与广义Witt代数有关的非...李代数的极大子代数及其性质_徐润果.pdf

收稿日期2 0 2 2-0 4-2 7;修改日期2 0 2 2-0 6-2 2 基金项目国家自然科学基金面上项目(1 2 1 7 1 1 3 2);安徽省自然科学基金面上项目(2 0 0 8 0 8 5MA 0 5)作者简介徐润果(1 9 9 8-),女,硕士在读,基础数学专业.E-m a i l:x u r u n g u o m a i l.h f u t.e d u.c n第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2与广义W i t t代数有关的非有限分次李代数的极大子代数及其性质徐润果,许 莹(合肥工业大学 数学学院,合肥2 3 0 6 0 1)摘 要代数的极大子代数可以深刻的反映代数的内部特征.对于非有限分次李代数W,利用李代数的特性构造出3个极大子代数,研究了相关性质,并且证明了前两个极大子代数是同构的.关键词W i t t代数;非有限分次李代数;极大子代数;单李代数;可解李代数 中图分类号O 1 5 2.5 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 0 1-0 81 引 言W i t t代数是经典微分和积分学中的一个重要例子,它与拓扑学和几何学有着密切联系,同时也具有很多特殊的代数性质.W i t t代数具体定义为L a u r e n t多项式代数t,t-1上的单变量的复导子李代数,即t,t-1上线性算子D的李代数,并且该算子满足莱布尼茨公式D(a b)=D(a)b+a D(b).许多专家学者对W i t t代数展开了研究,例如文献1 和2 等采取多种方式,对W i t t代数进行新的构造与变形,丰富了李理论.文献3 由带单位元的交换结合代数和阿贝尔导子代数对构造出W i t t型李代数,与文献4 以及文献5 定义的李代数相比,该代数更为一般.文献6 建立了P a s s m a n构造的W i t t型单李代数的同构类,并给出了广义W i t t代数W(l1,l2,l3;)的定义,而本文将要讨论的非有限分次李代数W正是该代数的一种特殊情况W(1,0,1;),具体定义详见定义1和定义2.除此之外,S c h r d i n g e r-V i r a s o r o代数也是-分次李代数,文献7 生动刻画了其扭代数的泊松结构,而文献8确定并分类了与该李代数相关的秩为3的李共形代数的结构.2 0 0 0年后,广义W i t t代数的2-上同调群9和李双代数结构1 0也得到了充分的考察与构建.文献1 1对W i t t和V i r a s o r o代数进行了推广,文献1 2 量子化了特征为0的广义W i t t代数的李双代数结构.文献1 3 证明了任何单变量的广义W i t t代数都是半单的、不可分解的李代数,它不包含任何维数大于1的阿贝尔李子代数.从那时起,广义W i t t型代数得到了广泛的研究.另外,在广义W i t t型代数1 4的基础上,从结合代数的角度出发构造出了广义W e y l型代数1 5,进而得出了其2-上同调群1 6等一系列的成果.代数的极大子代数可以深刻的反映代数的内部特征,然而目前对W i t t代数的极大子代数研究工作较少.显然,非有限分次李代数W有很 多子代数,例 如上文提到 的经典W i t t代数 和H e i s e n b e r g-V i r a s o r o代数1 7.此外,文献1 8 研究了素特征域上W i t t代数的极大子代数的2-局部导子,文献1 9对一类广义W i t t的子代数做出研究并构造出所有的自同构类.广义W i t t代数作为较复杂的李代数,研究其极大子代数的工作显得尤为重要.本文提出了非有限分次李代数W的3个极大子代数W1,W2,W3,利用李代数的特性研究了相关性质.并且证明了前两个子代数是同构的,进一步丰富了广义W i t t代数的研究理论.2 广义W i t t代数及非有限分次代数首先,本文工作在一个特征为0的基域FF上,所有向量空间和线性算子都在FF上,下面的定义请参阅文献6.本节主要介绍广义W i t t型代数和非有限分次李代数的基本概念和定理,首先回顾广义W i t t型代数的定义.定义1(广义W i t t代数的定义)设l1+l2+l30,其中l1,l2和l3是非负整数.设是FFl2+l3的任意非 退 化 子 加 群.用FFt 11,t 12,t 1l1+l2表 示FF上l1+l2个 变 量 的L a u r e n t多 项 式 代 数,设A l1,l2,l3;是自由的FFt 11,t 12,t 1l1+l2-模,基 x|及可交换结合代数运算“”:f x g x =f g x+,f,gFFt 11,t 12,t 1l1+l2,.定义一些A l1,l2,l3;上线性变换 t1,tl1+l2,*1,*l2+l3:tih x =tih x,*jh x =jh x,其中hFFt 11,t 12,t 1l1+l2且=(1,l2+l3),ti是对ti求偏导的算子.令i=ti,l1+j=*j+tl1+j,l1+l2+k=*l2+k,对于任意的1il1,1jl2,1kl3.令DD=li=1FFi以及Wl1,l2,l3;=A l1,l2,l3;DD,l=l1+l2+l3.该广义W i t t李代数满足如下关系式:ui,vj =ui(v)j-vj(u)i,对于u,vA l1,l2,l3;,1i,jl1+l2+l3.由此,就得到了广义W i t t李代数Wl1,l2,l3;.现在令l1=1,l2=0,l3=1,=,可以得到本文研究的非有限分次李代数W.确切地说,A1,0,1;是自由的FFt 1-模,从高维向量变成了一个数.对于任意的,i,令I,i=xti1,L,i=xti2,其中1(xti)=i xti-1,2(xti)=xti.W的详细定义如下:定义2 非有限分次李代数W是特征为0的基域FF上的-分次代数,具有生成元L,i,I,i|,i,在下列运算下形成一个李代数:L,i,L,j=(-)L+,i+j,L,i,I,j=I+,i+j-i L+,i+j-1,I,i,I,j=(j-i)I+,i+j-1,对于任意的,i,j .注 W是-分次的:W=W,其中W=s p a nL,i,I,j|i,j.下面阐述一些李理论的基础定义.定义3 设a是基域FF上的李代数g的子代数,如果对任何子代数b,只要ba便必有b=g或b=a成立,则称a是g的极大子代数.定义4 设g是李代数,N是g的子空间.如果 g,NN,则N称为g的理想.特别地,g,g也是g的理想,且称 g,g为g的导出代数或导代数.据此,可以做出g的一个理想序列:g0 =g,g(1)=g,g,g(2)=g(1),g(1),显然有g=g0 g(1)gi gi+1 ,称上述理想列为g的导代数序列或导出列.定义5 李代数g称为可解李代数,如果存在正整数n使得gn =0.定义6 若李代数g不含任何非零的可解理想,则g称为半单李代数.3 非有限分次李代数W及其极大子代数在本章节,将分析非有限分次李代数W的性质,并且给出其两个极大子代数,且对其性质分别做出2大 学 数 学 第3 8卷阐述.3.1 非有限分次李代数W前文已经得到了非有限分次李代数W,进一步地,注意到该代数的性质,这导致了W与其他代数的不同之处.引理1 W是单李代数6.根据上述引理,可以推断出W的中心Z(W)=0.事实上,这个结论也可以由W本身的构造得到,证明如下.证 设任意的x=,ic,iL,i+d,iI,i Z(W),根据Z(W)的定义,任取,L,0W,可以得到0=x,L,0=,ic,iL,i+d,iI,i ,L,0=,ic,i-L+,i-d,i I+,i .比较各项系数可得:c,i-=0,d,i=0.又由于的任意性,故有c,i=0,i,d,i=0,0,i,那么x可简化为id0,iI0,i.任取I,jW,对其施用李括号:0=x,I,j=id0,iI0,i,I,j=id0,ij-i I,i+j-1,根据任意选取的j可知d0,i=0,所以x=0,即Z(W)=0 .3.2 极大子代数W1及其性质定理1 W1=s p a nL,i,I0,j|,i,j 是W的极大子代数.证(i)对于任意的,i,j,有L,i,L,j=-L+,i+j,L,i,I0,j=-i L,i+j-1,I0,i,I0,j=j-i I0,i+j-1,则W1对于李括号的运算是封闭的,再由L,i,I0,j的线性结构知:W1是W的子代数.(i i)设N也是W的子代数且有W1NW.不妨设x=x*+,ib,iI,iNW1,其中x*W1,必存在某个b,i00 ,否则xW1.根据子代数的性质,令y=x-x*=,ib,iI,iNW1,将y写成如下形式:y=b,qI,q+b,q+1I,q+1+b,pI,p ,其中q是最小非零系数指标,p是最大非零系数指标.将I0,q从左端作用于y,I0,q,y=(b,q+1I,2q+(p-q)b,pI,p+q-1)N.类似地,反复用适当的I0,k作用,最终得到下式z=c,mI,m=c-,mI-,m+c0,mI0,m+c1,mI1,m+c,mI,m,其中-是最小非零系数指标,是最大非零系数指标.下面分析-0的情形:将L1,0作用于z,即得L1,0,z=-c-,mI1-,m+c1,mI2,m+c,mI1+,m;令L1,0反复作用次于上式,即得+1 !c1,mI+2,m+c,mI+1,m,此时消去了前+1项;同理,反复用适当的L,0作用,最终将只剩下一非零项I,mN(总可以进行适当的施用,使得0,否则没有意义).对于任意的m,I0,1-mW1,I0,1-m,I,m=(2m-1)I,0,I,0,I0,j+1=(j+1)I,j,故当j-1时,I,jN;I,1,I0,-1=-2I,-1,故I,-1N.即j,I,jN.又 L-,0,I,j=I,jN,而0,I,jN,j .,取值的其他情况同理可得.3第6期 徐润果,等:与广义W i t t代数有关的非有限分次李代数的极大子代数及其性质又因W1N,则L,jN,对于任意的,j .综上,N=W,即W1=s p a nL,i,I0,j|,i,j 是W的极大子代数.性质1 W 1=s p a nL,i|,i 是W1的理想:(i)W 1是W1唯一的非平凡理想;(i i)W 1,W 1=W 1.证 W 1是W1的理想这一结论可以从W1的封闭性验证中直接得出.下证(i)和(i i):(i)若W W 1是W1的非零理想,则取任意的x=,ia,iL,i+jbjI0,jW W 1,故至少存在一个k使得bk0.(a)将L0,0作用于x,L0,0,x =,i a,iL,i=ia,iL,i+1 a+1,iL+1,i+a,iL,i =y,其中是最小非零系数指标,是最大非零系数指标.用L,0作用于y,可得L,0,y =i+1 a+1,iL2+1,i+a,i-L+,i ;同理,反复用适当的L,0作用,最终将得到下式z=ic,iL,i=c,-qL,-q+c,-1L,-1+c,pL,p,其中-q是最小非零系数指标,p是最大非零系数指标.下面我们分析-q0p的情形:使I0,0作用一次于z,可得I0,0,z=-q c,-qL,-q-1+-c,-1 L,-2+p c,pL,p-1;用I0,0作用p+1次后,即得-q -q-p c,-qL,-q-p-1+-1 -p-1 c,-1L,-p-2,即可消去 若干项.同 理,反复 用 适 当 的I0,k作 用,最 终 将 只 剩 下 一 非 零 项L,hW.,m,L-,m-hW1,L,h,L-,m-h=-2 L,m,故当2时,L,mW;L-1,0,L2+1,m=(2+2)L2,m,故当-1时,L2,mW.L-3,0,L1,m=4L-2,mW,即对于任意的,m,L,mW.q与p取值的其他情况同理可得.(b)现在注意到r=x-,ia,iL,iW,又r=jbjI0,j=buI0,u+bu+1I0,u+1+bvI0,v,其中u是最小非零系数指标,v是最大非零系数指标.把I0,u作用于r,可得 I0,u,r=bu+1I0,2u+v-u bvI0,v+u-1;同理,反复用适当的I0,t作用,最终 将 只 剩 下 一 个 非 零 项I0,lW.对 于 任 意 的k,I0,k-l+1W 1,I0,l,I0,k-l+1 =k-2l+1 I0,k,故当k2l-1时,I0,kW;I0,0,I0,2l =2l I0,2l-1,故当k0时,I0,2k-1W;I0,-2,I0,2 =4I0,-1,故当k0时,I0,-1W.综上所述,对于任意的k,I0,kW.即证W=W1,故W1除W 1外无非平凡理想.(i i)由理想的定义,可自然发现 W 1,W 1W 1,下证反方向的包含关系:对于任意的,i,L,i都可以由L,i=L,i,L+1,0,是奇数,12L,i,L+2,0,是偶数,得到,其中=-12,是奇数,2-1,是偶数,4大 学 数 学 第3 8卷即L,iW 1,W 1,故 W 1,W 1W 1,即证 W 1,W 1=W 1.据此性质,利用定义5和定义6不难验证以下两个推论:推论1 W 1不是可解李代数.推论2 W1是半单李代数.3.3 极大子代数W2及其性质定理2 W2=s p a nL,0,I,j|,j 是W的极大子代数.证(i)对于任意的,i,j,有L,0,L,0=-L+,0,L,0,I,j=I+,j,I,i,I,j=j-i I+,i+j-1,则W2对于李括号的运算是封闭的,再由L,0,I,j的线性结构知:W2是W的子代数.(i i)设N也是W的子代数且有W2NW.不妨设x=x*+,ia,iL,iNW2,其中x*W2,必存在某个a,i0(i0),否则xW2.令y=x-x*=,ia,iL,iNW2,将y写成如下形式:y=i-a-,iL-,i+a,iL,i),其中-是最小非零系数指标,是最大非零系数指标.类似于性质1中(a)的证明,选取合理的L,0,I0,k多次作用于y,可得对于任意的,m,L,mN.又由于W2N,则对于任意的,m,I,mN.也就是说,N=W,即W2=s p a nL,0,I,j|,j是W的极大子代数.发现W1与W2满足如下关系:引理2 W1W2.证 对于任意的,i,定义:W1W2,L,iIi,+1,I0,i?Li-1,0.显然这是一个线性映射,且是双射.下证它是同态映射:对于任意的,i,j,L,i,L,j =-L+,i+j =-Ii+j,+1,L,i,I0,j =-i L,i+j-1 =-i Ii+j-1,+1,I0,i,I0,j =j-i I0,i+j-1 =j-i Li+j-2,0.另一方面(L,i),(L,j)=Ii,+1,Ij,+1=(-)Ii+j,+1,(L,i),(I0,j)=Ii,+1,Lj-1,0=-i Ii+j-1,+1,(I0,i),(I0,j)=Li-1,0,Lj-1,0=(j-i)Li+j-2,0.从而任意的x,yW1,(x,y)=(x),(y);易见,变换也满足这样的线性关系式 k x+b y =k(x)+b y ,k,b,x,yW1.综合以上分析,是W1W2的同构映射,即证本引理.由于W1与W2同构,类似于W1的性质,自然地,W2也有如下性质和推论:性质2 W 2=s p a nI,i|,i 是W1的理想:(i)W 2是W2唯一的非平凡理想;(i i)W 2,W 2=W 2.推论3 W 2不是可解李代数.推论4 W2是半单李代数.4 W的另一极大子代数根据前文集中讨论,两个W的极大子代数W1,W2已经被清晰的表示出来.下面考虑W的另一极大子代数W3,该代数的结构与前两个代数稍有不同.定理3 W3=s p a nI,j-j L,j-1|,j 是W的极大子代数.5第6期 徐润果,等:与广义W i t t代数有关的非有限分次李代数的极大子代数及其性质证(i),i,j,总有 I,j-j L,j-1,I,i-i L,i-1=(i-j)(+)I+,i+j-1-(i+j-1)L+,i+j-2),则W3对于李括号的运算是封闭的.根据元素I,j-j L,j-1的线性得:W3是W的子代数.显而易见,W3包含这样的元素 L0,i,I,0|,i.(i i)由前面已知,W3W.由于该子代数的特殊构造,下证W3W,即存在x=,ia,iL,i+b,iI,i W W3.如果L1,0W3,则可以写成这样的形式L1,0=,ic,iI,i-i L,i-1 .而通过李括号的运算L0,0,L1,0=L1,0,L0,0,ic,i(I,i-i L,i-1)=,ic,i(2I,i-i L,i-1).比较各项系数后,可得以下结论:c,i(-1)=0,c,i(-1)i=0 c,i=0,0,1,c,i=0,1且i0.由此可得到L1,0简化后的表达式:L1,0=ic1,iI1,i-i L1,i-1 .观察上式两端所有的I1,i系数,有c1,1=-1;c1,i=0,若i1.据此分析有L1,0=-I1,1+L1,0,这显然是矛盾的.因此,L1,0W3,即有W3W.(i i i)设N也是W的子代数且有W3NW.(a)选取任意的x=,ia,iL,i+b,iI,i NW3,总可以写成下面的形式:x*+,m(d,mI,m-f,mL,m-1),其中x*W3,d,mf,mm,这可以由W中元素的线性性质推导出.事实上,对于任意的,m,I,mW,I,m=(I,m-m L,m-1)-(-1)I,m-m L,m-1);L,mW,L,m=(I,m+1-(m+1)L,m)+(-I,m+1+(m+2)L,m).令y=x-x*,特别注意的一点是,y的求和项不包含这样的项L0,i,I,0,则,m0.(b)用L0,1作用于y,y,L0,1=,m(d,mI,m-f,mL,m-1),L0,1=,md,mL,m-I,m+1 +f,mL,m =,md,m+f,m L,m-d,m I,m+1 ,上式加上一些W3中的项,md,m+f,m L,m-d,m I,m+1 +,md,m I,m+1-m+1 L,m =,m f,m-m d,m L,m=,mg,mL,m.同样,该式不包含这样的项L0,i.(c)若上述求和项只包含一项,则直接进入下一步;否则使用数学归纳法:项数为1时,显然成立;假定项数n时,通过适当的李括号消项可获得一项,下证项数为n+1时可获得一项.对于项数为n+1的和式,mg,mL,m=g,qL,q+g,pL,p+g,uL,u+g,vL,v,此排序是先后按第一、二指标的从小到大排列.把L0,-q,I0,0先后作用于上式左端 I0,0,L0,-q,g,qL,q+g,pL,p+g,uL,u+g,vL,v=I0,0,g,q L,0+g,q+1 L,1+g,p L,p-q+g,uL,u-q+g,vL,v-q=g,q+1 L,0+g,p(p-q)L,p-q-1+g,u(u-q)L,u-q-1+g,v(v-q)L,v-q-1.注意到现在的和式项数为n,归纳假设可得任意项数的,mg,mL,m都可通过适当的L0,k,I0,0进行李运算后,化为一项L,iN 0 ,记为x1=L,i.6大 学 数 学 第3 8卷(d)对于x1:对于任意的,j,x1,L0,j-i=L,i,L0,j-i=-L,j,L,j,I-,0=-I,j-j L,j-1,(I,j-j L,j-1)-(-)I,j-j L,j-1)=I,j,由于0及以上分析易知I,jW3+x1 ;I,j+1-(I,j+1-(j+1)L,j)=(j+1)L,j,说明当j-1时,L,jW3+x1 ;L,0,L0,-1=-L,-1,由此说明当0时,L,-1W3+x1 ,又L0,-1W3.综上所述,对 于 任 意 的,j,L,j,I,jW3+x1 N.这 也 验 证 了N=W,即 有 子 代 数W3=s p a nI,j-j L,j-1|,j的极大性.5 结 论非有限分次李代数W结构稍显复杂,为了方便研究其结构和表示理论,本文通过李括号运算的方法构造出3个极大子代数(见定理1、定理2、定理3).在李理论的支持下,得出了极大子代数的生成元及相关性质,且有W1W2(见引理2).值得一提的是,本文讨论的课题是广义W i t t代数中重要的一部分,本论文中给出的方法具有普遍的适用性,可以解决广义W i t t代数的子代数的相关研究问题.除此之外,非有限分次李代数W还有很多有趣的研究课题2 0-2 1,希望本文中提出的方法和结论能对该代数的结构和表示理论等方面的探索有积极作用.致谢 作者非常感谢相关文献的启发以及相关审稿专家对本文提出的指导意见.参 考 文 献1 KAWAMO T ON.G e n e r a l i z a t i o n so fW i t ta l g e b r a so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r oJ.H i r o s h i m aM a t h e m a t i c a lJ o u r n a l,1 9 8 6,1 6(2):4 1 7-4 2 6.2 HA R TW I GJT,L A R S S OND,S I L V E S T R OVSD.D e f o r m a t i o n so fL i ea l g e b r a su s i n g-d e r i v a t i o n sJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,2 0 0 6,2 9 5(2):3 1 4-3 6 1.3 P A S S MANDS.S i m p l eL i ea l g e b r a so fW i t t t y p eJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,1 9 9 8,2 0 6(2):6 8 2-6 9 2.4 D J OK OV I CDZ,Z HA OK.D e r i v a t i o n s,i s o m o r p h i s m s,a n ds e c o n dc o h o m o l o g yo fg e n e r a l i z e dW i t ta l g e b r a sJ.T r a n s a c t i o n so f t h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y.1 9 9 8,3 5 0(2):6 4 3-6 6 4.5 X U X.N e w G e n e r a l i z e dS i m p l eL i eA l g e b r a so fC a r t a nT y p eo v e raF i e l dw i t hC h a r a c t e r i s t i c0J.J o u r n a lo fA l g e b r a,2 0 0 0,2 2 4(1):2 3-5 8.6 S UY,X U X,Z HANG H.D e r i v a t i o n-S i m p l eA l g e b r a sa n dt h eS t r u c t u r e so fL i eA l g e b r a so fW i t tT y p eJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,2 0 0 0,2 3 3(2):6 4 2-6 6 2.7 方龙,许莹.扭S c h r d i n g e r-V i r a s o r o代数的P o i s s o n结构J.大学数学,2 0 2 0,3 6(2):1 1-1 5.8 周磊,孙琳.S c h r d i n g e r-V i r a s o r o李共形代数J.大学数学,2 0 1 7,3 3(6):1 2-1 6.9 S UY.2-c o c y c l e so nt h eL i ea l g e b r a so fg e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r sJ.C o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,2 0 0 2,3 0(2):7 6 3-7 8 2.1 0 宋光艾,苏育才.广义W i t t型L i e双代数J.中国科学:A辑(数学),2 0 0 5,3 5(1 2):1 3 3 3-1 3 4 6.1 1 HOUNK ONN OU M N,ME L ON GF,M I T R OV IM.G e n e r a l i z e dW i t t,W i t tn-a l g e b r a s,V i r a s o r oa l g e b r a sa n dK d Ve q u a t i o n s i n d u c e df r o mp,q -d e f o r m e dq u a n t u ma l g e b r a sJ.R e v i e w si n M a t h e m a t i c a lP h y s i c s,2 0 2 1,3 3(4):1 8 5-1 9 0.1 2 HUN,WANGX.Q u a n t i z a t i o n so f g e n e r a l i z e d-W i t t a l g e b r a a n do f J a c o b s o n-W i t t a l g e b r a i n t h em o d u l a r c a s eJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,2 0 0 7,3 1 2(2):9 0 2-9 2 9.1 3 P AK I ANA THAN J,NAM K B.O n g e n e r a l i z e d W i t ta l g e b r a si n o n ev a r i a b l eJ.T u r k i s h J o u r n a lo fM a t h e m a t i c s,2 0 1 1,3 5(3):4 0 5-4 3 6.1 4 S U Y,Z HA OK.S e c o n dc o h o m o l o g yg r o u po fg e n e r a l i z e dW i t t t y p eL i ea l g e b r a sa n dc e r t a i nr e p r e s e n t a t i o n sJ.7第6期 徐润果,等:与广义W i t t代数有关的非有限分次李代数的极大子代数及其性质C o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,2 0 0 2,3 0(7):3 2 8 5-3 3 0 9.1 5 苏育才,赵开明.W e y l型单代数J.中国科学:A辑,2 0 0 0,3 0(1 2):1 0 5 7-1 0 6 3.1 6 S U Y.2-c o c y c l e so nt h eL i ea l g e b r a so fg e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r sJ.C o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,2 0 0 2,3 0(2):7 6 3-7 8 2.1 7 CHE N H,GUOX.N e ws i m p l em o d u l e s f o r t h eH e i s e n b e r g-V i r a s o r oa l g e b r aJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,2 0 1 3,3 9 0:7 7-8 6.1 8 姚裕丰,王惠.素特征域上W i t t代数及极大子代数的2-局部导子J.浙江大学学报(理学版),2 0 2 1,4 8(2):1 7 4-1 7 9.1 9 戚现龙.一类广义W i t t代数V i r(G)的子代数及其自同构D.青岛:青岛大学,2 0 1 2.2 0 CHE NQ,HANJ,S U Y.S t r u c t u r e so fN o t-f i n i t e l yG r a d e dL i eA l g e b r a sR e l a t e dt oG e n e r a l i z e dV i r a s o r oA l g e b r a sJ.C o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,2 0 1 5,4 3(7-8):3 0 3 3-3 0 4 9.2 1 周辰红,范广哲.一类广义W i t t型代数的导子J.黑龙江大学自然科学学报,2 0 1 5,3 2(5):5 6 1-5 6 4.M a x i m a l S u b a l g e b r a sa n dP r o p e r t i e so f t h eN o n-F i n i t eG r a d e dL i eA l g e b r aR e l a t e dt oG e n e r a l i z e dW i t tA l g e b r a sXUR u n g u o,XUY i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,H e f e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,H e f e i 2 3 0 6 0 1,C h i n a)A b s t r a c t:M a x i m a l s u b a l g e b r a s o f a l g e b r a s c a np r o f o u n d l y r e f l e c t t h e i n t e r n a l c h a r a c t e r i s t i c so f a l g e b r a s.F o r t h en o n-f i n i t eg r a d e dL i ea l g e b r a,t h r e em a x i m a l s u b a l g e b r a sa r ec o n s t r u c t e db yu s i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so fL i ea l g e b r a s,a n dt h er e l a t e dp r o p e r t i e sa r es t u d i e d.I t i sp r o v e dt h a t t h e f i r s t t w om a x i m a l s u b a l g e b r a sa r e i s o m o r p h i c.K e yw o r d s:g e n e r a l i z e d W i t ta l g e b r a;n o n-f i n i t eg r a d e d L i ea l g e b r a;m a x i m a ls u b a l g e b r a s;s i m p l eL i ea l g e b r a;s o l v a b l eL i ea l g e b r a8大 学 数 学 第3 8卷