线段的垂直平分线与角平分线专题复习讲课稿.docx

线段的垂直平分线与角平分线专题复习

线段的垂直平分线与角平分线专题复习
知识点复习：
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD⊥AB，且AD＝BD
∴ AC＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等
（2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示：如图2，∵ AC＝BC
∴ 点C在线段AB的垂直平分线m上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；
若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：如图4，
∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D， ∴ CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，
∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
① AP、BQ、CR相交于一点I；
② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；
（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
精品习题：
1．在△ABC中，∠C=90º，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.
2．如图，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则= （ ）
A． B． C．　 D．不能确定

3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.

4．如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为 ．

5．AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（ ）
A．PD>PC B．PD<PC C．PD=PC D．无法判断

6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A、∠B的角平分线的交点处

7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )
A．25º B.30º C.45º D.60º

8．AC=AD，BC=BD，则有（　　）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP

10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（　　　）处。
A、1　　 　B、2　 　　 　C、3　　　　　　D、4

11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．

12．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与 AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.

13．如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．

14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；
（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．

15．已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．
（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变？说明理由．

16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？
（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．

17．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADE，求证：AD=AB+CD。

A
B
E
C
D

D
A
E
C
B
18．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

19．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD

A
B
C
D

庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。
　　人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。
　　我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。
　　生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。
　　就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！
　　生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。
　　前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。
　　我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。
　　人生是一场跋涉，也是一场选择。我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。
　　如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。
　　选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。
　　没有淌不过去的河，就看我们如何摆渡。没有爬不过去的山，就看我们何时启程。
　　德国哲学家尼采说：“每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。”让我们打开朝着晨光的那扇窗，迎阳光进来，在每一个日出东海的日子，无论是鲜衣怒马少年时，还是宠辱不惊中年时，都活出自己的明媚和精彩。
　　时间会带来惊喜，只要我们不忘记为什么出发，不忘记以梦为马，岁月一定会对我们和颜悦色，前方也一定会有意想不到的惊喜。
　　人生忽如寄，生活多苦辛。
　　短暂的生命旅程，
　　别辜负时光，别辜负自己。
　　愿我们每一个人自律、阳光、勤奋，
　　活成自己喜欢的模样，
　　活成一束光，