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第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分) n元排列 i1 i2 in经过相邻对换，变为in i2 i1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n/2 (C) 2n (D) n(n-1)/2 在函数中，x3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 若Dn=det(aij)=1，则det(aij) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n-1)/2 设，则n不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k+1(k2) (C) 2k (k2) (D) 17 下列行列式等于零的是( )(A) (B) (C) (D) 行列式D非零的充分条件是( )(A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零(C) D的任何两行元素不成比例 (D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ( )(A) (B) (C) (D) 设a,b,c两两不同，则的充要条件是( )(A) abc=0 (B) a+b+c=0 (C) a=1, b=-1, c=0 (D) a2=b2, c=0 四阶行列式( ) (A) (a1a2- b1b2) (a3a4- b3b4) (B) (a1a4- b1b4) (a2a3- b2b3)(C) (a1b2- a2b1) (a3b4- a4b3) (D) (a1b4- a4b1) (a2b3- a3b2) 齐次线性方程组只有零解，则l应满足的条件是( )(A) l=0 (B) l=2 (C) l=1 (D) l1二填空 (每小题3分，共15分) 在五阶行列式中，的符号是_。 五阶行列式_。 设，则5A14+A24+A44=_。 若a,b是实数，则当a=_且b=_时，有0。 设x1,x2,x3是方程x3+px+q=0的根，则行列式_。三计算行列式 (每小题6分，共30分) (ab) 四证明题 (每小题10分，共20分) 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,n构成的n元排列，一定可以经过不超过n次对换变成标准排列12n 设平面上三条不同的直线为 ，证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是五 解答题 (5分)l 和m 取何值时，有非零解？参考答案一、选择题 (D) (A) (C) (A) (D) (D) (C) (B) (B)； (D)二、填空题 “-”调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列，此时列标排列的逆序数为t(24513)=5，故该项带负号。 42 -150用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有5A14+A24+A44= a=0, b=0 a=0, b=0 0由题意知，其中x3的系数为k，x2的系数为，与原方程比较，得k=1，x1+x 2+x 3=0。将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得 三、计算题 对n阶行列式按第一行展开，得递推公式 于是有 得递推公式 Dn的转置行列式相当于将a,b互换，于是有 因为ab，(x-b)-(x-a)，得四、证明题 设n元排列为i1i2in。当n=2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。假设结论对n-1元排列成立，下面证明对n元排列也成立 若元素in=n。根据归纳法假设，i1i2in-1可经过不超过n-1次对换变成12 (n-1)，亦即i1i2in-1in可经过不超过n-1次对换(n次)变成12n 若元素inn。不妨设ik=n，只需对换元素ik和in，即得第种情形，故i1i2in可经过不超过n次对换变成12n 必要性设三条直线交于一点(x0,y0)，则x=x0，y=y0，z1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解，故系数行列式 即由于三条直线不同，因此，a,b,c不能全部相等，故。 充分性 已知，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。 将前两个方程相加，有由于，得，即第三个方程。因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组变为 其系数行列式 显然D0 否则，a=c=0，并由此得b=- (a+c)=0，这与是直线方程矛盾因此，方程组亦即方程组有唯一解，三条直线交于一点。五、解答题齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即故或时，方程组有非零解。