矩阵基本性质.docx.pdf

矩阵的基本性质矩阵的第 第列的元素为。我们或（）表1.矩阵的加减法的单位矩阵。=（1）,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则+=+）+a.交换律：b.结合律：（+=+（+）+0=c.=0d.2.矩阵的数乘=（1），各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律：(b.矩阵对数的分配律：（+)=+=+）=(）c.结合律：（d.0 =03.矩阵的乘法=（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则=a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有+）=b.分配律：（c.结合律：（=()）d.数乘结合律：（）=)=（1）矩阵的幂：1 =()4.矩阵的转置 ,(2 =+1 =),（2）矩阵乘法满足的运算法则a.(=)+=+)=b.c.()d.=即5.对称矩阵：（1）设 ,（2）设 ,即；反对称矩阵：仍是（反）对称矩阵。为（反）对称矩阵，则为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件 =。（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。11 (+),(+)分别是对称矩阵和反对称矩阵且（4）对任意矩阵，则22=+.（5）(=)=即6.Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，=()a.+=(=+)b.c.()d.e.(=)f.(7.正交矩阵：若)1=(1)（当矩阵可逆时）是正交矩阵=,则 1 =（1）（2）det =1（3）,=8.酉矩阵：若 1 =（1）,则是酉矩阵（2）|det|=1（3）,（4）=9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵10.矩阵的迹和行列式()=1=1为矩阵的迹；（1）|或)；注：矩阵乘法不满足交换律)=,为酉矩阵，则)为行列式()=)=(（2）（3）（4）()=()=()（5）|（6）|+|=|=|+|+|（7）|=|（8）|=|（9）|=|+)=+)（10）（11）|=1=log det (+),=1log(1+)其中为（12），则奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵（1）设（2）=由行列式|的代数余子式所构成的矩阵 =|12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作 1,1 =1=;1=|1|（2）|0（为非奇矩阵）时，0，则()1=1 1（3）|0且 1 1=，得(（5）()1=()1 =1 1（4）由 1)1|=|1|（6）若|0，|（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则 1也上（下）三角矩阵（8）1=(1)（9）(1 +)1 1 =)1+)1+()1（10）(+=(+1)1 =1 1 1)1 1(+（11）Woodbury恒等式 :1 1=（12）1=(1,)为对角矩阵12.对角矩阵，矩阵为对称矩阵，正交矩阵，则 1(1,)=，则=1=或;1=1 =1113.矩阵的导数（1）()=+（2）(1)=1 1（3）1 )(|=（4）=（5）(=（6）()=（7）（8）)=|=(1)+)（9）