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一级倒立摆的实时控制

哈尔滨理工大学学士学位论文
一级倒立摆的实时控制
摘 要
倒立摆系统，顾名思义就是将倒置摆铰链固定在小车的车架上处于不稳定状态，从而通过人为操控使其处于动态平衡状态用来验证相对应的控制算法的可靠性。倒立摆是个非常典型的多变量、非线性、快速的不稳定系统。可以通过倒立摆反应出控制中的许多问题，例如：系统的鲁棒性、稳定性、可靠性、随动性问题，具有重要的理论和应用价值。理论中，倒立摆系统能够检验许多控制理论与控制算法是否有效，并且倒立摆的控制方法在航天，机器人控制中应用广泛。
本文通过对直线一级摆的物理模型进行分析，运用了牛顿-欧拉方法进行数学建模，进而通过倒立摆的各种物理参数进行运算，证明一级直线倒立摆系统是开环不稳定的，但其在平衡点附近是能控能观的。本文只讨论研究倒立摆稳摆时的控制方式，对此设计了PID控制器，通过Simulink仿真来确定控制器参数；还运用了线性二次型最优控制器—LQR，用Matlab软件仿真多次选取矩阵Q和R得到最合适的反馈矩阵K。分别运用这两种控制器在实验室的固高台上进行实物操作并记录实验现象；设计模糊控制器并仿真，最后对比以上三种方法的实验结果分析它们的优缺点，为以后更好地开展倒立摆的实物操作提供了多种控制方法与控制思路。

关键词　倒立摆; 牛顿-欧拉方法; LQR; PID控制
Real-time Control of an Inverted Pendulum
Abstract
Inverted pendulum system, just as its name implies is to inverted pendulum hinge is fixed on the frame of the car is in unstable state, and thus is in a state of dynamic equilibrium by artificial control used to verify the reliability of the control algorithm. Inverted pendulum system is a very typical multi-variable, nonlinear, unstable system rapidly. Can through the study of inverted pendulum system reflects many problems in control, for example: the system robustness, stability, reliability, follow-up, has important theoretical and application value. Theory, the inverted pendulum system can test many control theory and control algorithm is valid, and the inverted pendulum control method in the aerospace, widely used in robot control.
This article through to the straight line level of the physical model of inverted pendulum is analyzed, using the Newton - euler method for mathematical modeling, and then through the operations of the various physical parameters of the inverted pendulum, the inverted pendulum system is open-loop unstable, but is can control can view it in balance. This article just discuss research of inverted pendulum is steady time control method, have designed the PID controller, using Simulink simulation controller parameters; Also using the linear quadratic optimal controller - LQR, Matlab software simulation multiple selection matrix Q and R are the most appropriate feedback matrix K. Respectively using the two kinds of controller in the laboratory physical operation and record the experimental phenomenon; Design simulation of the fuzzy controller, finally compared to the experimental results of the three kinds of methods mentioned above analysis the advantages and disadvantages of them, for later better physical operation of inverted pendulum in university laboratory offers a variety of control and control method is proposed.

Keywords Inverted pendulum, Newton-euler method, LQR, PID control
- III -
目 录
摘要 I
Abstract II

第1章 绪论 1
1.1 倒立摆课题简介 1
1.1.1 研究意义 2
1.1.2 国内外研究状况介绍 2
1.2 本论文主要研究的内容 4
第2章 直线一级摆系统的建模分析 5
2.1 直线一级摆系统的控制原理 5
2.2直线一级摆数学模型的构建 6
2.2.1 一级摆模型原理的推导 6
2.2.2 直线一级摆的数学建模 6
2.3一级倒立摆系统的性能分析 10
2.4本章小结 11
第3章 控制器的仿真 12
3.1 PID控制 12
3.1.1 PID控制器简介 12
3.1.2 PID控制器的仿真设计 13
3.2直线一级摆的LQR控制 21
3.2.1线性二次型最优控制 21
3.2.2 直线一级摆LQR控制器设计 23
3.3基于融合函数的模糊控制 26
3.3.1模糊控制简介 26
3.3.2 模糊控制的思想方法 27
3.3.3直线一级摆的模糊控制 30
3.4本章小结 32
第4章 实时控制 33
4.1 直线一级摆实物介绍 33
4.2 控制软件简介 34
4.3不同方法的实时控制结果 35
4.3.1单回路PID的实时控制 35
4.3.2双闭环PID的实时控制 36
4.3.3 线性二次型调节器的实时控制 39
4.4 本章小结 40
结论 41
致谢 42
参考文献 43
附录A 45
附录B 51

- V -
第1章 绪论
1.1 倒立摆课题简介
随着航空航天，机器人，工业过程领域的不断发展，对控制理论领域的要求越来越高并提出了一系列的难度挑战。倒立摆是一个高阶次的、强耦合性、多变量的不稳定的非线性系统[1]，要使其稳定，必须要采取非常有效的控制方式和控制策略。并且倒立摆系统的结构简单、价格便宜、物理参数易于修改，是用来研究非线性控制领域，智能控制领域，目标定位控制和变结构控制方式的典型实验装置。
倒立摆结合了计算机控制、机器人控制技术、控制理论等多个技术范畴，倒立摆作为一个被控系统，它自己就是一个多变量的、强耦合的、高阶次的、绝对不稳定的非线性系统，可以将其视为一个典型的控制对象来进行研究。最早的研究起始于二十世纪，来自麻省理工的专家们依据发射火箭的助推器的道理设计了一级倒立摆系统实验设施。近些年来新的控制方式不停呈现，我们可以运用倒立摆这类经典的控制对象来验证新控制理论是否有能力来应对绝对不稳定的、多变量的非线性系统，从而来找出较为优秀的控制方法。倒立摆是控制理论研究中的一个很好的实验平台，为自动控制理论的教学和科研实验创造了很好的环境，以便于用来查验某种控制方法与理论，从而加快了新控制思想理论的发展。由于控制理论的应用非常广泛，该系统的研究产生的技术方法将运用在机器控制技术领域、半导体精密仪器加工、导弹阻截、人工智能领域、卫星的飞行控制、航空对接的控制技术中姿态的控制和工业应用等各个方面有着很大的发展前景。
倒立摆的类型有许许多多，从只有本来的一级倒立摆拓展出许多的类型，如图1-1,1-2，1-3所示。

图1-1环形一级倒立摆

图1-2平面倒立摆

图1-3直线倒立摆
1.1.1 研究意义
倒立摆作为一种非常经典的多变量、强耦合、高阶次的非线性系统被广泛的当做研究控制理论中的被控对象。他给控制理论学科的理论教学与实验搭建了非常好的实验平台。根据倒立摆系统具有以上特点，它一直被人视为经典的研究控制对象，通过研究倒立摆系统不断的发掘发现新的控制策略与控制方法。目前为止已完成了用现代控制理论和经典控制理论以及其他各类智能控制理论对倒立摆实施稳定控制。研究倒立摆成为了控制领域中热门的话题，被誉为：“控制领域中的一颗明珠”[2]。
1.1.2 国内外研究状况介绍
倒立摆研究起于20世纪，当时体现为倒立摆的建模和镇定问题的研究，随着现代控制技术的不断发展，在70年代后期倒立摆的研究逐渐得到人们的关注，到了80年代，模糊理论，模糊控制渗透运用进了倒立摆系统。在接下去的10年，神经网络的控制方法用于倒立摆的控制得到了迅速的成长，神经网络的方法控制倒立摆，运用了一种新的概念。他对倒立摆控制的研究有很大的提升。
我国研究倒立摆始于80年代，1982年西安交大实现了用最优控制器、降维观测器对二级倒立摆的控制。1983年国防科技大学完成了一级倒立摆系统的研究和控制[3]。张明廉教师所带领的小组率先提起了“拟人智能控制理论”[4]框架并且在1994年的8月完成了单电机控制三级倒立摆。1995年任章通过振荡控制理论完成了在倒立摆支杆的垂直方向上加入零均值的振荡信号从而改良了倒立摆的稳定性。次年翁正新实现了带观测器的H状态反馈控制器对二级摆的仿真控制。1998年蒋国飞用Q学习算法和神经网络相互结合实现了未离散的倒立摆无模型控制，刘琴妹用升级的RBF神经网络实现了二级摆的控制。2001年单波用神经网络的预测控制算法对倒立摆实行了仿真。对倒立摆系统的研究 我们虽然起步晚，但是发展相当迅速，即便是这样，我国在倒立摆的某些领域已经走在了全球的前端。例如，李德毅是最先提出‘隶属云’的人，并且该理论成功的应用在了三级倒立摆中。李洪兴所提出的变论域模糊控制同样也顺利的运用在了三级摆中，02年8月李教授用变论域自适应模糊控制成功的完成了全球首例“四级倒立摆实物的控制”用具有高维PID控制作用的变论域自适应控制理论完成了对平面二级摆的实物控制.次年完成了全球首例平面三级摆实物控制。此项理论研究产生的方法理论将运用在机器人控制、航空器对接控制、半导体精密仪器加工等方面，具有良好的发展前景。
海外对倒立摆研究的时间比国内要早很多，上世纪60年代起就对一级摆进行研究。60年代末，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证提出了倒立摆的概念[5]。Schacfer应用bang-bang理论于1966年完成了对单级摆的控制。1972年Loscutoff和Sturgeon运用了极点配置的方法设计出二级摆系统的模拟控制器和全维观测器。S.Mori设计的前馈-反馈控制器完成了一级摆的控制，并且首次完成对倒立摆系统平衡点附近线性化[6]。1977年K.Furuta完成了二维单级摆的稳定控制，次年他们运用微机处理的手段完成了对二级摆的控制，之后在80年和84年分别完成了二级摆在倾斜轨道上的控制和具有双电机的三级摆的控制，并用精确线性化与近似线性化相结合的方法完成了平面二级摆的仿真与控制。同年Wattes成功的运用LQR方法实现对倒立摆系统的控制。之后，在1988年Charisew.Andson用模糊神经网络实现一级倒立摆控制，1992年Furuta提出倒立摆的变结构控制，Fradkow在1995年提出倒立摆的无源性控制。在1997年Wiklund与Yamkita相继实现了环形一级摆和二级摆的控制，在此同时瑞士国家工程研究院的BemhardSprenger等完成了直线运动机械臂的平面倒立摆的控制，并且证明具有很好的鲁棒性。

1.2 本论文主要研究的内容
本论文主要研究的是直线一级摆的稳摆情况，首先是对直线一级摆物理模型进行受力分析，应用了牛顿——欧拉方法进行建模，运用简单的matlab编程得倒立摆是开环不稳定系统，但在平衡点附近是可控可观的，故可以设计控制器，本文运用了三种方法设计控制器并仿真最后进行实物控制，分别是PID控制和LQR控制，运用Simulink和Matlab软件进行仿真来选取参数最后用于实物控制，学习模糊控制设计模糊控制器对一级摆进行仿真，最后比较PID、LQR和模糊控制各自的优缺点，其目的是为了更好的开设大学生基于倒立摆的实物操作，为之提供了良好的控制方法与控制思路，更利于提升大学生用理论知识进行实物操作的实践能力。
第2章 直线一级摆系统的建模分析
2.1 直线一级摆系统的控制原理
倒立摆种类有很多，有直线倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆、复合式倒立摆等等，现在就直线一级倒立摆来说，它的硬件部分有，电控箱、伺服电机、传感器、旋转光电编码器与运动控制卡、计算机与倒立摆本体。由以上这些硬件构成一个闭环系统，伺服电机系统可以通过同步皮带与小车进行连接，并且用此来控制小车在水平直线轨道上的运动，均质的刚体摆杆和小车相连接，通过小车的移动使摆杆处于竖直倒立的状态[7]，因为旋转光电编码器是角位移的传感器，他输出的信号是数字信号，所以能运用计算机来处理，不需要放大和转换运用起来十分便利，能很好的用旋转光电编码器来测量出摆杆的偏转角度。然后将编码器、状态反馈的信息、位移传感器的信息输入到运动控制卡中，而运动控制卡将用一定的算法把汇集的信息转变为控制信息输出给伺服电机，这样就能组成一个闭环的系统从而使倒立摆稳定。其中，计算机不断的从控制卡中读取实时的信息，经过计算并且决定控制决策，其原理是根据倒立摆系统的实时状态不断地调用相应的程序通过电控箱的转换电路形成相对应的控制量然后来驱动电机的转动。其运动控制原理图如图2-1所示：
计算机
运动控制卡
伺服驱动器
伺服电机
倒立摆
光电编码器
位移传感器

图2-1直线一级摆系统的运动原理图

2.2直线一级摆数学模型的构建
2.2.1 一级摆模型原理的推导
通常来讲系统建模可以分成机理建模与实验建模。所谓的机理建模事实上就是通过研究对象的运动规律，在此方面上运用物理化学等知识以及数学方法建立起系统内部输入——状态关系。而实验建模则是指实验者给对象加上一系列已确定的输入信号，激励研究的对象并用传感器观测其输出，运用数学的手段建立了输入——输出直接的关系[8]。
而对于倒立摆这个不稳定的系统，要对它进行实验建模存在着很大的难度，但如果忽略一系列的外界成分之后，比如伺服电机摩擦力、空气的阻力、倒立摆杆连接点处的质量、传动皮带的摩擦因素之后，可将小车视为质点，摆杆可视为均质刚体，摆杆围绕转轴转动便可应用力学方法来构建比较准确的数学模型，现在人们普遍应用两种方法来进行倒立摆的数学建模，分别是牛顿——欧拉方法和欧拉——拉格朗日方法，本文应用前者方法来进行数学建模。
2.2.2 直线一级摆的数学建模
直线一级倒立摆系统示意图如图2-2所示，系统由沿导轨运动的小车和通过固定在小车上的摆杆组成，如图2-1所示：直线一级倒立摆系统各项物理参数如表2-1所示：
M

v
m

图2-2一级倒立摆系统示意图

表2-1倒立摆系统参数
符号
数值及单位
含义
M
1.096kg
小车的质量
m
0.109kg
一级摆杆质量
l
0.25m
一级摆杆质心到转动轴心的长度
I
0.034
一级摆杆的转动惯量
b
0.1N/m/sec
小车滑动的摩擦因数
x
m
小车相对于初始位置的位移

m/s
小车的速度

rad
摆杆与垂直向下方向的夹角

rad
摆杆与垂直向上方向的夹角

本文用牛顿——欧拉方法来数学建模，首先对小车和摆杆分别隔离并受力分析，小车隔离的受力分析图如图2-3所示，摆杆隔离的受力分析图如图2-4所示：
X
F
P

N

图2-3小车隔离受力分析图
对小车单独进行受力分析，其中N为小车和摆杆互相间作用力的水平分量，P是小车与摆杆之间互相作用力的垂直方向的分量。我们认定为小车朝伺服电机方向运动为正方向，并且规定摆杆按顺时针方向旋转为正方向。

N
P
mg

图2-4摆杆隔离受力分析图
在理想情况下，我们忽视各种摩擦力和阻力，可以将直线一级摆视为由小车与均质摆杆构成的系统。然后对该系统进行受力分析得：

对摆杆的水平方向受力分析得到：

将该等式带入原式可得到运动方程：
（2-1）

由力矩平衡可得到：

因为力矩的方向所以等式的前面会有负号。将这两个方程合并约去P与N可得到：
(2-2)
(2-3)
以下开始推导传递函数：
由上式2-3进行拉氏变换可以得到：
(2-4)
(2-5)
将（2-5）式子代入（2-4）第二个方程中可得：
(2-6)
整理上式可得到传函如下：
(2-7)
注：
推导状态空间方程如下：

（2-8）
由本文所得物理参数可得
（2-9）

2.3一级倒立摆系统的性能分析
通过对一级摆的建模，我们能在系统平衡点附近通过线性化能得出系统状态方程，可以分析系统的可控可观性能，并用Matlab软件求取特征根
A=[0 1 0 0;0 -0.0833 0.6083 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0];
eig(A)
ans=
0
-0.0781
5.2727
-5.2779
可以看出系统有2个特征根位于坐标平面的右半面，所以该系统是不稳定的。接下来输入程序判断其能控能观性：
A=[0 1 0 0;0 -0.0833 0.6083 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0];
B=[0;0.8832;0;2.3566];
C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
Tc=ctrb(A,B);
rank(Tc)
ans=4
To=obsv(A,C);
rank(To);
Ans=4
由此可得系统的能控能观矩阵都满秩，所以直线一级摆在其平衡点位置是完全能观能控的，故能设计控制器控制其稳摆。
2.4本章小结
本章开始主要介绍了直线一级倒立摆的控制原理，然后再牛顿——欧拉方法与欧拉——拉格朗日方法中选一种进行数学建模，本文选用的是牛顿——欧拉方法，利用力学分析，推导出其倒立摆的传递函数以及状态方程。再求取其系统极点，证明该系统是不稳定的系统，通过计算其能控能观矩阵的秩说明一级倒立摆在平衡点附近可控，故能设计控制器。
第3章 控制器的仿真
3.1 PID控制
3.1.1 PID控制器简介
PID控制技术是几个发展比较早的控制策略中的一个，PID控制它的算法简单明了而且还具有很好的适应性与鲁棒性，在工业控制过程中应用广泛，在上世纪三十年代之前，除了在最简单的环境下应用开关控制之外，PID控制基本是唯一的控制方式。在此之后，随着现代技术的飞速发展，越来越多的控制方式也应运而，生比如模糊PID[9]、神经网络控制技术等等。但是基于PID控制的优点，它仍然是目前使用最为广泛的控制方式，PID控制的优点可以概括为：
1．PID控制其原理简单明了，生活中工业中使用起来快捷易懂，人们很容易接受，其中比例调节能调节系统的强度可以控制系统的相对稳定性，积分环节可以消除残差，微分环节通过运用对偏差的给出控制量来提高对系统的控制质量。这些概念和理论有着非常重要的意义。
2．PID控制技术的使用非常广泛。我们能通过日常生活中大规模工业化控制的应用可以证实PID完全能够很好的解决许多的控制问题，例如在化石化工还有电力等许多其他的领域都可以发现PID控制器的身影。
3．PID控制器具有较好的鲁棒性，并且PID控制器对过程模型的依赖较小。一般的PID控制器整定方法对过程特性的要求并不是很高，可以通过几个简单的测试来完成参数的设定，所以系统可以具有很好的鲁棒性，但是对过程控制变化的敏感性比较差。虽然PID控制简单、有效，但对于那些高性能、高负荷、控制难度较大的系统来说PID控制的实际效果可能并不是那么让人满意。随着计算机技术在工业实际中应用的加深，产生了很多新颖的控制技术比如有模糊控制、智能控制、自适应控制与预测控制，但是其中许多仍然是以PID技术为基础产生的控制方法，如预测PID控制、模糊自适应PID控制等等。现如今，高级的PID控制器已逐渐进人市场。但是PID控制也有些不足的地方，由于人工整定的PID参数是由人来操作完成的，在很大程度上来说有许多情况下整定的参数是不理想的。再者，过程控制中的时变性与非线性会导致许多PID控制回路的运行并不是很好。所以PID参数的自整定引起了越来越多的关注，随之而来的是自整定PID不断发展，大批量的商业化自整定PID涌入市场。
所谓的PID控制就是反馈系统偏差的比例积分微分的线性组合而形成的反馈规律。虽然PID控制是经典控制的一部分，但仍在现代工业过程的控制中有着不能或缺的作用。随着今后计算机技术的不断成长进步，PID控制肯定会有新的更好的发展。理想的模拟PID控制器数学模型：
（3-1）
上式（3-1）中u(t)是控制器的输出、e(t)是输入和输出的偏差信号、，其传函是：
（3-2）
其中各个系数的作用：
（1）比例调节（P）的比例系数，其大小决定比例调节器调节的快慢，如果过大就会导致系统呈现出振荡和超调，但是如果太小，那么又起不到调节作用。
（2）积分调节（I）的积分作用可以消除余差。是积分常数，其大小决定积分作用的强弱程度。但积分作用会使系统稳定性变差，所以选取积分常数大小的时候一定要选择得当。
（3）微分调节（D）的作用是若偏差（e）的瞬时波动过快时，微分调节器就开始响应从而用来抑制偏差变化，能使系统更加趋于稳定，改良系统的动态性能。接下来通过选取不同的PID参数来进行仿真。

3.1.2 PID控制器的仿真设计
3.1.2.1 单闭环PID控制器的设计仿真
由上章节的分析可以得到数学模型如（2-8），（2-9）可以得到系统结构图如图3-1所示：
PID控制KD(s)
G（s）
r(s)=0
f(s)=F
一

图3-1PID控制系统结构图
如图所示，KD（S）表示的是控制器的传函；G（S）为一级倒立摆传函，r(s)表示输入信号；f(s)表示扰动信号。在此r(s)=0;所以上图变化为图3-2所示
f(s)=F
倒立摆G（s）

PID控制KD（s）
U(s)
一
y(s)

图3-2PID控制变化后结构图
Simulink环境下的系统仿真
根据图3-2在Simulink环境下画如下图

图3-3 Simulink中单回路PID控制系统
此仿真图针对的是倒立摆对摆杆角度控制的仿真，当给小车加上个1N的脉冲信号时候摆角仿真图如图3-4所示，其中横坐标的单位是秒，纵坐标的单位是弧度。

图3-4仿真图
此时我们所选取的参数是得到图3-4所示仿真曲线可以看出此时的闭环系统是不稳定的.。

图3-5仿真图
因为图3-4系统闭环不稳定所以我们提高比例反馈系数，取得如图3-5所示仿真曲线，但在曲线中我们明显可以看出响应的速度过慢，而且振荡次数过多，超调量偏大，我们知道加大比例系数，能加快系统的响应速度，但是会增加系统的振荡同时也会增加系统的超调量，所以在加大比例系数的同时，需要加大积分系数与微分系数，这样一来既可以加快系统的响应，又可以适当调节稳定时间，合理的改变系统的动态稳定性，取不同的系数。

图3-6仿真图
选取时得到响应曲线图3-6，系统趋于稳定，但稳态性能不是很理想，提高值

图3-7仿真图
选取，得到图3-7响应曲线，此时系统稳态性能较好但进入稳态时间过久，所以我们加大Ki的值，加快其进入稳态的时间。
选取，响应曲线表明系统在4S左右进入稳定状态，且超调量小于0.95%并且没有稳态误差，动态性能好。如图3-8所示。

图3-8仿真图
考虑小车位移的系统控制结构图如下：
y(s)
PID控制器KD（s）
摆杆
车(S)
r(s)=0
一
f(s)=F
x(s)

图3-9小车位置系统结构图
运用Simulink软件建立仿真图如图3-10所示

图3-10 Simulink环境下小车位置结构图
单回路PID小车位置的仿真控制结果如图3-11

小车位置的仿真图
从图3-11的小车位移曲线可以得出，单回路PID控制无法做到控制小车的位置，大约在1S之后小车的位移不可控。
3.1.2.2 双回路PID控制的设计仿真
直线一级倒立摆的核心控制理念就是要求在摆杆不倒的情况下使小车位置可控

图3-12双PID控制系统结构图
K

一

+

图3-13系统内环校正图
，一开始内环在没有加上PID校正前的传函是，所以我们应该选择合适的内环控制器来进行校正，经过应用Matlab编程绘制出各个控制器的根轨迹图形来选取合适的控制器。
根据结果分析我们最后选用PD控制器来保证闭环系统的稳定，以下就是参数的选取

(二)

K=1

一

图3-14外环系统结构图
由此我们可以看出系统开环传函是一个高阶的非最小相位系统，对此我们要对系统外环模型进行降阶处理，可以得到近似的一阶传函为：

在Simulink环境下建立如下的仿真结构图如图3-15所示：

图3-15 Simulink环境下双回路PID控制

图3-16双回路PID摆角仿真曲线

图3-17 双回路PID小车位移仿真曲线
由图3-16，3-17得，摆角最大振幅为0.16rad，小车最大位移为1.1m系统在大约9S后进入平衡状态，即达到小车位置与摆杆摆角稳定。
3.2直线一级摆的LQR控制
3.2.1线性二次型最优控制
线性二次型（LQ—Linear Quadratic）指的是系统状态方程是线性的，指标函数是控制变量、状态变量的二次型[10]。如今LQR已经成为了反馈控制系统设计的一种重要方式。LQR的特点是它给多变量的反馈系统设计提供了一个很好的分析方法。它既可以用于时变系统，也可以用来处理有关于扰动信号和噪声的测量问题，还可以用来处理有限与无线时间区间问题[11]。
LQR控制器其基本原理是线性二次型的最优控制。它的目的在于：当系统状态因为各种原因而偏离了平衡状态时，能在损耗较少的能量的情形下使各状态分量继续靠近于平衡状态。线性二次型最优控制所研究的系统都是线性化的或者是可线性化的，而且系统的性能指标是控制变量、状态变量的二次型函数的积分，它的解比较容易求得并且能够做到非常好的控制效果[12]。所以在工业工程上的应用非常广泛，其控制原理图如3-18所示：

K
一
R
+
u
y

图3-18 LQR控制结构图
由系统方程得：
（3-3）
可以得到最优控制向量矩阵K：
（3-4）
可以得到性能指标的最小值
（3-5）

如上所述，LQR控制器的控制规律是遵循了线性二次型最优控制规律，所以只要我们能确定反馈矩阵K的所有元素，就能使性能指标达最小那么。以下开始解决最优化问题，把上式（3-4）代入（3-3）式中：
（3-6）
我们假设A-BK是一个稳态矩阵，那么A-BK所有的特征值都有负实部，将上式（3-4）代入（3-5）得：
（3-7）
（3-8）

(3-9)
可得，若A-BK矩阵是稳态矩阵，那么必定存在正定矩阵P能满足式（3-8）则可以用式（3-9）来确定P矩阵的元素并且检验该矩阵是否正定（找到一个P矩阵即可，但该阵必须是正定的）
计算性能指标：
（3.10）
假设A-BK的特征根都有负实部则趋近于0可以得到：
（3-11）
则性能指标可以由x(0)与P求取。我们为了求得线性二次型最优控制解可以先假设

(3-12)

求取K的极小值：

如果在已知状态方程的情况下，我们可以利用Matlab中的LQR函数来求解K矩阵，方法如下所示：

然后选取Q与R，利用K=lqr(A,B,Q,R)得到矩阵K。
我们可以通过改变Q矩阵的值来得到不同的响应曲线，一般来说矩阵Q的值越大，系统的抗干扰能力越强，系统调整时间就越短，然而矩阵Q也不能过大，需要合理选取Q与R。
3.2.2 直线一级摆LQR控制器设计
Matlab软件下的LQR仿真语句如下：
A=[0 1 0 0;0 -0.0833 0.6083 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0]
B=[0;0.8832;0;2.3566]
C=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]
D=[0;0;0;0;]
x=1;
y=1;
Q=[x 0 0 0;0 0 0 0 ;0 0 y 0;0 0 0 0]
R=1;
K=lqr(A,B,Q,R)
Ac=[(A-B*K)];
Bc=[B];
Cc=[C];
Dc=[D];
T=0:0.005:5;
U=ones(size(T));
x0=[0 0 0 0];
[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0);
plot(T,Y)
grid on;
title(' LQR 控制');
legend('Cart','VCart','single','Vs');
首先取矩阵Q为，R=1；我们通过选取不同的参数x,y的值来改变不同的矩阵Q。首先取x=1,y=1，在Matlab软件中运行上述程序得到矩阵K=[-1.000 -2.0455 30.2001 5.7600],得到如图3-19所示

图3-19 x=1,y=1时阶跃响应曲线
由图3-19可得，小车的位移最大幅度靠近于1m，摆角最大振幅为0.08rad，同时，小车位移的调节时间大于2s，摆角的调节时间也大于2s，可以看出此时该倒立摆系统的控制强度较弱，所以改变x,y的取值来改变矩阵Q，由调试可知LQR的调节时间较短，所以在下面的程序中把T=0：0.005：5改为T=0：0.005：3。
取x=1000,y=1时得到矩阵K=[-31.6228 -21.0293 79.6903 15.4289],
其系统阶跃响应曲线如图3-20所示

图3-20 x=1000,y=1时系统阶跃响应曲线
我们可以看到小车位移的最大振幅约为0.03m，摆角的最大的振幅为0.03rad，小车摆角的调节时间和小车位移进入稳定的时间基本相同，都为2.2s，我们可以看出此时系统的控制性能已经较好。继续选取不同的x与y来改变矩阵Q，从而求得不同的矩阵K一级响应曲线。

图3-21x=4000,y=200时阶跃响应曲线
取x=4000,y=200时,此时系统阶跃响应曲线如图3-21所示，由图能得出此时小车位置的最大振幅约为0.016m，摆角的最大振幅为0.015rad,小车位移的平衡时间约为1.8s，摆角稳定时间也为1.8s。
当x=4000,y=200时，给系统加一个冲击，其强度为0.2，，在Matlab中输入的程序与上述相同，只需要把输入信号改为U=0.2*eye(size(T))得到图3-22如下所示曲线

图3-22系统冲激响应曲线
由此图可以看出系统的小车位置的最大振幅与摆角的振幅都非常的小，可见该系统的稳定性非常好。最后，我们给小车的位置和小车的摆角都给一个初始的位置，即并不是在平衡位置处在开始。在Matlab输入初始程序把，只需要更改x0=[0.1 0 0.1 0],得到图3-23响应曲线

图3-23改变初始条件后的响应曲线
根据上述这个响应曲线，我们能发现不管是小车位移、还是倒立摆杆的摆角，他们在经过很短的一段调节时间后都能达到平衡状态，超调量小，稳态精度比较高，控制效果好。

3.3基于融合函数的模糊控制
3.3.1模糊控制简介
在传统的控制领域中，控制系统动态模式是否准确是影响性能好坏的关键。系统所能够提供的动态信息越多就越能够实现精确控制的目的。但是如果是较为复杂的系统，因为变数过多，常常很难以正确描述系统的动态性能。所以工程师们用各种各样的方法来简化系统来达到控制的目的，但并不理想。换句话来说，传统控制理论对确定性的系统有着强有力的控制力，但是对于太过复杂或者很难精确描述的系统来说是很无助的，所以就尝试用模糊数学[13]来对付这些控制性问题，由此出现了模糊理论[14]。
所谓的模糊理论其实是在L.A.zadeh创建的模糊理论数学基础上发展起来的。它包含了模糊逻辑，模糊推理，模糊集合理论，和模糊控制[15]等方面。
3.3.2 模糊控制的思想方法
模糊控制是由模糊逻辑、模糊语言变量和模糊集合论三者为基础的一种计算机控制技术。它是经过一定的先验知识来建造控制规则，然后运用一系列不准确的控制来实现精确的控制。
模糊控制其基本思想是通过模拟人的行为决策来实行的，他所供应的控制理论是将手动控制的规则合理的转变成要实施的控制算法。模糊控制把人们对特定的被控对象和控制过程策略总结为一系列的if和then语句形式的控制规则。用模糊推理所获得模糊控制作用集，其作用在被控过程和被控对象，其中状态语句与控制作用都是一组被量化的模糊语言集。
其控制系统组成图如图3-24所示
A/D
模糊控制器
D/A
执行机构
被控对象
传感器
一
给定值

图3-24模糊控制系统组成
（1）模糊控制器：实际上是一台微型计算机，可以是单