第一章-行列式.doc

第一章 行列式王航平行列式在线性代数中其有重要意义，它是研究线性方程组及线性相关性的有力工具。学习本章要求理解n阶行列式的定义，了解并应用行列式的基本性质，掌握行列式的基本计算方法，掌握利用行列式解线性方程组的Cramer法则。并通过上述内容的学习，熟悉与掌握代数的抽象表示。1.1 基本概念1.1.1n阶行列式的定义1、 排列的逆序排列：由n个数,n组成的一个有序数组称为一个n元排列。如35124便是一个5元排列。n元排列共有n!个。逆序：在一个n元排列中，若，则称这两个数组成一个逆序。如45132中，与，与，与均构成逆序，但与却构成顺序，不构成逆序。中，顺序与逆序之和为个。逆序数：一个排列中逆序的总数称为排列的逆序数，记为。如。n元排列中逆序数最大的排列为反排列n(n-1)21，其逆序数为，（其每一对序均为逆序，或说其没有顺序）；逆序数最小的排列为自然排列，即12n，其逆序数为。奇排列与偶排列：排列中排列的逆序数为奇数时，称该排列为奇排列，逆序数为偶数时称为偶排列。对换：一个排列中将两个数的位置互换，称为一次对换。对排列施行一次对换将改变排列的奇偶性。任一排列，均可经若干次对换，变为自然排列，且排列的奇偶性与对换次数的奇偶性相同。、n阶行列式的定义、阶行列式的定义：；此方法称为对角线法则。注意对角线法则仅适用于、阶行列式，而不适用于阶数大于的行列式。n阶行列式的定义：（）。这时的表示对所有n元排列求和，故共有n!项。此定义对n2、3的解释：；。1.1.2 n阶行列式的性质：1、 n阶行列式的的性质（五大性质三推论）与按行（列）展开定理：性质1：行列式转置，其值不变。即注：此性质表明，行列式中行与列的位置是对等的，即所有关于行（列）成立的性质，关于列（行）也同样成立。性质2：行列式交换两行（列）位置，其值变号。（换法变换）即推论1：行列式含有零行，其值为零。性质3；用数k乘行列式的某一行（列）的和元素，等于以数k此行列式。（倍法变换）即推论2：行列式中有两行相等，其值为零。推论3：行列式中有两行（列）成比例，其值为零。性质4：分行（列）相加性：即性质5：消法变换：即113行列式的展开余子式：在行列式中，去掉元素所在的第i行，第j列，由剩下的元素按原来的相对位置构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记为。代数余子式： 称为元素的代数余子式。定理： 或其中114行列式的其它性质上（下）三角行列式：上（下）三角行列式的值都等于其对角线上的元素之积。Vandermonde行列式：115Cramer法则：若n个方程，n个未知量的线性方程组若它的系数行列式，则该线性方程组有且仅有一个解：。其中为以常数列取代D中的第i列所得行列式。注意：Cramer法则仅适用于同时满足以下条件的线性方程组：（1）有n个未知量和n个方程的线性方程组；（2）其系数行列式不等于零。齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式的值为零。1.2 例题解析121n阶行列式的定义例1：计算下列逆序数:（1）（2）（3）；（4）。解：（1）排列315462中，3为首位，可规定3与其前面的数构成的逆序是0；记；1为第2位，1前面仅有3，且构成一个逆序，所以有；同理，有；4前面有3，1，5，而（3，4），（1，4），（5，4）中，（3，4），（1，4）均构成逆序，（5，4）构成顺序，故；同理，。所以，01224110。也可以从排列的第2个数开始计算，即1224110。（2）112134214。（3）01122kk（n-1）+(n-1)+n。（4）（12n）（1k（n1）。例2：设，求。解：，排列中逆序对有对，其余均为顺序对，而n元排列共有对，所以顺序对共有对。在排列中，序对的顺序刚好与中的相反，所以中有对逆序，对顺序，。例3：求n元排列的逆序数的取值范围；最大、最小值对应的排列分别是怎样的排列？解：；最大、最小值对应的排列分别为倒排列与自然排列。评：关于排列的逆序数，关键在于定义。而定义表明排列中所有构成逆序的对数即为。若定义，则。剩余的问题便是关于n，如何针对n寻找规律进行计算。例4：（1）在四阶行列式中，写出含的所有正项；（2）试确定8阶行列式中项的符号。解：（1）4阶行列式的含一般项为，而项，若不计符号，是位于不同行不同列的四个元素乘积，所以，只能取，只能取。所以含一般项为只有，中的列排列为偶排列，所以所求的项为。评：要按定义分别计算所有位于不同行不同列的n个元素的乘积及相应的符号，舍去其中必为零的项。例5：求下列行列式的值：（1）；解：进行如下列变换： 得再施行行变换：得。评：利用行列式的性质进行计算。注意，这里用的是消法变换，故系数没有变化；若用的是其它变换，要注意系数的变化。（2）；解：，而，所以4！；（3）；解：原式，而原式。评：行列式反主对角线上的元素之积所对应的项不一定是（1）！不要把适用于2、3阶行列式的对角线法则用于阶数大于3的行列式。（4）。解：原式。122n阶行列式的计算基本计算法：直接用行列式的性质计算：三角计算法：利用行列式的基本性质，将行列式化为上（下）三角行列式，再利用三角行列式的值是其所有对角元之积计算。按行（列）展开法：利用行列式的基本性质，将行列式的某一行（列）化为只含一个零元的行（列），再用按行（列）展开定理进行降阶计算。评：此类计算，需要精确的数值计算能力。故同学在计算时，务必仔细，确保计算准确。例1：设是四维列向量，且则_。解：848（1）24。例2：求下列行列式的值：（1）；解：法1：40。法2：40。（2）。解：92。n阶行列式的几种常用计算方法：加边法；三线行列式；同时拆行（列）法；递推法；析因子法。n阶行列式计算中的几种常用技巧：利用行（列）和相等；利用行列式的特殊对换，将所求行列式变为已知值的行列式。例3：计算下列n阶行列式：（1）；解：法1：利用行（列）和相等：；评：利用行（列）和相等是行列式计算中常用的一种技巧，通常利用它化某列（行）均为1，再利用行（列）变换化该列（行）只留一个1，最后用按列（行）展开降阶。法2：加边法：（三线行列式）。法3：同时拆行（拆列）法：。评：同时拆行（列）法，主要是把n阶行列式的每行（列）看成两行（列）之和，用分行（列）相加性，可拆成个行列式，若其中绝大多数行列式为零，则可用此法。如此例中的行列式，若拆开以后的行列式中有两列含有b，则此行列式为零，所以仅须考虑至多只有一列含b的行列式，所以只须考虑n+1个行列式即可。（2）；析因子法：可将行列式看成多项式，若知道多项式的所有根，则仅需确定其首项系数即可。如：若知道n次多项式的所有根：，则，所以只须确定系数即可。解：是的n+1次多项式，其根有，所以，而的首项（即最高项）系数是1，所以，即。（3）解：此题可用加边法、同时拆行（列）法求解。下用加边法求解：。（4）解：可用加边法、同时拆行（列）法、递推法求解。现用递推法求解：得递推公式。评：递推法主要是利用递推公式进行计算。而行列式计算中，主要用到两个递推公式：；，其中是常数。（5）。解：此类题可利用已知值行列式，如此题可利用Vandermonde行列式求解。对施行行对换：(n, n-1)、(n-1, n-2)、(2, 1)得（注：此种变换将第n行调到第一行而不改变其余和行的相对顺序。）继续实施此类变换，可得。123Cramer法则例1：利用Cramer法则解线性方程组：解：5，。例2：齐次线性方程组有非零解，求的值。解： 有非零解，充要条件为其行列式为零， 。123自测试卷一、选择题：（5315）1、 若行列式，则_；（A）2，（B）2，（C）3，（D）32、 行列式的值等于_；（A）, (B), (C), (D)3、 _；（A）12，（B）12，（C）16，（D）164、 行列式的充要条件是_；（A），（B），（C）且，（D）或5、 _；（A） ，（B），（C），（D）。二、填空题：（5315）1、_；2、 n阶行列式A的值为C，若将A的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式的值为_；3、 5阶行列式中，含的所有正项为_；4、 7阶行列式_；5、 设都是3维向量，且行列式，则_。三、计算题：（61060）1、 计算数字行列式：；2、 计算数字行列式：；3、 求n1阶行列式的值：；4、 计算行列式：；5、 计算行列式：；6、 用Cramer法则求解线性方程组：。四、证明题：（2510）1、 利用行列式的性质证明：，则，其中是3维列向量。2、 证明下列恒等式：