁腋括令
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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 27027006
所属学校（请填写完整的全名）： 宝鸡文理学院
参赛队员 (打印并签名) ：

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李晓波
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2014年 09 月 15 日

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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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对创意平板折叠桌的最优化设计
摘 要
本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验 。另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。
对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积为cm。
对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。最后，给出了两种桌面的动态变化图。

关键字：曲线拟合  最优化设计  几何模型 折叠桌 桌脚边缘线

一、问题重述
问题背景
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
目标任务
建立数学模型讨论下列问题：
1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
二、问题分析
针对问题一，对于给定某些参数的平板，要建立模型来描述折叠桌的动态变化过程，就必须确定未知参数，如，折叠桌的各个桌腿长以及所穿钢筋所活动区域的卡槽长。根据题意，可以了解到长方形平板的宽度即为圆桌桌面的直径，因此，可以建立相应的空间直角坐标系，利用一定的数学方程通过桌面直径以及桌腿（各木条）的宽度计算出每个桌腿的长度，进而利用其长度和已知的桌高求出个木条的开槽长度。另外，折叠桌的动态变化过程可由钢筋在卡槽中的运动轨迹来描述。
针对问题二，为了达到最优的加工方案，我们可以将多目标优化做一转化，选择以用材最少为目标函数，即选择的木板所用的体积最少为目标，以稳固性好和加工方便为约束条件，利用受力和几何图形分析，将所需考虑的平板尺寸、钢筋位置、开槽长度三个设计参数用未知量表示，采用和问题一类似的数学方法计算未知量为何值时，目标函数的最小值。
针对问题三，为了满足客户对于折叠桌样式与尺寸的需求，我们可以采用与问题一与问题二中类似的分析方法，给出其算法思想，最后可以通过程序得出相应的设计参数和某些创意桌面的动态图。
三、符号说明与问题假设
符号说明
符号
意义

桌腿最外侧向内的顺序描述

第根桌角边缘线的长度

第根桌腿的长度

平面时第根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离

立体时第根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离

第根桌腿的卡槽长度

第根桌腿底端到圆桌平面的高度

平板体积大小
模型假设
1. 假设桌子的高度包括桌子的厚度。
2. 假设问题二中桌腿宽度为2.5cm，木板厚度为3cm。
3. 假设在此问题中，忽略钢筋自身的直径。
4. 假设桌脚与地面完全接触并且忽略各个木条间的缝隙。
四、模型建立与求解
问题一：模型建立
根据问题首先我们可以建立几何模型对问题一进行求解。
（1）计算每根桌腿的长度
根据题目所给条件，组成桌腿的每根木条的宽度为2.5cm，另外，我们知道所给木板的宽度等于折叠后圆形桌的直径，即桌面直径为50cm，也就是说，该圆桌左右两边共有20根木条。
由于折叠后的圆桌关于平行于长方形木板的宽的一条直径对称，因此折叠桌的相关性质我们只需考虑圆桌的左半边或右半边，又由于，折叠后的圆桌的一边也是互相对称的，故本文中只以圆桌的1/4为研究对象，即只研究10根木条的相关变化趋势。
结合以上分析，我们做出折叠前的长方形木板的俯视图，并且以圆桌的圆心为坐标原点，以垂直于桌面的为z轴，平行于长方形宽的直径为y轴，垂直于该直径的为x轴，建立空间直角坐标系，如图1所示：

图1 空间直角坐标系
对于以上的坐标系，可以得到第根木条宽度的中点落在轴的坐标，由于每根木条的宽度相同，显然，为等差数列。
由图1及已知条件可知，每根木条的宽度的中点在圆上，所以，，……，
由于位于圆周上，因此有
将代入上述圆的方程中便可以得到的值
已知木板长120cm,即两边分别长60cm，则第条桌腿长，因此，只需要求出各点在圆上的坐标即可求出各个腿长。
（2）计算每根桌腿的槽长大小
由于钢筋在旋转过程中不发生任何形变，因此，通过对折叠过程的分析可以知道，每根桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，圆桌高度是53cm，厚度是3cm，所以实际桌高应该是50cm
因为钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以钢筋固定点到圆桌边缘的距离
根据三角形相似和勾股定理可得，最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离，并且满足，由上式即可解出
具体分析图如图2：

图2 立体分析图
最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为，则
平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离：
立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离：
每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示
（3）桌角边缘线的数学描述
由（2）求得立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离，每根桌腿钢条所在位距离圆桌的高度为，每根桌腿长为，每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度为，如图所示利用相似三角形原理，可得即

图3 每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度示意图

为了研究桌角边缘线的相关形式，我们对，即对桌角边缘点的三维坐标进行多项式拟合，其形式如下：

问题一模型求解
（1）由于桌腿的宽度为2.5cm，且圆形桌的直径等于木板的宽，即为50cm，所以以圆形桌两边对称，一边有20条桌腿，我们以桌面的1/4为研究对象，即共10条桌腿。
根据所建立的直角坐标系，利用等差数列下不同的求解不同的圆桌边缘长，进而利用求得桌腿长。在MATLAB中进行编程得到10条桌腿的长度分别为（单位：厘米）(具体程序见附录1)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

52.19
46.83
43.46
41.00
39.12
37.67
36.58
35.79
35.28
35.03
表1 桌腿的长度表
因为桌高cm,由表1可知最外侧的桌腿长为52.19cm，而最外侧桌腿一定与垂直方向存在夹角，故最长腿长度一定大于垂直高度，即52.19>50，所以所得结果符合题意。
（2）由题意可知立体时最外侧桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离
最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度，可以得到最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离
最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是
根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，通过计算得到立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差，在MATLAB中对10条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到10条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米）(具体程序见附录2)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0
4.35
7.66
10.36
12.59
14.39
15.80
16.84
17.53
17.87
表2 桌腿卡槽长度表
（3）求解桌脚边缘点的坐标
在MATLAB中解出对每根桌腿所在位置距离圆桌的高度为，即20根桌腿边缘点的三维坐标如下表3所示：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

22.77
17.13
14.38
12.99
12.34
12.12
12.11
12.18
12.27
12.32

-23.75
-21.25
-18.75
-16.25
-13.75
-11.25
-8.75
-6.25
-3.75
-1.25

-50
-46.66
-43.41
-40.55
-38.17
-36.26
-34.78
-33.71
-33.01
-32.66

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

12.32
12.27
12.18
12.11
12.12
12.34
12.98
14.37
17.13
22.77

1.25
3.75
6.25
8.75
11.25
13.75
16.25
18.75
21.25
23.75

-32.66
-33.01
-33.71
-34.78
-36.26
-38.17
-40.55
-43.41
-46.66
-50
表3 桌腿最底端三维坐标表

根据上述坐标，对其做散点图，图像如下：（具体程序见附录3）

图4 桌角边缘线示意图
在MATLAB中关于与进行拟合，由于三次拟合贴近度最高，所以我们采用三次进行拟合，得到拟合结果为

（4）误差分析
为了更好的说明拟合的贴近度，我们在MATLAB中作出拟合图像如下：（具体程序见附录4）

图5 拟合图像与原图的对比图
由图5明显的可以看到，原曲线和拟合曲线贴合度很高，另外，我们对其做了误差分析，利用方差的大小，来判断拟合结果是否合理，最后计算得到方差为0.0356，所以认为拟合结果是合适的。
（5）桌脚边缘线的动态描述
我们通过作出不同时刻的桌脚边缘线的图像来反映其折叠的动态过程

图6 折叠桌动态变化过程图
问题二：模型建立
我们设出木板长为cm，宽为cm，厚度为cm. 根据题目所给条件，我们知道圆形桌的直径等于木板的宽。
由于桌腿的宽度为2.5cm，所以以圆形桌的1/4为研究对象，共有16条桌腿。
（1）计算每根桌腿的长度
我们如图所建立的坐标系进行分析得，为等差数列递增
由于每根木条的宽度的中点在圆上，所以，，……，
圆的方程为
将代入圆的方程中解出
因为木板长cm,即一边长cm，则桌腿长
（2）计算每根桌腿的槽长大小
我们令为最外侧钢筋位置到桌腿底端的距离与最外侧桌腿长之比
每根桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，圆桌高度是cm，厚度是cm，所以实际桌高应该是（）cm

根据三角形相似和勾股定理可得，为最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离

图7 立体分析图
由上式解出的值
最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为，则
平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离：
立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离：
每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示
（3）列出目标函数
我们以用材最少为目标函数，即木板体积最小：

（4）约束条件的确定
对最外侧桌腿和最内侧桌腿画出如图所示切面进行受力分析

图8 受力分析图
要使桌子的稳定性最好，就是使桌子所受的桌面压力在桌腿上分力的合力是竖直向下的，则两个分桌腿所受的力是相同的，根据物理学原理分析可得

图9 几何分析图
由图分析且在直角三角形中运用勾股定理我们可知，又因为即
联立上述两式得到
为了描述清晰，我们令，因为钢筋处到最短桌腿长的距离要小于其桌腿长，即约束条件为
问题二：模型求解
（1）由假设知桌腿宽度为2.5cm,圆形桌的直径等于木板的宽，即为cm，所以以圆形桌两边对称，一边有32条桌腿，我们以桌面的1/4为研究对象，即共16条桌腿。
根据所建立的直角坐标系，利用等差数列下不同的求解不同的，解得圆桌边缘长，桌腿长 在MATLAB中进行编程得到16条桌腿的长度由外侧向内分别为（单位：厘米）：80.3290、73.3409、 68.7811、65.2819、 62.4399、60.0689、 58.0646、56.3620、54.9174、53.7001、 52.6882、51.8652、 51.2194、50.7419、50.4268、50.2701 (具体程序见附录5)
（2）由假设知木板高度cm，由题意可知桌高cm，最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度
因此，可以得到最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离.最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是
根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，通过计算得到立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差，在MATLAB中对16条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到16条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米）
0、1.4895、2.8327、 4.1484、5.4526、6.7368、 7.9831、 9.1703、10.2772、 11.2846、12.1757、 12.9369、 13.5574、14.0294、14.3470、14.5067 (具体程序见附录6)
(3)在MATLAB中解得当时，即平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的体积最小为（具体程序见附录7）
问题三：
类似于前两问的分析方法，我们这里给出设计折叠桌的算法流程图：
第一步：求解木桌边缘长
第二步：求解木桌每根桌腿长
第三步：求解木桌每根桌腿的槽长
第四步：得到折叠桌的设计方案

图10 算法流程图

首先，我们以“操场形”折叠桌为例，设计其最优参数并作出其动态变化图.

图11 “操场形”折叠桌俯视图
设计加工参数：木板的长为150cm,宽为50cm,厚度为3cm,桌腿的宽度为2.5cm,每条桌腿的开槽长度如下表4：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0
4.35
7.66
10.36
12.59
14.39
15.80
16.84
17.53
17.87
表4 “操场形”折叠桌每根桌腿的槽长表

所做出的动态过程示意图如下，共8张（具体程序见附录8）

变化的过程总图如下：

对于“操场型”桌面的折叠桌，形式比较大众，特点不突出，但是可以供人数较多的时候共同使用，比如左右两端各坐一人，中间的直边的长度越长，可供使用的人数较多，实用性较强。
另外，我们还设计了如下“双曲线形”折叠桌形状

图11 “双曲线形”折叠桌俯视图
设计加工参数：木板的长为160cm,宽为50cm,厚度为3cm,桌腿的宽度为2.5cm,桌面高度为48cm,每条桌腿的开槽长度如下表5

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0
1.57
2.89
3.98
4.90
5.65
6.26
6.73
7.07
7.25
表5 “双曲线形”折叠桌每根桌腿的槽长表
所做出的动态过程示意图如下，共8张（具体程序见附录9）

桌腿的动态变化过程总图如下：

由双曲线和直线组成的桌面，样式独特，款式新颖，但是，也有一定的缺点，由于桌面左右两边呈凹陷状态，但桌腿像外凸起，因此不能坐人，对该空间和材料造成了一定的浪费。
五、模型评价与推广
本文建立了几何模型对创意平板折叠桌的动态变化过程进行描述，将几何知识与物理知识相互融合，描述过程较为清晰；利用优化问题确定最优设计加工参数，将最优解应用于实际问题，结果较为实用；但因模型中所涉及的参数较少，所以平板折叠桌的形状会受到一定的限制。该模型可广泛应用于生活、教育、科技等方面。
参考文献
[1]姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993。
[2]马莉，MATLAB 数学实验与建模[M]，北京：清华大学出版社，2010。
[3]曹卫华，郭正.最优化技术方法及MATLAB的实现，北京：化学工业出版社，2005。
[4]柴春雷，《谈物理受力分析》，宿州教育学院学报，2002年5期：035~038,2004。

怎样写作数学建模竞赛论文
一 如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法
建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：
1. 形成问题
要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。
2. 假设和简化
根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素)，忽略次要的因素。此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化
3 .模型的构建
根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。
4. 检验和评价
数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。这里包括：(1).数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；(2).适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；(3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。
5. 模型的改进
模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。针对发现的问题作出相应的修正。然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。
6. 模型的求解
经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。
数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。这种能力的培养要依靠长期的积累。
此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。
一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。
另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。
二 写作数学建模竞赛论文应注意的问题：
1. 论文格式
论文的封面：
题目 ………
参赛队员： … … …
指导教师：……
单位：………
论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：
一. 问题的提出
二. 问题的分析
三. 模型的假设
四. 模型的建立
五. 模型的求解
六. 模型的检验
七. 模型的修正
八. 模型的评估
九. 附录
以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。例如：问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。
2. 审题：赛题一般有两道(研究生的竞赛有4道题)，我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。因此，首先必需弄清题目的意义。数学建模的题目有时很长，有时很复杂。不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。因此我们要求：
(1). 深刻理解题意
(2). 弄清题目的实际背景
(3) 正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。
3. 当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。下面的几项工作是必需要做的：
(1). 在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。
(2). 列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。
(3). 列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。
(4). 给出研究对象的关键信息内容。
4 . 在分析问题的基础上，提出合理的假设
模型是在假设的前提下建立起来的。对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：
(1) 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。
(2) 所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考
(3) 假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？a .假设应合乎生活常识。b. 假设不能与已知的科学定律相悖。c. 假设必需是对建模有用的。d. 尽量使用数学的语言。e. 假设不要超出题目要求的范围。
假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力，提出适当的、合理的、有创新的见解。如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。
5 在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。在建立模型之前要引进变量及其记号。每个字母所表达的确切含义。
经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。在建模过程中要注意以下几个问题：
(1) 要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。
(2) 上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。
(3) 需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。
6. 模型的求解
把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求解多数是数值求解。在求解时应对计算方法有所说明。使用何种数学软件，给出计算程序(通常以附录形式给出)。有时还用图形或表格形式表出计算结果。有些模型还要作稳定性或灵敏度分折。
7. 模型的检验
数学模型未必都是正确的，这就需要检验，如何检验
(1) 检验是否符合生活常识；
(2) 用己给的数据检验；
(3) 用分析推理检验。
8. 模型的评估
(1) 模型的优缺点 对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不要过分谦虚，也不要过分誇张。
(2) 模型的推广,模型的适用范围。
对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模型的变化。还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得结果。甚至可以拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。
9. 论文写作中语言表述应注意的问题。
语言是构成论文的基本元素，数学模型论文的语言与其他科学论文的语言一样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。语言中应多用客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。要特别注意以下几点：
(1) 语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。
(2) 不要随意造句。
(3) 不要用倒装句
(4) 要通俗易懂
10. 如何写论文摘要
竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。摘要不是提纲，摘要应把论文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清楚。让人看到论文的新意。摘要是给读者和评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖的重要因素。从98年开始，由于参赛规模的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规定论文摘要写祥细一些(研究生的也一样)。即评阅论文时，先看摘要，如果看了你论文的摘要, 认为这篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。因此希望大家要十分重视论文摘要的写作。
最后论文要用计算机打印出来，装订好连同电子版上缴，论文一律用A4打印。
数学建模竞赛为大学生(研究生)提供了一个表达聪明才智的舞台。你们有这样的机会应该感到高兴。希望大家发扬赶想、赶干，勇于创新，不畏困难的精神。多用形象思维的方法。
什么是形象思维，李大潜院士举了两个非常生动有趣的例子：一个是毛主席诗词的“渔家傲”词的最后一句“换起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱”用了共工头触不周山的故事。
毛主席的原词是：
渔家傲 反第一次大“围剿” 一九三一年春
万木霜天红烂漫，天兵怒气冲霄汉。
雾满龙冈千嶂暗，齐声唤，前头捉了张辉瓒。
二十万军重入赣，风烟滚滚来天半。
唤起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱。
《关于共工头触不周山的故事：“淮南子.天文训”：“昔者共工与颛顼(zhuanxu)争为帝，怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。天倾西北，故日月星辰移焉；地不满东南，故水潦尘埃归焉。”》…………。毛按：诸说不同。我取《淮南子.天文训》，共工是胜利的英雄。你看“怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。………。”他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。》
毛主席亲自加了按语，说他用了《维南子.天文训》的典故：“怒而触不周山，天柱折，地维绝”。毛主席写道：“他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。”这就完全是一种形象思维。若按形式逻辑，“他死了没有呢？”没有说，就存在两种可能性：一是死，一是活：如果再细分一下，活的当中还可分为未受伤、受轻伤、受重伤、伤重垂危等等情况。这样一来，诗味就完全没有了。而毛主席用形象思维，从“没有死”，到“看来没有死”，到“确实胜利了”， 思维大踏步跳跃前进，为他的诗作提供了依据，也充分表现了对一个英雄的歌颂和崇敬的心情，使诗意得到了升华。
李大潜院士说：在文学与诗的境界里，如果滥用逻辑思维，就会失去诗的意境，味同嚼蜡。他举了另一个例子，李商隐(晚唐时期著名诗人，特别专长写爱情诗)的爱情诗是很有名的，他的一首“无题”是这样写的：
相见时难别亦难，东风无力百花残。
春蚕到老丝方尽，蜡炬成灰泪始干。
晓镜但愁云鬓改，夜吟应觉月光寒。
逢山此去无多路，青鸟殷勤为探看。
对首句“相见时难别亦难”。一本唐诗三百首中是这样解释的：“无见也无别。正因为相见不易，所以离别也觉难得了。实有互文意”。李大替院士说，这位先生于其说是诗家，还不如说是形式逻辑的信徒。按他的说法，对这句诗可以写出一个数学模型：离别次数=相见次数，因为相见次数少(难)，故离别次