一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式及其应用_梁钊.pdf

第 43 卷 第 1 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.1 2023 年 1 月 Journal of Science of Teachers College and University Jan.2023 文章编号：1007-9831（2023）01-0010-05 一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的 计算公式及其应用 梁钊，张量（安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241002）摘要：测地曲率是经典微分几何曲面理论中一个重要的内蕴几何量，测地曲率恒为零的曲线即曲面上的测地线给出了一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式，利用该计算公式给出了椭球面上圆截线问题的一种微分几何解决方法.关键词：测地曲率；椭球面；圆截线 中图分类号：O186.11 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.003 Calculation formula of the geodesic curvature of a curve on a surface represented by the general equation and its applications LIANG Zhao，ZHANG Liang（School of Mathematics and Statistics，Anhui Normal University，Wuhu 241002，China）AbstractAbstract：Geodesic curvature is an important intrinsic geometric quantity in the theory of surfaces in classical differential geometry，and it is known that a curve with constant zero geodesic curvature is a geodesic on a surfaceA formula of the geodesic curvature of a curve on a surface represented by the general equation was given，and it was used to give a differential geometric solution to the circular transection problem on an ellipsoid.Key wordsKey words：geodesic curvature；ellipsoid；circular transection.1 引言及预备知识 测地曲率可以用来反映曲面上曲线的局部弯曲情况，其本质只与曲面的第一基本形式有关，是经典微分几何曲面理论中一个重要的内蕴几何量目前关于测地曲率的计算方法多数都是在曲线的参数表示下给出的1-7本文给出一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式，并利用该计算公式给出解析几何中椭球面上圆截线问题的一种微分几何解决方法 引理 1119 设曲线()s以弧长为参数，;,TNB为的 Frenet-Serret 标架，则关于;,TNB有 Frenet-Serret 公式,=-+=-TNNTBBN?，式中：“”表示曲线关于弧长参数求导；为曲线的曲率；为曲线的挠率 定义38 设(),r uv为正则曲面S的参数表示，()s是S上以弧长为参数的光滑曲线，U为S的单位法向量，则曲线()s的曲率向量()s?在切平面上的投影向量为 收稿日期：2022-05-10 作者简介：梁钊（2000-），男，安徽淮北人，在读本科生E-mail： 通信作者：张量（1979-），男，安徽芜湖人，副教授，从事几何学研究E-mail： 第 1 期 梁钊，等：一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式及其应用 11()()()(),=,sss=-U UUTUT?称为()s的测地曲率向量，并称(),sUT?为()s的测地曲率，记作g这里表示向量的外积，,表示3R的标准内积 引理 2664 设(),r uv为正则曲面S的参数表示，()s是S上以弧长为参数的光滑曲线，则(),g=U?，式中：(),表示向量的混合积 引理 3217 3R中曲率为非零常数的平面曲线有且仅有圆 2 主要结果及证明 定理 1 设曲线C的一般方程为()(),0,0F xyzG xyz=（1）则曲线C在曲面()1:,0SF xyz=和曲面()2:,0SG xyz=上的测地曲率1g，2g分别为 11,gFGFGGFFG QFF QFFGFGGF =-（2）21,gFGFGGFGG QGF QGFGFGGF=-（3）式中：F，G分别为(),F xyz和(),G xyz的梯度；FQ，GQ分别为以F的 Hessian 矩阵和以G的Hessian 矩阵为度量矩阵的二次型 证明 设曲线C以弧长为参数的参数方程为()()()()(),sx sy sz s=，代入式（1），有()()()()()()()(),0,0F x sy sz sG x sy sz s=（4）分别对s求导，得ddd0dddddd0dddxyzxyzxyzFFFsssxyzGGGsss+=+=，即有 ddd,dddxyzFsss=T，且G T，故FGT/，从而 FGFG=T （5）式（5）两端分别对s求导，由引理 1 可知()dd1ddddddFGFGFGFGGFsFGFGssFGs=+-N （6）式中：ddxxyxzxxyyyzyxzyzzzFFFFFGFFFsFGFFF=；ddxxyxzxxyyyzyxzyzzzGGGGGFGGGsGFGGG=-取曲面1S，2S在点(),xyz处的单位法向量，分别为12,FGFG=-=-UU，故由引理 2 可知，曲线C在1S上的测地曲率为()111,gFGFGGFFG QFF QFFGFGGF=-UTN 同理可得曲线C在2S上的测地曲率为 21,gFGFGGFGG QGF QGFGFGGF=-证毕 12 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 例 1 求半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率 解 设半径为R的球面的一般方程为2222yRxz+=，不妨设球面上半径为a的圆的一般方程为222222xyzRzRa=-+=令222222,FGxyzRzRa=+-=+-，直接计算得()2,2,2Fxyz=，()0,0,1G=，22222FxyzR=+=，()()000,Hess000000200Hess020002GF=，,2FGz=，,FF=()222244xyzR+=，()222,2,0,2FGyxFGxy=-=+由 定 理 1，直 接 计 算 得1221,4 1gFGFG QFFFGFGRxy =+=()()22222222002122,2,0020220020yzRazyxxaRR xyxy-=+，此即半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率 例 2 求圆柱螺线()22tan1yxzxy=+=在圆柱面221xy+=上的测地曲率 解 令()22tan,1FyxzGxy=-=+-，直接计算得()()2tan,1,cosxFzz=-，()2,2,0Gxy=，()200Hess02 0000G=，,0FG=，()22,=cosFFz，()2cosFz=，()()22tan,2,cosGFzz=-，()2 2cosGFz=由定理 1，直接计算得11 21,gGGFFF QFFGGF-=-=，此即圆柱螺线在正螺面上的测地曲率 椭球面的圆截线问题是解析几何中的一个经典问题8-9，文献10通过将椭球面与平面交线参数化给出了椭球面圆截线问题的一种微分几何解决方法利用定理 1，可得到不通过参数化给出椭球面圆截线问题的另一种微分几何解决方法 定理 2 设a，b，c是两两互异的正常数，为椭球面222222:1xyzSabc+=与平面:0AxByCz+=的交线，则（1）当bac或cab时，为圆当且仅当0A=，2222BcabCbca-=-；（2）当cba或abc时，为圆当且仅当0B=，2222CabcAcab-=-；（3）当bca或acb时，为圆当且仅当0C=，2222AbcaBabc-=-证明 以(,)f xyz表示在上的测地曲率，利用定理 1 计算得 第 1 期 梁钊，等：一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式及其应用 13()()()()()()()222222422222222324222222244224222244222222222(,)2 f xyzxa bbaAbcaBb cbaCyacbAxy a bbcABa bABa b c Ca b c ABCa Ab Bc C-=-+-+-+-+-+根据引理 3，为圆当且仅当其在平面上的曲率为非零常数，又平面曲线的曲率等于其在平面上的测地曲率2155，因此只需考虑f限制于何时为常数显然，S与的法向量分别为1222,xyzabc=n，()2,ABC=n 以f表示f的梯度，则f限制于上为常数当且仅当f沿着的导数为零，其充要条件是()12,=0fnn，记()()()()()()22222242222222224222222244224222 2Pxa bbaAbcaBb cbaCyacbAxy a bbcABa bABa b c C=-+-+-+-+-+将()12,fnn记为(),g xyz，计算得()()()()()()()()()()()()1251442222222222222222222222222222222222222222222222222,6 2g xyzfc Pa ba Ab Bc CABCb cbcABCxa ccbABCyc C a Aabcb Bacc Cabxyb B aba Ab Bc Cxza A bca Ab B-=+-+-+-+-+-+-+-+-+nnyz （7）将上一点22222222,0,acCacAMa Ac Ca Ac C-+坐标代入式（7）中，得()()()()()()3222222222222222254222222224222262ac acABC a Ab Bc Ca Ac CABCg Mba Aa Aa Bc Cc CBC-+=+若()g M为 0，则,A BC有且仅有一个为 0（否则为椭圆）仅以0A=为例，其余 2 种情形可类似证明 当0A=时，将上一点1222222223,222abcCbcBNb Bc Cb Bc C-+代入(),g xyz，得()()()()()()()32222222222222221522222222248 333b Bc CBCb Bcac Cbag NbacBcabC+-+-=+若()1g N为 0，则2222BcabCbca-=-，且a，b，c要满足bac或cab 利用定理 1，容易验证当bac或cab时，满足条件22220,BcabACbca-=-的平面与椭球面的交线在平面上的曲率恰为非零常数2222222bc BCab Bc C+由引理 3 可知，为圆 对于0B=与0C=的情形也可类似证明 证毕 （下转第 19 页）第 1 期 王莉：带负顾客、止步和中途退出的1xMMN单重工作休假排队系统 19（7）平均中途离去率1110110210222(1)()(1)()(1)NNNnnnnRnP nnP nn-=-+-=-?r AnAr A；（8）顾客的消失率1LBR=+5 结语 考虑到工作休假系统在实际应用中的复杂多变的情形，将简单的休假模型复杂化，添加了一些现实中的批量到达、负顾客、止步和中途退出等控制因素，建立了一个单重工作休假排队系统的新模型，运用基本的排队理论和矩阵几何方法得出了新模型的一系列重要性能指标，这为该模型的实际运用提供了理论依据，同时也为进一步深入研究工作休假提供了参考 参考文献：1 张宏波，彭培让 基于1GI M型 Markov 过程的1Geo Geo多重工作休假排队系统分析J 工程数学学报，2021，38（3）：353-361 2 Liu Wengyuan，Xu Xiuli，Tian NaishuoStochastic decompositions in the1M Mqueue with working vacationsJOperations Research Letters，2007，35（5）：595-600 3 Laxmi P V，Jyothsna KAnalysis of a working vacations queue with impatient customers operating under a triadic policyJInternational Journal of Management Science and Engineering Management，2014，9（9）：191-200 4 Krishna Kumar B，Arivudainambi D，Krishnamoorthy ASome results on a generalized 1M G feed-back queue with negative customersJOperations Research Letters，2006，143（1）：277-296 5 郭宏侠，徐秀丽，耿杰带有负顾客和N-策略的1Geo Geo工作休假排队J重庆师范大学学报（自然科学版），2013，30（1）：59-62 6 郭小琼，马占有带负顾客的1GI Geom工作休假排队J郑州大学学报（理学版），2011，43（4）：28-32 7 师宗梅，吕胜利，袁晶晶，等带负顾客、启动期和反馈的1M MN多重工作休假排队系统J西北师范大学学报（自然科学版），2014，50（3）：18-24 8 Haight F AQueuing with 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