圆柱体状材料上非Fourier热传导奇异摄动解_陈序.pdf

第 卷第期杭 州 电 子 科 技 大 学 学 报（自然科学版）年月 （）：圆柱体状材料上非 热传导奇异摄动解陈序，包立平，吴立群，蒋亚楠（杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 ；杭州电子科技大学机械工程学院，浙江 杭州 ）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）作者简介：陈序（），男，研究方向：偏微分方程。：。通信作者：包立平，副教授，研究方向：偏微分方程。：。摘要：运用非 热传导定律在圆柱体状材料上建立温度场模型，该模型在数学上表达为三维奇异摄动双曲方程的初边值问题。首先，通过柱坐标变换，使用奇异摄动方法得到内外解方程；其次，使用分离变量法求解内外解，得到形式渐近解；最后，运用余项估计，得到解的一致有效性。关键词：分离变量法；热传导方程；奇异摄动；温度场；有界域中图分类号：文献标志码：文章编号：（）引言自 建立热传导的数学模型以来，定律广泛应用于热传导问题分析的各个领域。对于热作用时间较长的稳态传热过程，采用 定律来描述热流密度与温度梯度之间的关系可以满足精度的要求，但 定律隐含了热扰动传播速度为无限大的假设，不涉及传热时间项，不适用于一些材料极速加热环境下的热传导问题。当遇到极速瞬态热传导时，经典的傅里叶传导定律不再准确，非傅里叶效应变得显著。为了克服傅里叶定律的局限性，文献 分别提出了具体热流延迟相的非 热传导模型。非 热传导定律可应用于科学技术和工程应用的许多领域中，例如双曲模型的应用、短时间金属激光加热的应用、高热通量材料的应用 等。此外，当存在极短持续时间、极高频率或相当高热流密度源时，非 热传导定律起到重要作用。等 采用四阶紧致差分离散格式求解一维微尺度热输运方程，得到高精度的数值解。等 运用高阶渐近均匀化理论建立了一种多尺度的方法，对周期性非均匀材料在多维空间中的非傅里叶热传导现象进行数值模拟，得到多维空间下的数值解。李金娥等 建立了一个双层材料层合板瞬态加热情况下的非 热传导分析模型，运用向后差分法得到了温度场的数值解。文献 研究了具有间断源项的半线性微分方程奇摄动问题。目前，非 热传导数学模型的研究大多采用的是数值方法，很少能得到解析解或近似解析解，为此，本文运用奇异摄动方法对非 热传导模型进行分析并求解，得到原问题的渐近解。模型分析工程应用中，比较常见的非 热传导定律在圆柱体状材料上的温度场模型如下：（）（）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）式中，是温度，是一阶导数连续的函数，和是常数，是小参数，是半径为?、高度为的三维圆柱形区域 的边界。针对区域 的特性，对模型（）做柱坐标变换 ，得到：（）（）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）式中，（，）（，），（，）（，），（?，）（，），是坐标变量。非 温度场模型（）转化为模型（）后，对模型（）中的进行形式展开，得到：（）比较同次幂系数，可得：（）（）（）（）（）（，）（，）（，）（，）（?，）（，）（，）（，）（，）（，）（）（）（）（）（）（）（）（，）（，）（，）（，）（，）（）（）（）（）（）（）（，）（，）（?，）（，）（，）（，）（）（，）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）（）（，）（，）（，）（，）（，）（）式中，。为了统一处理方程（）方程（），给出如下定理。定理方程（）（）（）（）（，）（，）（，）（，）（，）（?，）（，）（，）（，）（，）（，）（）第期陈序，等：圆柱体状材料上非 热传导奇异摄动解的解为：，（）?（）（）（）（）（）（）（，）其中，是常数，是待定函数，是第一类阶贝塞尔函数，（）是的正根，（），（），分别为：（）（）（）（）（）?（）且满足以下条件的函数，（，）（，）（，）（，）（?，）（，）证明为了使得边界条件齐次化，令（，）（，），可得：（）（）（）（）（）（，）其中，是整理后的余项，满足以下条件：（，）（，）（?，）（，）（，）（，）（，）运用分离变量法进行分析，可得：（，），（）?（）（）（）（）其中，（，）（）（）（）（）（）（），（，）（）（）（）（）（）（）。对于非齐次方程，同样运用分离变量法可得：，（）?（）（）（）（）（）（）（，）证毕。应用定理可以得到如下结果：（）当，时，方程（）即为方程（）；（）当，（，），（）时，方程（）即为方程（）；（）当，（）（，）（，），时，方程（）杭州电子科技大学学报（自然科学版）年即为方程（）；（）当，（）（，）（）（，），（）时，方程（）即为方程（）。综上分析可以看出，运用定理即可求解方程（）方程（）。余项估计定理方程（）的形式渐近解为：（，）（）其余项满足：（）即在空间，（，）有界，其中表示梯度算子。证明将方程（）代入（）（），经过整理可得：其中表示拉普拉斯算子，两边同时乘以，可得：（）（）经计算可得余项满足：（，），（，），（，）（，）则：（，）（，）（，）同理，（，）（，）作积分 （，）（，）（，）代入方程（），整理后可得：；则：，第期陈序，等：圆柱体状材料上非 热传导奇异摄动解令，计算可得：；记，积分可得：（）从而 有界，故 有界，即在，（，）空间有界，形式渐近展开方程（）一致有效。证毕。结束语本文主要研究圆柱体状材料非 热传导在有限区域的初边值问题。综合应用坐标变换、分离变量、奇摄动展开法等工具进行求解，得到内外解方程，求得形式渐近解，并证明解的一致有效性。不同于以往的一维非 温度场模型，本文的研究建立在工程上常见的高维有界区域上，更加适用于工程技术问题。下一步的研究方向将从目前的高维圆柱体、立方体等规则区域拓展到高维不规则形状区域上的非 温度场模型。参考文献 ：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：杭州电子科技大学学报（自然科学版）年 李金娥，王保林，常冬梅 层合材料的非傅里叶热传导及热应力 国体力学学报，（增刊）：（），（）：包立平，李文彦，吴立群非 温度场分布的奇摄动解应用数学和力学，（）：，（.，；.，）：，：；（上接第 页），（）：，（），：，：，（，）：（），：；第期陈序，等：圆柱体状材料上非 热传导奇异摄动解