有向符号网络的边能控性研究_任世超.pdf

第 40 卷第 1 期2023 年 1 月控 制 理 论 与 应 用Control Theory&ApplicationsVol.40 No.1Jan.2023有有有向向向符符符号号号网网网络络络的的的边边边能能能控控控性性性研研研究究究任世超,关永强,谌煜(西安电子科技大学 机电工程学院,陕西 西安 710071)摘要:符号网络是一类具有正负符号特征的网络.在多智能体系统中,符号网络能够描述智能体之间的合作与对抗交互关系,因此受到学者的广泛关注.本文主要研究有向符号网络的边能控性.首先,对具有符号网络的多智能体系统边动力学进行建模,得到边能控性模型.其次,从网络拓扑结构角度对边能控子空间进行定量刻画,利用有向符号网络的距离和等价划分得到能控子空间的上下界估计.进一步,讨论了符号网络边能控性与顶点能控性的关系.所得结果表明:当顶点符号图为结构非平衡时,符号网络的边能控性与顶点能控性等价.最后,通过仿真结果验证所得理论的有效性.关键词:多智能体系统;边能控性;有向符号图;图划分;关联矩阵引用格式:任世超,关永强,谌煜.有向符号网络的边能控性研究.控制理论与应用,2023,40(1):74 82DOI:10.7641/CTA.2021.10391Edge controllability of directed signed networksREN Shi-chao,GUAN Yong-qiang,SHEN Yu(School of Mechano-electronic Engineering,Xidian University,Xian Shaanxi 710071,China)Abstract:Signed network is a type of network with positive and negative signed characteristics.In multi-agent systems,the signed network can describe the cooperative and antagonistic interaction between agents,so it has received extensiveattention from scholars.This paper mainly studies the edge controllability of directed signed networks.Firstly,the edgedynamics of the multi-agent systems with the signed network is modeled,and the edge controllability model is proposed.Secondly,the edge controllability subspace is quantitatively described from the perspective of the network topology,theupper and lower bounds of the edge controllable subspace are estimated by using the distance partition and equitable par-tition of the directed signed network,respectively.Furthermore,the relationship between edge controllability and vertexcontrollability of the signed network is discussed.The results show that when the vertex signed graph is structurally unbal-anced,the edge controllability and the vertex controllability of signed network are equivalent.Finally,simulation resultsare given to verify the effectiveness of the theoretical analysis.Key words:multi-agent system;edge controllability;signed directed graph;graph partition;incidence matrixCitation:REN Shichao,GUAN Yongqiang,SHEN Yu.Edge controllability of directed signed networks.Control Theory&Applications,2023,40(1):74 821引引引言言言近年来,随着计算机、通信、传感、机器人等技术的高速发展,多智能体系统分布式协调控制受到诸多领域学者的广泛关注17,相关研究成果已应用到智能电网优化8、卫星簇网姿态控制9、水下航行器控制10等工程实践中.能控性的概念最早是由Kalman于19世纪60年代提出的11.能控性是指在有限时间内,通过外界控制输入使得系统从任意初始状态到达任意的最终状态.实质上能控性描述的是外界控制输入对系统状态的控制能力.进一步,多智能体系统能控性是由Tanner于2004年首次提出1.多智能体系统能控性是指通过对多智能体系统内的部分智能体(通常称为领导者(leader)施加外部控制输入,通过智能体之间的交互使得其他智能体(通常称为跟随者(follower)从任意初始状态达到任意最终状态.能控性是多智能体系统分布式协调控制中的一个基本而又重要的问题,其研究为脑网络控制12、机器人编队控制13、网络信息处理14等提供了理论指导.由此,收稿日期:20210510;录用日期:20210924.通信作者.E-mail:guan-;Tel.:[phone].本文责任编委:左志强.国家自然科学基金项目(62073253,62036002).Supported by the National Natural Science Foundation of China(62073253,62036002).第 1 期任世超等:有向符号网络的边能控性研究75越来越多的研究学者开始关注多智能体系统能控性问题.文献1,5,7针对不同的多智能体系统,通过分析系统矩阵的特征值与特征向量得到能控的代数判据.需要指出,代数判据并不直观,且计算复杂度较大,实际应用并不方便.为此,部分学者采用图论工具研究多智能体系统网络拓扑结构与能控性之间的关系,从而获得能控性的图论判据.文献1516基于距离划分研究了多智能体系统能控子空间的下界;文献1618基于等价划分、几乎等价划分研究能控子空间的上界.值得注意的是,以上研究都是针对无符号网络,即,多智能体之间均是合作交互.然而,在现实世界中,对抗交互是普遍存在的,如社交网络中的竞争关系19、信息领域中用户对某些信息的不信任态度20、生物领域中神经元之间的抑制关系21.因此,许多学者对符号网络下的多智能体系统分布式协调控制进行了深入研究2225.文献22研究了符号网络下多智能体系统的二分一致性问题,即在结构平衡图下达成一致的智能体收敛到一个绝对值相同的非零共同值;文献23通过分析有向符号图的拉普拉斯矩阵,得到结论:如果有向符号图包含生成树,则所有智能体达到区间二部一致性;文献24基于广义几乎等价划分得到对抗交互下多智能体系统能控子空间的上界,进一步给出了求解能控子空间上界的算法;文献25研究了具有有向加权符号网络的多智能体系统的能控性,结果表明:结构平衡网络的能控性与无符号网络的能控性等价.上述研究均是针对具有顶点动力学的多智能体系统,即网络中的每个顶点具有一个动力学方程.然而,以边动力学为研究对象的多智能体系统同样具有十分重要的研究意义2630.例如,在研究城市交通流量控制问题中,以每一条道路(交通网络中的边)的流量动态建立的交通流量控制模型比基于每个交通路口(交通网络中的顶点)的流量动态建立的模型更加符合实际26;在研究社交网络团队协作效率问题中,以每对成员之间的沟通频率(社交网络中的边)建立的团队协作模型比基于团队中成员(社交网络中的顶点)的团队协作模型更加符合实际27.文献28刻画了具有合作和对抗相互作用的符号网络的边动力学,并解决了由此产生的边系统的状态收敛问题,进一步作者证明了对于一个符号网络,无论其关联的符号有向图是结构平衡的还是结构非平衡的,其边系统的状态都收敛到一个常数向量;文献29基于网络的边动态研究了无向图的非负边一致性问题,并构造了相应的分布式算法.文献30基于SBD(switchboard dynamics)模型研究了具有边动力学的有向复杂网络的结构能控性.截至目前,有向符号网络下具有边动力学的多智能体系统能控性尚未有学者研究.本文研究具有有向符号网络的多智能体系统边能控性问题.首先,在符号网络下建立具有边动力学的能控性模型,并通过分析边拉普拉斯矩阵得到边能控性的基本性质;其次,定量刻画边系统能控子空间的大小,特别地,基于距离划分得到能控子空间的下界,基于等价划分得到能控子空间的上界,并且所得的上下界具有紧性(tight);最后,基于符号网络的关联矩阵,给出了边能控性与顶点能控性的关系.结果表明:二者之间的关系取决于顶点图的结构平衡性,特别地,当顶点图是结构非平衡时,边图能控性与顶点图能控性等价.本文研究内容安排如下:第2节介绍图论的相关概念;第3节对边能控性问题进行描述;第4节对边系统能控性进行分析;第5节给出仿真实例;第6节对本文的研究进行总结.符号说明:在本文中,R与C分别表示实数域与复数域.In=1,2,n表示从1到n的整数集合.对于a R,令|a|与sgna分别表示a的绝对值与符号,其中a可以是一条边、一个实数或者一条路径.In表示n n的单位矩阵,rank(A)表示矩阵A的秩,im(A)表示矩阵A的列空间,Ai,表示矩阵A的第i行,Aij表示矩阵A第i行第j列的元素.对于任给两个集合S,R(S R),用RS表示集合S在集合R的补集,|S|表示集合S中的元素个数.2预预预备备备知知知识识识一个有向符号图由顶点集V=v1,v2,vn,边集=e1,e2,emVV构成,记为G=(V,A),其中A=aij Rnn表示邻接矩阵,具有如下形式:aij=1或 1,(vj,vi),0,其他.注注注 1在这里aij=1表示智能体之间是合作关系,aij=1表示智能体之间是对抗关系.如果顶点vi可以接收到顶点vj的信息,则称vj是vi的入邻居,vi是vj的出邻居,vj是边(vj,vi)的起始顶点,vi是边(vj,vi)的终止顶点,(vj,vi).Nini=vj V|(vj,vi)表示顶点vi的所有入邻居的集合.本文研究的图G均为简单图,即不包含自环与多重边.P=(vi0,(vi0,vi1),vi1,(viq1,viq),viq)表示一个长度为q的路径,其中(vik,vik+1),k=0,1,q 1.用dij表示vi到vj的最短路径(即vi到vj之间最少边的数目).特别地,dii=0.diam(G)=maxijdij表示图G的直径.=C1,C2,Cq表示图G的一个划分,当i/=j,i,j Iq时满足qk=1Ck=V且CiCj=.定定定义义义 1将图G的所有有向边替换为无向边,所76控 制 理 论 与 应 用第 40 卷得到的无向图G称为G的基图.如果基图G是连通的,即G中的任意两个顶点之间都存在路径,则称有向图G是弱连通的.定定定义义义 222给定符号图G.对于两个集合V1和V2,V1 V2=且V1 V2=V,使 得vi,vj Vs,(s 1,2),有aij0成 立;vi Vs,vj Vt,s/=t(s,t 1,2),有aij60成立,那么称符号图G是结构平衡的;否则称图G是结构非平衡的.引引引理理理 1考虑具有n个顶点m条边的弱连通图G,如果满足m=n 1,那么G是结构平衡的.证当m=n 1时,图G的基图G是一棵生成树,而生成树总是结构平衡的(参看文献22),因此G是结构平衡的.进一步,由结构平衡的定义可知,G中的顶点能被分成两个集合,而这两个集合的划分对G也适用,并不受边方向的影响.因此,结构平衡性并不改变,即G也是结构平衡的.证毕.值得注意的是本文所述的顶点图与边图本质上都是有向符号图.为了表述方便,分别采用Gv与Ge进行标记.2.1顶顶顶点点点符符符号号号图图图考虑一个具有n个顶点m条边的顶点图Gv.定义Gv的拉普拉斯矩阵为Lv=Cv Av,其中:Cv=diagnj=1|a1j|,nj=1|a2j|,nj=1|anj|表示Gv的入度矩阵,Av表示Gv的邻接矩阵.定定定义义义 3Gv的关联矩阵H=hqk Rnm是一个仅包含0,1的矩阵.具体来说,任取一条边ek,相关联的两个顶点为vq与vs,那么q,s In,k Im满足hqk=|1,如果vq是ek的起点;aqs,如果vq是ek的终点;0,其他.为了区别一个顶点的入边与出边,引入入关联矩阵与出关联矩阵的定义.定定定义义义 4给定Gv及任一条边ek,相关联的两个顶点为vq与vs,入关联矩阵Hin=hinqkRnm描述为:q,s In,k Im有hinqk=aqs,如果vq是ek的终点;0,其他.出关联矩阵Hout=houtqk Rnm描述为:q,s In,k Im有houtqk=1,如果vq是ek的起点;0,其他.由定义3和定义4显然有H=Hin+Hout.引引引理理理 231令H Rnm表示Gv的关联矩阵,那么有以下结果成立:rank(H)=n 1,Gv是结构平衡的;n,Gv是结构非平衡的.2.2符符符号号号边边边图图图给定一个图Gv,Ge=(Ve,e,Ae)表示Gv对应的边图,其中Ve表示边图Ge的顶点集,e表示边图Ge中的连接边集,Ae表示边图Ge的邻接矩阵.取Gv中的两条边eh=(vj,vi)和ek=(vs,vq),其中h/=k.如果ek指向eh的任一顶点,那么称ek是eh的入邻居.为了便于理解,给出eh的入邻居如图1所示.定义Nineh=ek=(vs,vq):ek,ek/=eh且vq=vj或vq=vi表示eh的入邻居集合.Ae=ahkRmm满足:如果eh Ninek,有 ahk 1,1;否则 ahk=0,即 ahk=|aqs,ek Nineh且vq=vj;aqsaij,ek Nineh且vq=vi;0,其他.vjvsvivjvsviehekehek图 1eh的入邻居的两种情况Fig.1 Two cases of in-neighbors of edgeeh定定定义义义 5给定一个具有n个顶点m条边的顶点图Gv,Gv对应的边图Ge的拉普拉斯矩阵定义为Le=Im+Ae.(1)引引引理理理 328给定一个顶点图Gv,对应的边图为Ge,H与Hin分别表示Gv的关联矩阵与入关联矩阵,则顶点拉普拉斯矩阵LvRnn与边拉普拉斯矩阵LeRmm分别满足Lv=HinHT,(2)Le=HTHin.(3)基于引理3有HTLv=LeHT成立.3问问问题题题描描描述述述考虑一个具有n个顶点m条连接关系的多智能体系统.假设边集Ve被分为领导者集合Vel以及跟随者集合Vef,其中Vel Vef=Ve,Vel Vef=.不失一般性,假设前p(pt0)内使得系统(5)由任意初始状态x(t0)能够到达任意最终状态x(t1),则称系统(5)是能控的.定义矩阵Q=B LeB Lm1eB和矩阵Q=B AeB Am1eB分别表示系统(5)以及矩阵对(Ae,B)的能控性矩阵.定定定理理理 1系统(5)的能控性等价于矩阵对(Ae,B)的能控性,即rank(Q)=rank(Q).证首先,系统(5)的能控性矩阵Q可写成如下形式:Q=B,LeB,Lm1eB=B,(Im+Ae)B,(Im+Ae)m1B=B,B+AeB,B+(m 1)AeB+Am1eB.显然存在一个可逆矩阵K Rmpmp(在矩阵Q上经过多次列变换所得),使得Q=QK.因此,rank(Q)=rank(Q),表明系统(5)的能控性等价于矩阵对(Ae,B)的能控性.证毕.4边边边能能能控控控性性性分分分析析析在本节中,从图论的角度对系统(5)的能控性进行分析.特别地,基于符号边图的距离划分得到能控子空间的下界,基于符号边图的等价划分得到能控子空间的上界.进一步,分析了边能控性与顶点能控性的关系.4.1边边边能能能控控控子子子空空空间间间下下下界界界给定边图Ge.用Peiej,d=(ei,l1,ei+1,l2,ld,ej)表示从ei到ej长度为d的一条路径,其中eiVe,ld e.考虑路径Peiej,d的符号sgn(Peiej,d)=ldPeiej,dsgn(ld).(6)考虑路径Peiej,d的权重(Peiej,d)(Peiej,d)=ldPeiej,d(ld),(7)其中(ld)表示边ld的权值.不难发现,从ei到ej的路径可能不唯一,因此sgn(Peiej,d)可能也不唯一.如 果sgn(Peiej,d)=1,称 该 路 径 为 正 路;如 果sgn(Peiej,d)=1,称该路径为负路.注注注 3本文所考虑的边图Ge的权重值 aij 1,0,因此|sgn(Peiej,d)|=|(Peiej,d)|.考虑sgn(Peiej,d)=1的所有路径的总权重为+eiej,d=Peiej,d+eiej,d(Peiej,d),(8)其中+eiej,d表示sgn(Peiej,d)=1的所有路径.考虑sgn(Peiej,d)=1的所有路径的总权重eiej,d=Peiej,deiej,d(Peiej,d),(9)其中eiej,d表示sgn(Peiej,d)=1的所有路径.因此,从ei到ej长度为d的所有路径的总权重为eiej,d=+eiej,d+eiej,d.(10)特别地,当|sgn(Peiej,d)=1|=|sgn(Peiej,d)=1|时,有eiej,d=0.引引引理理理 4给定边图Ge,则如下等式成立:Adeji=eiej,d,(11)其中d表示ei到ej的长度.证采用对d的数学归纳法进行证明.首先,当d=1时,从ei到ej有长度为1的路径当且仅当 aji=1;其次,假设Ad1eji=eiej,d1成立;最后,对于Adeji有Adeji=AeAd1eji=mr=1AejrAd1eri=mr=1Aejreier,d1=eiej,d.综上所述,等式(11)成立.证毕.考虑边图Ge,用D(ei)=C0,C1,Cq表示关于ei的距离划分(distance partition).其中C=ekVe|dik=.如果ej C都有eiej,=0,那么记eiC,=0,其 中166diam(Ge).令zC=|eiC,=0,ei=|D(ei)|zC|.定定定理理理 2系统(5)的能控性矩阵Q满足rank(Q)maxe1,e2,ep.(12)78控 制 理 论 与 应 用第 40 卷证首先考虑单领导者的情况.不失一般性,假设e1为领导者,令D(e1)=C0,C1,Cq为相对于e1的距离划分,其中q6diam(Ge),那么C0=e1,C=ei+1,ei+2,ei+1,166diam(Ge).即Vel=e1,给定ei/=e1,则Ad1ieBi1=nr=1Ad1ieirBr1=Ad1iei1B=Ad1iei1.因此,当Aed1ii1=0,有Ad1ieBi1=0;否则Ad1ieBi1/=0.给定一个整数,其中166diam(Ge).当d1i,不难发现AeBi1=0.构造矩阵MRmdiam(Ge)M=B AeB AeB Adiam(Ge)eB=|10M1*.00 M*.000 Mdiam(Ge)|,其中M=e1ei+1,e1ei+2,e1e+1,TR|C|,1 diam(Ge)=|D(e1)|=e1;2)如果e1C,=0,1|D(e1)|zC|=e1.综上所述,rank(Q)=rank(Q)rank(M)e1.在多领导者的情况下,针对每个领导者单独分析,按照单领导者的情况易得rank(Q)=rank(Q)maxe1,e2,ep.证毕.注注注 4定理2所得到的下界是紧的.事实上,可以构造一些边图使得下界成立.例例例 1给定一个如图2所示的边图Ge.在此假设e1是唯一的领导者,基于距离划分有D(e1)=C0,C1,C2,C3=e1,e2,e3,e4,e5.对于C3=e5来说,有两条从e1到e5长度为3的路径P1e1e5,3=(e1,(e1,e2),e2,(e2,e3),e3,(e3,e5),e5)和P2e1e5,3=(e1,(e1,e2),e2,(e2,e4),e4,(e4,e5),e5),其中(ei,ej)e.不难发现P1e1e5,3是一条正路,P2e1e5,3是一条负路,因此有e1C3,3=0,zC=3,|zC|=1且e1=3,通过计算能控性矩阵Q,有rank(Q)=e1=3.e1e2e3e4e5图 2 有向符号边图Ge.实线和虚线分别表示正边与负边Fig.2 Signed edge graphGe.The solid and the dashed linesrepresent the positive and negativeedges,respectively同理,当选择e1和e2作为领导者时,有D(e2)=C0,C1,C2=e2,e3,e4,e5,zC=2且e2=2.通过计算能控性矩阵Q,可得rank(Q)=maxe1,e2=3.4.2边边边能能能控控控子子子空空空间间间上上上界界界令=C1,C2,Cq是边图Ge的一个划分,定义ij=ekCiegCj akg|Ci|,i,j Iq,ij表示在划分下Cj到Ci中的度.用Ge/=(V,B)表示边图Ge在划分下的商图,其中V=C1,C2,Cq表示商图Ge/顶点集,=(Cj,Ci)|ij/=0表示商图Ge/边集,Bij=ij表示商图Ge/邻接矩阵第i行第j列的元素.对于给定的划分的特征矩阵定义为P=pij Rmq,若ei Cj,则pij=1;否则pij=0.定定定义义义 8令=C1,C2,Cq是边图Ge的一个划分,如果划分下有如下等式成立:esCi aks=egCi atg,ek,et Cj,(13)则称是一个等价划分(equitable partition).引引引理理理 5=C1,C2,Cq是边图Ge的一个等价划分当且仅当AeP=PB,即im(P)是Ae的不变子空间.证充分性:不失一般性,假设ekCj.如果AeP=PB,有AePkj=mr=1AekrPrj=mr=1 akrPrj=esCj aks.由于PBk,=Bj,那么对于et Cj有AePkj=AePtj,即esCi aks=egCi atg,ek,et Cj.因此是一个等价划分.必要性:假设是一个等价划分,令ek Cj,进而AeP的第k行可以表示为AePk,=etC1 aktetCj1 aktetCj aktetCq akt=j1 j(j1)jj jq.由特征矩阵P的定义可得,PB的第k行可以表示为PBk,=Bj,=第 1 期任世超等:有向符号网络的边能控性研究79j1 j(j1)jj jq,因此,AeP=PB是成立的.证毕.定定定义义义 9给定一个等价划分,如果选取的每个领导者都单独在一个胞腔中,则称为领导者孤立的等价划分(leader-isolated equitable partition,LEP),简记为LEP.引引引理理理 6假设LEP是边图Ge的一个领导者孤立的等价划分,则系统(5)的能控性矩阵Q满足rank(Q)6|LEP|.(14)证令PLEP表示LEP的特征矩阵,不难得到im(B)im(PLEP).进一步地,结合式(11)可得im(Q)=im(Q)=im(B AeB Am1eB)=im(B)+Aeim(B)+Am1eim(B)im(PLEP)+Am1eim(PLEP)=im(PLEP),这里运算符“+”表示两个空间的并.证毕.值得注意的是,一个边图Ge的领导者孤立的等价划分可能不唯一.假设LEP1,LEP2是边图Ge的两个不同的领导者孤立的等价划分,如果对于每一个在LEP1的胞腔是LEP2中一些胞腔的子集,那么称LEP1比LEP2更 好(finer),用LEP16LEP2来 表 示.如果LEP16LEP2,易得im(PLEP2)im(PLEP1).因此在寻找能控子空间的上界时,要求去找到一个最好的领导者孤立的等价划分,简记为LEP.定定定理理理 3假设LEP是边图Ge的最好领导者孤立的等价划分,那么系统(5)的能控性矩阵Q满足rank(Q)6|LEP|.(15)例例例 2给定如图3中左图所示的边图Ge.假设e1作为领导者,可以得出LEP=e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7.通过计算易得AePLEP=PLEPBLEP.进一步有rank(Q)=|LEP|=3成立.c3c2c1e1e2e3e4e5e6e7图 3 边图Ge(左)与其商图Ge/LEP(右).Fig.3 Edge graphGe(left)and quotient graphGe/LEP(right).The solid line and the dashed lines representthe positive and negative edges,respectively4.3边边边能能能控控控性性性与与与顶顶顶点点点能能能控控控性性性本节研究顶点能控性与边能控性之间的关系.首先引入顶点能控性模型.考虑一个具有n个顶点m条边的顶点图Gv,假设前p(p n 1.1)顶点图Gv是结构平衡时,由引理2可得rank(HT)=n 1,当m=n 1时,有rank(Q)6rank(Qv)成立;当m n 1时,rank(Q)=rank(Qv)成立.因此可得rank(Qe)6minrank(HT),rank(Q)=minn 1,rank(Q)6rank(Q)6rank(Qv).2)顶点图Gv是结构非平衡时,由引理1可知m n 1,rank(Q)=rank(Qv)成立.进一步,由引理2可得rank(HT)=n.因此rank(Qe)=rank(HTQ)=rank(Q)=rank(Qv).证毕.例例例 3给定如图5(a)所示的结构平衡顶点图Gv1.假设v1作为单独的领导者,即?B=1 0 0 0T.根据式(17)得B=1 0 0T.通过计算可得rank(Qe)=rank(Qv)=3成立.同理,给定如图5(c)所示的结构非平衡顶点顶点图Gv2,仍然假设v1作为单独的领导者,有rank(Qe)=rank(Qv)=4.e1e2e3v1v2v3v4(a)结构平衡顶点图Gv1e1e2e3(b)Gv1对应的边图Ge1e1e2e3e4e5e6v1v2v3v4v5(c)结构非平衡顶点图Gv2e1e2e3e4e5e6(d)Gv2对应的边图Ge2图 5 数值例子.实线和虚线分别表示正边与负边Fig.5 Numerical example.The solid and the dashed linesrepresent the positive and negative edges,respectively推推推论论论 1假设顶点图Gv对应的系统(16)是能控的,则1)如果Gv是结构平衡的,那么rank(Qe)=n 1.2)如果Gv是结构非平衡的,那么rank(Qe)=n.例例例 4给定如图6(a)所示的结构平衡顶点图Gv1.假设v1作为单独的领导者,即?B=1 0 0 0T.根据式(17)得B=1 0 0 0T.通过计算可得rank(Qv)=4,rank(Qe)=3.同理,给定如图6(c)所示的结构非平衡顶点图Gv2,仍然假设v1作为单独的领导者,有rank(Qe)=rank(Qv)=4.e1e2e3e4v1v2v3v4(a)结构平衡顶点图Gv1e1e2e3e4(b)Gv1对应的边图Ge1e1e2e3e4v1v2v3v4(c)结构非平衡顶点图Gv2e1e2e3e4(d)Gv2对应的边图Ge2图 6 数值例子.实线和虚线分别表示正边与负边Fig.6 Numerical example.The solid and the dashed linesrepresent the positive and negative edges,respectively5仿仿仿真真真实实实例例例为了验证本文所得到的理论结果,考虑由4个智能体构成的顶点图Gv,如图7中左图所示.Ge表示Gv对应的边图,如图7中右图所示.给出Ge的拉普拉斯矩阵Le=|1001110101101011|.e1e2e3e4e1e2e3e4v1v2v3v4图 7 有向符号顶点图Gv(左)与其对应的边图Ge(右).实线和虚线分别表示正边与负边Fig.7 Directed signed vertex graphGv(left)and its corre-sponding edge graphGe(right).The solid and dashedlines represent the positive and negative edges,re-spectively假设e4作为领导者,即B=0 0 0 1T,通过计算可得rank(Q)=4,表明系统(5)是能控的.为了更加直观的理解,给定边初始状态x(t0)=0 0 0 0T,边最终状态x(tf)=5 10 10 10T,在有限时间tf=第 1 期任世超等:有向符号网络的边能控性研究8110内边状态的变化曲线如图8所示,控制输入的变化曲线如图9所示.t 1086420050403020101020边状态xi,i=1,2,3,4 x1x2x3x4图 8 边状态曲线Fig.8 Curves of edge statet 10864200806040202040控制输入u(t)图 9 控制输入曲线u(t)Fig.9 Curve of control inputu(t)6结结结论论论与与与展展展望望望本文基于领导者跟随者结构研究了有向符号网络下多智能体系统边能控性问题.首先,在符号网络下建立具有边动力学能控性模型,通过分析边拉普拉斯矩阵得到边能控性的一些性质;其次,从图论的角度对边能控性子空间进行定量分析.特别地,基于距离划分给出了边能控子空间的下界以及基于等价划分给出了边能控子空间的上界,并且得到的上下界具有紧性.最后,基于图的关联矩阵研究了顶点图能控性与对应边图能控性之间的关系,得出当顶点图为结构非平衡时,顶点图的能控性等价于对应边图的能控性.本文考虑了固定拓扑结构的情形,未来将进一步考虑动态拓扑结构下的边能控性.此外,文本考虑的边权取值范围是0,1,当系统的权重为任意取值时,同样是一个值得研究的问题.参参参考考考文文文献献献:1 TANNER H G.On the controllability of nearest neighbor intercon-nections.Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision andControl.Paradise Island,the Bahamas:Springer,2004,3:2467 2472.2 LI A,CORNELIUE S P,LIU Y,et al.The fundamental advantages oftemporal networks.Science,2017,358(6366):1042 1046.3 GUAN Y,LI A,WANG L.Structural controllability of directedsigned networks.IEEE Transactions on Control of Network Systems,2021,DOI:10.1109/TCNS.2021.3059836.4 GUAN Yongqiang,JI Zhijian,ZHANG Lin,et al.Recent develop-ments on controllability of multi-agent systems.Control 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